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24.4 数据的分组
“生活中为什么要对这些事物进行分类？分类给我们带来了哪些方便？”
超市饮品摆放、水果区摆放
分类能让事物更有序，方便查找或判断.
一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进人面试.将10名应聘者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下：
58、64、68、75、76、83、85、89、90、92.
公司要从这10人中选部分人进入面试，该如何确定“成绩好”的标准？你有哪些分组方法？
基于数据自身特点的分组方法——
数据的分组（基于离差 平方和）
问题
观察排序后的成绩间隔：58|64|68|75|76|83|85|89|90|92.
10 个数据有几个间隔？每个间隔能将数据分成几组？
10 个数据有 9 个间隔，每个间隔对应1种“两组分法”（如第1个间隔分“{58}和{64,68,…,92}”，第2个间隔分“{58,64}和{68,…,92}”），共 9 种分法.
组内数据差异最小
活动1：理解“组内差异最小”的需求
之前学过哪种指标能刻画数据的离散程度？
方差
（“方差的基础是‘离差平方和’，它能反映数据与平均数的偏离程度.”）
活动2：学习“离差平方和”的概念与计算
一般地，设有 n 个数据 ????1,????2,????3...???????? ,平均数为 ????，则总离差平方和为：????2=(????1?????)?+(????2?????)?+...+(?????????????)?.
如果把这组数据分为两组，前 m （m＜n）个为第一组，后 n－m 个为第二组，第一组平均数为 ????1 ，离差平方和为 ????12；第二组平均数为????2 ，离差平方和为 ????22，则组内离差平方和为 ????12+????22 .
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组内离差平方和越小，说明两组内部的数据越集中，分组越合理.
活动2：学习“离差平方和”的概念与计算
以招聘成绩的“第5个间隔”（分法：{58,64,68,75,76}和{83,85,89,
90,92}）为例，分步计算组内离差平方和：
第一步：计算第一组平均数 ????1=(58+64+68+75+76)÷5=72.2；
?
第二步：计算第一组离差平方和 ????12=(58－72.2)?+(64－72.2)?+(68－72.2)?+(75－72.2)?+(76－72.2)?=228.8；
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第三步：计算第二组平均数 ????2=(83+85+89+90+92)÷5=87.8；
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活动2：学习“离差平方和”的概念与计算
第四步：计算第二组离差平方和 ????22=(83－87.8)?+(85－87.8)?+
(89－87.8)?+(90－87.8)?+(92－87.8)?=54.8；
?
第五步：组内离差平方和 ????12+????22=228.8+54.8=283.6.
?
活动2：学习“离差平方和”的概念与计算
1.分组任务：将数据分为9组，每组计算1种间隔的组内离差平方和.
观察汇总结果，得出什么结论？
活动3：验证“组内离差平方和最小”的分法
“第5个间隔”的组内离差平方和（283.6）最小，因此最优分法为{58,64,68,75,76}（不进面试）和{83,85,89,90,92}（进面试）.
2.结论：
3.数据分组的步骤：
（1）将数据按从小到大排序；
（2）确定所有可能的间隔（n个数据有n-1个间隔，对应n-1种两组分法）；
（3）计算每种分法的两组平均数及组内离差平方和；
（4）选择组内离差平方和最小的分法作为最优分组.
活动3：验证“组内离差平方和最小”的分法
1.数据分组的意义：让复杂数据更有序，帮助解决实际问题（如招聘筛选、成绩分类）.
2.核心方法：基于“组内离差平方和最小”原则分组，步骤为“排序→找间隔→算离差平方和→选最小”.
归纳
例1 学校运动会上，5 名学生的跳远成绩(单位：米)分别是 4.2、4.5、4.8、5.2、5.5，体育老师要按照组内离差平方和最小的原则将学生成绩分为两组，用于后续训练安排，求分组方案.
解：把这5个数据分为两组，共有4种情况：
分为{4.2}和{4.5，4.8，5.2，5.5}时，组内离差平方和=0.58；
分为{4.2，4.5}和{4.8，5.2，5.5}时，组内离差平方和≈0.292；
分为{4.2，4.5，4.8}和{5.2，5.5}时，组内离差平方和=0.225；
解：分为{4.2，4.5，4.8，5.2}和{5.5}时，组内离差平方和=0.5475；
通过比较每组的组内离差平方和，可知应当分为{4.2,4.5,4.8}和{5.2,5.5}两组.
例1 学校运动会上，5 名学生的跳远成绩(单位：米)分别是 4.2、4.5、4.8、5.2、5.5，体育老师要按照组内离差平方和最小的原则将学生成绩分为两组，用于后续训练安排，求分组方案.
例2 某公司9个月份的销售额（单位:万元）分别为20、25、30、35、40、45、50、55、60，按组内离差平方和最小的原则将数据分为两组，应该怎样分组？
解：关键分割点计算：
分为（20, 25,30, 35）和（40，45, 50, 55,60）时，组内离差平方和=375；分为（20, 25,30, 35，40）和（45, 50, 55,60）时，组内离差平方和=375.
其他分割点计算略.
当离差平方和=375时，最小，应分为{20, 25,30, 35, 40}和{45, 50, 55,60}，或（20, 25,30, 35）和（40，45, 50, 55,60）.
例3 某机床加工标准直径为 100 mm 的零件，为检验质量，从中抽取加工的 12 件零件测量其直径，所得数据如下：96,98,99,99,100,100,101,102,102,103,103,105.
（1）按照“组内离差平方和最小”的原则，将这 12 个数据平均分成 3 组，请计算这 3 组数据的组内离差平方和.
（2）由（1）所得结果，判断哪组加工的零件的差异较小.
解：（1）将这 12 个数据按照从小到大的顺序排列后分成 3 组如下：
第一组：96,98,99,99；
第二组：100,100,101,102；
第三组：102,103,103,105.
第一组数据的平均数为(96+98+99+99)=98,
第一组数据的组内离差平方和为（96－98)?+(98－98)?+(99－98)?+(99－98)?=6.
解：（1）第二组数据的平均数为(100+100+101+102)=100.75，
第二组数据的组内离差平方和为(100－100.75)?+(100 －100.75)? + (101－100.75)? + (102－100.75)?=2.75.
第三组数据的平均数为(102+103+103+105)=103.25,
第三组数据的组内离差平方和为(102－103.25)?+(103－103.25)?+(103－103.25)?+(105－103.25)?=4.75.
所以这3组数据的组内离差平方和为 6+2.75+4.75=13.5.
解：（2）由（1）知，第二组的组内离差平方和最小，所以第二组零件的差异较小.
（2）由（1）所得结果，判断哪组加工的零件的差异较小.
数据的分组
离差平方和
组内离差平方和
组间离差平方和
计算公式
应用

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