资源简介

(共30张PPT)
23.1 一次函数的概念
函数是刻画运动变化现象中变量之间关系的数学模型.运动变化各种各样，函数也有不同的类型. 一次函数是一类刻画简单的运动变化的函数，也是一类最基本的函数.
某登山队大本营所在地的气温为 5 ℃，海拔每升高 1 km 气温下降 6℃.登山队员由大本营向上登高 x km 时，他们所在位置的气温是 y ℃.
用函数解析式表示 y 与 x 的关系，并求当登山队员向上登高 2 km时，他们所在位置的气温.
分析： y 随 x 变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加 x km时，气温从 5 ℃ 减少 6x ℃.因此，y 关于 x 的函数解析式为
这个函数也可以写为
y=5－6x.
y=－6x+5.
当登山队员由大本营向上登高 2 km时，他们所在位置的气温就是当 x=2 时函数 y=－6x+5 的值，即
y=－6×2＋5=－7（℃）.
在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式.
（1）铁的密度约为 7.9 g/cm3，铁块的质量 m （单位：g）随它的体积 V （单位：cm3）的变化而变化.
解：是函数关系，函数解析式为 m=7.9V.
问题
（2）每个练习本的厚度为 0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h（单位：cm）随练习本的个数 n 的变化而变化.
解：是函数关系，函数解析式为 h=0.5n.
思考
（3）一种计算成年人标准体重 m（单位：kg）的方法是：以厘米为单位量出身高 h，再减常数 105，所得差是 m 的值，m 随 h 的变化而变化.
解：是函数关系，函数解析式为 m=h－105.
思考
（4） 把一个长 10 cm、宽 5 cm 的矩形的长减少 x cm，宽不变，矩形的面积 y（单位：cm2）随 x 的变化而变化.
解：是函数关系，函数解析式为 y=－5x+50 (0≤x≤10).
思考
解：（1）m=7.9V 的常数为7.9，自变量为V；
（2）h=0.5n 的常数为0.5，自变量为n；
（4）y=－5x+50的常数为－5、50，自变量为x.
（3）m=h－105的常数为1、-105，自变量为h；
分别说出这些函数的常数、自变量，这些函数解析式有哪些共同特征？
思考
发现：它们都是常数 k 与自变量的______与常数b 的______的形式.
和
乘积
思考
（1）m=7.9V
（2）h=0.5n
（3）m=h－105
（4）y=－5x+50
　　一般地，形如 y=kx+b （k， b 是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数，其中 x 是自变量.
新知
一次函数的特点如下：
（1）解析式中自变量 x 的次数是 次;
（2）比例系数 ；
（3）常数项：通常不为0，但也可以等于0.
1
k≠0
y = k x (k≠0的常数)
比例系数
自变量
正比例函数一般形式
注: 正比例函数 y=kx(k≠0)
的结构特征
①k≠0 ② x 的次数是1
为什么强调k是常数，k≠0呢？
　　形如 y＝kx（k 是常数，k≠0）的函数，叫作正比例函数，其中 k 叫作比例系数．
一次函数与正比例函数有什么关系？
（2）正比例函数是一种特殊的一次函数.
（1）当b=0时，y=kx+b 即y=kx(k≠0)，此时该一次函数是正比例函数.
思考
例1 下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
解：（1）是一次函数，又是正比例函数；
（4）是一次函数.
例2 一个弹簧不挂物体时长 12 cm，在弹簧的弹性限度内，每挂 1 kg 的物体，弹簧伸长 2 cm.
（1）求弹簧的长度 y (单位： cm) 关于所挂物体质量 x (单位：kg)的函数解析式；
解：（1）由每挂 1 kg 的物体，弹簧伸长 2 cm 可知，挂 x kg 的物体时，弹簧伸长 2x cm. 因此，y 关于 x 的函数解析式为
y=2x+12.
例2 一个弹簧不挂物体时长 12 cm，在弹簧的弹性限度内，每挂 1 kg 的物体，弹簧伸长 2 cm.
（2）当挂 5 kg的物体时，弹簧的长度是多少？
解：（2）把 x=5 代人 y=2x+12，得 y=2×5+12=22.
因此，当挂 5 kg 的物体时，弹簧的长度是 22 cm.
已知 y＝(k＋1)x＋k－1 是正比例函数，求 k 的值.
解：根据题意得：k＋1≠0且k－1＝0，
解得：k＝1.
提示：函数解析式可转化为y=kx（k是常数，k ≠0）的形式.
考点一：利用正比例函数的概念求字母的值
（1）如果y＝(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k满足________.
（2）如果y＝kxk-1，是y关于x的正比例函数，则k＝_______.
（3）如果y＝3x+k-4，是y关于x的正比例函数，则k＝________.
k≠1
2
4
1.求出下列各题中字母的值.
解： ∵当x=1时，y=5；当x=－1时，y=1;
∴
解得k=2，b=3.
一次函数 ，当x=1时，y=5；当x=－1时，y=1.求 k 和 b 的值.
考点二：利用一次函数一般式求字母的值
2.已知一次函数 y=kx－b，当x=3时，y=8；当x=－3时，y=－10．
求 k 和 b 的值．
解：∵当x=3时，y=8；当x=－3时，y=－10;
∴
解得 k=3，b=1.
已知函数y＝(m－2)x＋4－m2.
（1）当 m 为何值时，这个函数是一次函数？
（2）当 m 为何值时，这个函数是正比例函数？
注意：利用定义求一次函数 y=kx+b 解析式时，必须保证：
（1）k ≠ 0；
（2）自变量x的指数是“1”
考点二：利用一次函数的概念求字母的值
解：（1）由题意可得 m－2≠0，解得 m≠2.
即 m≠2 时，这个函数是一次函数.
（2）由题意可得 m－2≠0，4－m2＝0，
解得 m＝－2.
即 m＝－2时，这个函数是正比例函数.
3.已知函数 y＝2x|m|+(m+1).
（1）若这个函数是一次函数，求 m 的值；
（2）若这个函数是正比例函数，求 m 的值.
解：（1）由题意得： ，因此 m=±1.
（2）由题意得：m＋1＝0 ,
解得m＝ －1.
4. 下列函数中，y 是 x 的一次函数的是（ ）
① ② ③ ④
A. ①②③ B. ①③④
C. ①④ D. ②③④
C
5.下列说法正确的是（ ）
A.一次函数是正比例函数
B.正比例函数不是一次函数
C.不是正比例函数就不是一次函数
D.正比例函数是一次函数
D
6. 若 y=5x3m-2 是正比例函数，则 m=_______.
7. 要使 y=(m-2)xn-1+n 是关于 x 的一次函数，n，m 应满足 , .
n=2
m≠2
1
8.已知 y 与 x－3 成正比例，当 x＝4 时，y＝3．
（1）写出y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；
（2）求x＝2.5时，y的值．
∴ y＝3x－9，y是x的一次函数．
解 ：（1）设y＝k(x－3),
把 x＝4，y＝3 代入上式，得 3＝ k(4－3),
解得 k＝3，
（2）当x＝2.5时，y＝3×2.5 - 9＝ -1.5．
∴y＝3(x－3),
9.我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于5000元的部分不收税；月收入超过5000元但低于8000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入5360元，他应缴个人工资、薪金所得税为:（5360－5000）×3%=10.8元.
（1）当月收入大于5000元而又小于8000元时，写出应缴所得税 y（元）与收入 x（元）之间的函数解析式.
解:y=0.03×(x－5000) (5000＜x＜8000).
（2）某人月收入为5660元，他应缴所得税多少元？
解:当x=5660时，y=0.03×(5660－5000)=19.8（元）.
解:设此人本月工资是x元，则 19.2=0.03×(x－5000),
解得 x=5640.
答:此人本月工资是5640元.
（3）如果某人本月应缴所得税19.2元，那么此人本月工资是多少元？
实际问题
一次函数
表示方法
概念
特例
简单应用
正比例函数

展开更多......

收起↑