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23.4 实际问题与一次函数
同学们，你知道你家人用的手机套餐是哪个厂家的吗？具体套餐是怎么收费的呢？
如果下一年的手机套餐由你选择，你能选择出最合适的方案吗？
数学建模的基本步骤有哪些？
（1）阅读理解，审清题意；
（2）简化问题、建立数学模型；
（3）用数学方法解决数学问题；
（4）根据实际情况检验数学结果.
知识点1
建立一次函数模型解决实际问题
例 “黄金1号”玉米种子的价格为 5 元/kg，如果一次购买 2 kg 以上的种子，超过 2 kg部分的种子价格打 8 折.
（1）填表：
购买量x/kg 0 1 2 3 …
付款金额y/元 0 5 …
考点：建立一次函数模型解决实际问题
解：（1）由题意可得，
当x=2时，y=5×2=10，
当x=3时，y=5×2+（3-2）×5×0.8=14，
故答案为：10，14；
（2）求付款金额y关于购买量x的函数解析式，并在给出的平面直角坐标系中画出函数图象；
例 “黄金1号”玉米种子的价格为 5 元/kg，如果一次购买 2 kg 以上的种子，超过 2 kg部分的种子价格打 8 折.
考点：建立一次函数模型解决实际问题
解：（2）由题意可得，
当0＜x≤2时，y=5x,
当x＞2时，y=5×2+（x-2）×5×0.8=4x+2，
由上可得，
函数图象如图所示：
（3）一次性购买多少种子付款22元？
例 “黄金1号”玉米种子的价格为 5 元/kg，如果一次购买 2 kg 以上的种子，超过 2 kg部分的种子价格打 8 折.
考点：建立一次函数模型解决实际问题
解：（3）将 y=22 代入 y=4x+2，
得 22=4x+2，解得x=5，
答：一次性购买5 kg种子付款22元．
问题1 怎样选取上网收费方式？
下表给出A，B，C三种上宽带网的收费方式.
选择哪种方式能节省上网费？
知识点2
选择方案
收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元/min）
A 30 25 0.05
B 50 50 0.05
C 120 不限时
1.哪种方式上网费是会变化的？哪种不变？
2.在A、B两种方式中，上网费由哪些部分组成？
上网费=月使用费+超时费.
3.影响超时费的变量是什么？
4.这三种方式中有一定最优惠的方式吗？
没有一定最优惠的方式，与上网的时间有关.
收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元/min）
A 30 25 0.05
B 50 50 0.05
C 120 不限时
A、B会变化，C不变.
上网时间.
5.设月上网时间为x，则方式A、B的上网费y1、y2都是x的函数，要比较它们，需在 x > 0 时，考虑何时
（1） y1 = y2； （2） y1 < y2； （3） y1 > y2.
收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元/min）
A 30 25 0.05
B 50 50 0.05
6.在方式A中，超时费一定会产生吗？什么情况下才会有超时费？
不一定，只有在上网时间超过25小时时才会产生．
合起来可写为：
当0≤x≤25时，y1=30；
当x＞25时，y1=30+0.05×60（x-25）=3x-45.
收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元/min）
A 30 25 0.05
7.你能自己写出方式B的上网费y2关于上网时间 x之间的函数关系式吗
方式C的上网费y3关于上网时间x之间的函数关系式呢
当x≥0时，y3=120.
收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元/min）
A 30 25 0.05
B 50 50 0.05
C 120 不限时
8.当上网时间__________时，选择方式A最省钱.
当上网时间__________时，选择方式B最省钱.
当上网时间_________时，选择方式C最省钱.
在同一坐标系画出它们的图象：
1.某教学网站开设了有关人工智能的课程并策划了A，B两种网上学习的月收费方式：
设小明每月上网学习人工智能课程的时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为yA元，yB元.
|（1）当x≥50时，分别求出yA，yB与x之间的函数关系式；
（2）若小明3月份上该网站学习的时间为60小时，则他选择哪种方式上网学习合算？
解：(1)当x≥50时，yA、yB与x之间的函数关系式分别为：
yA＝7＋(x－25)×0.6×60＝36x－893，
yB＝10＋(x－50)×0.8×60＝48x－2390.
(2)当x＝60时，
yA＝36×60－893＝1267，
yB＝48×60－2390＝490，
∴yA＞yB.
故选择B方式上网学习合算.
问题2 怎样租车？
某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示：
（1）共需租多少辆汽车？
（2）给出最节省费用的租车方案．
甲种客车 乙种客车
载客量（单位：人/辆） 45 30
租金 （单位：元/辆） 400 280
【讨论1】租车的方案有哪几种？
共三种：（1）单独租甲种车；（2）单独租乙种车；
（3）甲种车和乙种车都租．
某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲种客车 乙种客车
载客量（单位：人/辆） 45 30
租金 （单位：元/辆） 400 280
【讨论2】如果单独租甲种车需要多少辆？乙种车呢？
【讨论3】如果甲、乙都租，你能确定合租车辆的范围吗？
汽车总数不能小于6辆，不能超过8辆.
单独租甲种车要6辆，单独租乙种车要8辆.
240÷30=8
甲种客车 乙种客车
载客量（单位：人/辆） 45 30
租金 （单位：元/辆） 400 280
【讨论4】要使6名教师至少在每辆车上有一名，你能确定排除哪种方案？你能确定租车的辆数吗？
说明了车辆总数不会超过6辆，可以排除方案(2)——单独租乙种车；所以租车的辆数只能为6辆．
【讨论5】在讨论3中，合租甲、乙两种车的时候，又有很多种情况，面对这样的问题，我们怎样处理呢？
方法1：分类讨论——分3种情况；
方法2：设租甲种车x辆，确定x的范围.
（1）为使240名师生有车坐，可以确定 x 的一个范围吗？
甲种客车 乙种客车
载客量（单位：人/辆） 45 30
租金 （单位：元/辆） 400 280
x 辆
(6-x)辆
x的取值范围为：
（2）为使租车费用不超过 2300元，又可以确定 x 的范围吗？
结合问题的实际意义，你能有几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中的哪种方案？
甲种客车 乙种客车
载客量（单位：人/辆） 45 30
租金 （单位：元/辆） 400 280
x 辆
(6-x)辆
设租用 x 辆甲种客车，则租车费用y(单位：元)是 x 的函数，即
y=400x+280(6-x)
化简为：y=120x+1680
甲种客车 乙种客车
载客量（单位：人/辆） 45 30
租金 （单位：元/辆） 400 280
x 辆
(6-x)辆
y=120x+1680
方案一：当x=4时，即租用4辆甲种汽车，2辆乙种汽车
y=120×4+1680=2160.
方案二：当x=5时，即租用5辆甲种汽车，1辆乙种汽车
y=120×5+1680=2280.
除了分别计算两种方案的租金外，还有其他选择方案的方法吗？
由函数可知 y 随 x 增大而增大，所以 x = 4时， y 最小.
解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型.
归纳
例 某土产公司组织20辆相同型号的汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售.按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，并且丙种型号汽车车辆是甲种型号汽车车辆的2倍，根据下表提供的信息，解答以下问题.
考点：利用一次函数解答方案选择问题
土特产种类 甲 乙 丙
每辆汽车运载量/吨 8 6 5
每吨土特产获利/百元 12 16 10
（1）设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；
（2）如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；
（3）若要使此次销售获利最大，应采用(2)中哪种安排方案？并求出最大利润的值.
解：（1）y与x之间的函数关系式为y＝20－3x；
（2）由x≥3，y≥3，(20－x－y)≥3，
把y＝20－3x代入，可得x≥3，y＝20－3x≥3，
20－x－(20－3x)≥3，可得 ，
又∵x为正整数，∴x＝3,4,5.故车辆的安排有三种方案，即：
方案一：甲种3辆，乙种11辆，丙种6辆；
方案二：甲种4辆，乙种8辆，丙种8辆；
方案三：甲种5辆，乙种5辆，丙种10辆.
解:（3）设此次销售利润为W元，
W＝8x·12＋6(20－3x)·16＋ 5· 2x · 10
＝－92x＋1920，
∵W随x的增大而减小，又x＝3,4,5.
∴当x＝3时，W最大＝1 644(百元)＝16.44万元.
答：要使此次销售获利最大，应采用(2)中方案一，即甲种3辆，乙种11辆，丙种6辆，最大利润为16.44万元.
2.某单位需要用车，准备和一个体车主或一国有出租公司其中的一家签订合同. 设汽车每月行驶 x km，应付给个体车主的月租费是y1 元，付给出租公司的月租费是y2 元，y1，y2 分别与x之间的函数关系图象是如图所示的两条直线，观察图象，回答下列问题：
（1）每月行驶的路程在什么范围内，租国有出租公司的出租车合算？
当0＜x＜1500时，租国有的合算.
1000
2000
500
1500
1000
2000
2500
x(km)
y(元)
0
y1
y2
（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？
2.某单位需要用车，准备和一个体车主或一国有出租公司其中的一家签订合同. 设汽车每月行驶 x km，应付给个体车主的月租费是y1 元，付给出租公司的月租费是y2 元，y1，y2 分别与x之间的函数关系图象是如图所示的两条直线，观察图象，回答下列问题：
1000
2000
500
1500
1000
2000
2500
x(km)
y(元)
0
y1
y2
当x=1500时，租两家的费用一样.
（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，那么这个单位租哪家的车合算？
2.某单位需要用车，准备和一个体车主或一国有出租公司其中的一家签订合同. 设汽车每月行驶 x km，应付给个体车主的月租费是y1 元，付给出租公司的月租费是y2 元，y1，y2 分别与x之间的函数关系图象是如图所示的两条直线，观察图象，回答下列问题：
1000
2000
500
1500
1000
2000
2500
x(km)
y(元)
0
y1
y2
租个体车主的车合算.
3.暑假老师带领该校“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠.”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票的6折优惠.”若全票为240元.
（1）设学生数为x，甲旅行社收费为y1，乙旅行社收费为y2，则y1＝_____________，y2＝_____________.
（2）当学生有_______人时两个旅行社费用一样.
（3）当学生人数___________时甲旅行社收费较少.
240＋120x
144＋144x
4
大于4人
4．如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价 y(元)与
销售量 x（件）之间的函数图象．下列说法，其中正确的说法
有 ．（填序号）
①售2件时甲、乙两家售价一样；
②买1件时买乙家的合算；
③买3件时买甲家的合算；
④买1件时，售价约为3元.
①
②
③
1
2
x
y
o
2
3
4
1
3
甲
乙
5.某移动公司对于移动话费推出两种收费方式：
A方案：每月收取基本月租费15元，另收通话费为0.2元/分；
B方案： 零月租费，通话费为0.3元/分.
（1）试写出A，B两种方案所付话费y（元）与通话时间t（分）之间的函数关系式；
（2）在同一坐标系画出这两个函数的图象，并指出哪种付费方式合算？
解：（1）A方案：y1=15+0.2t（t≥0），B方案：
y2=0.3t（t≥0）.
（2）这两个函数的图象如下：
观察图象，可知：当通话时间为150分时，选择A或B方案费用一样；
当通话时间少于150分时，选择B方案合算；
当通话时间多于150分时，选择A方案合算.
t（分）
O
50
150
100
10
20
y（元）
50
30
40
●
●
y1 = 15+0.2t
y2 = 0.3t
●
6.抗旱救灾行动中，甲、乙两地要向A地和B地每天输送饮用水，其中甲地每天输出60车饮用水，乙地每天输出40车饮用水，供给A地和B地各50车饮用水.由于距离不同，甲地到A地需600元／车，到B地需700元／车；乙地到A地需500元／车，到B地需650元／车．请你设计一个调运方案使总运费最低？此时总运费为多少元？
B地
50车
A地
50车
甲地
60车
乙地
40车
(50－x)
(60－x)
x
650
500
700
600
解：设每天要从甲地运x车到A地，总运费为y元．由题意可得
y=600x+700(60－ x)+500(50 －x)+650(x－10)
y=50x+60500.
(x－10)
由
得
∵ k＝50＞0, y随x的增大而增大,
∴当x＝10时，y有最小值， y=61000.
答：从甲地调往A地10车，从甲地调往B地50车，从乙地调往A地40车，从乙地调往B地0车，可使总费用最省，为61000元．
∴
7.某工程机械厂根据市场要求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产这两种型号的挖掘机，所生产的这两种型号的挖掘机可全部售出，此两种型号挖掘机的生产成本和售价如下表所示:
型号 A B
成本（万元/台） 200 240
售价（万元/台） 250 300
（1）该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案？
（2）该厂如何生产获得最大利润？
（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m>0），该厂如何生产可以获得最大利润？（注：利润=售价-成本）
分析：可用信息：①A、B两种型号的挖掘机共100台；
②所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元；
③所筹资金全部用于生产，两种型号的挖掘机可全部售出.
解：（1）设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机可生产（100-x）台，由题意知：
（1）该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案？
分析：设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机可生产（100-x）台，由题意得不等式组 ；
∴有三种生产方案：A型38台，B型62台；A型39台，B型61台；A型40台， B型60台.
解得 37.5≤x≤40.
∵x取正整数, ∴x为38、39、40.
∴当x=38时，W最大=5620 （万元），即生产A型38台，B型62台时，获得利润最大.
（2）该厂如何生产获得最大利润？
分析：利润与两种挖掘机的数量有关，因此可建立利润与挖掘机数量的函数关系式；
W=50x＋60（100－x）
= －10x＋6000
解：设获得利润为W（万元），由题意知：
（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m>0），该厂如何生产可以获得最大利润？
分析：在（2）的基础上，售价改变，则应重新建立利润与挖掘机数量的函数关系式，并注意讨论m的取值范围.
（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m>0），该厂如何生产可以获得最大利润？
③当m＞10时，取x=40，W最大，
即A型挖掘机生产40台，B型生产60台.
解：由题意知：W=（50+m）x+60（100-x）= (m-10)x+6000
∴①当0＜m＜10时，取x=38，W最大 ，
即A型挖掘机生产38台，B型挖掘机生产62台；
②当m=10时，m-10=0，三种生产获得利润相等；
实际问题
一次函数模型
利用一次函数的性质确定最佳方案
分段函数求值
通过比较函数值选择最佳方案
列方程或不等式
图象法
抽象
应用

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