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第23章 一次函数
章末复习
回顾一下我们之前学习了哪些有关一次函数的知识.
本节课我们来一起梳理本章的知识结构、重要知识点和数学思想方法.
一次函数的定义：
一般地，形如y=kx+b( k，b是常数，k≠0 )的函数，叫作一次函数，其中x是自变量.
常数
k≠0
考点一　一次函数的定义及自变量的取值范围
形如 y＝kx（k 是常数，k≠0）的函数，叫作正比例函数，其中 k 叫作比例系数．
（1）y=2x-3
（2）
自变量x的取值为全体实数.
要使 有意义，则应满足1-x≠0.即x≠1，
所以自变量x的取值范围为x≠1.
例1　写出下列函数中自变量x的取值范围：
考点一　一次函数的定义及自变量的取值范围
（4）
（3）
要使 有意义，则应满足4-x≥0，即x≤4；
要使 有意义，则
应满足
x-1 ≥ 0，
x-2≠0 ，
即x≥1且x≠2，
所以自变量x的取值范围为x≤4.
所以自变量x的取值范围为x≥1且x≠2.
考点一　一次函数的定义及自变量的取值范围
（2）如果函数解析式中含自变量的部分是分式，那么自变量取使分母不为零的实数；
（1）如果函数解析式中含自变量的部分是整式，那么自变量的取值范围是全体实数；
确定自变量取值范围时应该注意的几点：
考点一　一次函数的定义及自变量的取值范围
（3）如果函数解析式中含自变量的部分是二次根式，那么自变量取使被开方数大于或等于零的实数；
（4）在实际问题中，函数自变量的取值必须使实际问题有意义.
考点一　一次函数的定义及自变量的取值范围
例2　一次函数y=(m-2)x+3m-3的图象经过第一、二、四象限，求m得取值范围.
分析：利用一次函数y=kx+b中k和b的符号决定其图象经过的象限，可以建立关于m的不等式组，由此得到m的取值范围.
考点二　一次函数的图象及性质
解：∵一次函数y=(m-2)x+3m-3的图象经过第一、二、四象限，
∴
m-2＜0，
3m-3＞0，
解得：
1 ＜m＜ 2，
∴m的取值范围是1 ＜m＜ 2.
例2　一次函数y=(m-2)x+3m-3的图象经过第一、二、四象限，求m得取值范围.
考点二　一次函数的图象及性质
例3　直线y=-2x+a经过(3，y1)和(-2，y2)两点，则y1和y2的大小关系是( )
（1）y1>y2
（2）y1（3）y1=y2
（4）无法确定
解析：
∵-2<0，y随x的增大而减小，又3>-2，∴y1A
考点二　一次函数的图象及性质
y=kx+b 图象经过的象限 y和x的变化
k＞0 b>0
b=0 b<0 k＜0 b>0
b=0 b<0 一、二、三
一、三
一、三、四
一、二、四
二、四
二、三、四
y随x的增大
而增大
y随x的增大
而减小
考点二　一次函数的图象及性质
1.如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为( )
D
A
B
C
D
考点二　一次函数的图象及性质
例4　直线与x轴交于点A(-4，0)，与y轴交于点B，若B点到x轴的距离为2，求直线的解析式.
分析：由于直线经过点A(-4，0)和点B，点A的坐标已知，点B的坐标可以求出，为(0，±2)，然后利用待定系数法便可求出直线的解析式.
O
x
y
.
A(-4,0)
.
2
B
考点三　一次函数解析式的确定
解：∵点B在y轴上，且点B到x轴的距离为2，
∴点B的坐标为(0，±2)，
设直线解析式为y=kx±2，
∵直线经过点(-4，0)，
∴0=-4k±2，解得k=± ，
∴直线的解析式为y= x+2或y=- x-2.
O
x
y
.
A(-4,0)
.
2
B
考点三　一次函数解析式的确定
例5　把直线y=2x-1向上平移2各单位，所得直线的解析式是： .
分析：由“上加下减”的原则可知，直线y=2x-1向上平移2个单位，所得直线解析式为y=2x-1+2，即y=2x+1.
直线解析式为：y=2x+1
考点三　一次函数解析式的确定
求一次函数解析式的一般步骤：
函数解析式
y=kx+b
满足条件的两定点
一次函数的图象直线l
选取
画出
解出
选取
从数到形
从形到数
整理归纳
考点三　一次函数解析式的确定
2.某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校.如图描述了他上学的情景，下列说法中错误的是( )
A
A.修车时间为15分钟
B.学校离家的距离为2000米
C.到达学校共用时间20分钟
D.自行车发生故障时离家距离为1000米
考点三　一次函数解析式的确定
例6　下图是函数y=2x-6和y=-x+3的函数图象，根据图象回答问题：
O
y=-x+3
y=2x-6
3
-6
x
y
3
（1）根据y=2x-6的图象，写出不等式2x-6>0的解集；
x>3
考点四　一次函数与方程(组)、不等式的关系
（2）根据y=2x-6和y=-x+3的图象，写出方程2x-6=-x+3的解；
x=3
例6　下图是函数y=2x-6和y=-x+3的函数图象，根据图象回答问题：
O
y=-x+3
y=2x-6
3
-6
x
y
3
考点四　一次函数与方程(组)、不等式的关系
（3）根据y=2x-6和y=-x+3的图象，写出不等式2x-6<-x+3的解集；
x<3
例6　下图是函数y=2x-6和y=-x+3的函数图象，根据图象回答问题：
O
y=-x+3
y=2x-6
3
-6
x
y
3
考点四　一次函数与方程(组)、不等式的关系
1.解一元一次方程：相当于在某个一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值为0时，求自变量x的值.
2.解一元一次不等式：相当于在某个一次函数y=ax+b(a≠0)的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围.
考点四　一次函数与方程(组)、不等式的关系
3.解二元一次方程组：从“数”的角度看相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少； 从“形”的角度看相当于确定两条直线的交点坐标.
考点四　一次函数与方程(组)、不等式的关系
3.已知一次函数y=ax+b(a、b为常数，a≠0)，x与y的部分对应值如下表：
那么方程ax+b=0的解是 ，不等式ax+b＞0的解集是 .
x -2 -1 0 1 2 3
y 6 4 2 0 -2 -4
x=1
x＜1
考点四　一次函数与方程(组)、不等式的关系
例7　一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的函数图象如图所示：
考点五　实际问题与一次函数
（1）根据图象，直接写出y1、y2关于x的函数关系式；
分析：观察图象，直接写出解析式；
y1=60x(0≤x≤10)，
y2=-100x+600(0≤x≤6)，
考点五　实际问题与一次函数
分析：利用y1与y2之间的差值分阶段讨论，列出关于x的分段函数；
（2）若两车之间的距离为s千米，请写出s关于x的函数解析式；
考点五　实际问题与一次函数
解：观察图象可知，两车在途中某一时刻相遇，即y1=y2，
得60x=-100x+600(0≤x≤6)
解得：x=
（2）若两车之间的距离为s千米，请写出s关于x的函数解析式；
考点五　实际问题与一次函数
在此之前y1而在x=6之后，y2=0，y1=60x，s=y1=60x
综上所述：
在 s=y1-y2=60x-(-100x+600)=160x-600；
-160x+600，0≤x≤ ，
60x，6160x-600， s=
考点五　实际问题与一次函数
（3）甲乙两地有A、B两个加油站，相距200千米，若客车进入A加油站时，出租车恰好进入B加油站，求A加油站离甲地的距离.
解：由题意的s=200
解得x=2.5.所以y1=60x=150
当0≤x≤ ，-160x+600=200
①
考点五　实际问题与一次函数
当 ②
即A加油站离甲地的距离为150 km或300 km.
当6③
考点五　实际问题与一次函数
解得x=5.所以y1=60x=300
解决实际问题的步骤
1.把实际问题转化为数学函数问题，列出函数关系式（建立数学模型）.
2.通过解不等式或画函数图象的方式确定自变量的范围.
3.利用一次函数的增减性知识从而选择出最佳方案.
考点五　实际问题与一次函数
4. “五一”劳动节某超市搞促销活动：
①一次性购物不超过150元不享受优惠；
②一次性购物超过150元但不超过500元一律九折；
③一次性购物超过500元一律八折.
王宁两次购物分别付款120元、432元，若王宁一次性购买与上两次相同的商品，则应付款 元.
480或528
考点五　实际问题与一次函数
5.衬衫系列大都采用国家5.4标准号、型(通过抽样分析取的平均值) . “号”指人的身高，“型”指人的净胸围，码数指衬衫的领围(领子大小)(单位：厘米).下表是男士衬衫的部分号、型和码数的对应关系：
号/型 … 170/84 170/88 175/92 175/96 180/100 …
码数 … 38 39 40 41 42 …
考点五　实际问题与一次函数
（1）设男士衬衫的码数为y，净胸围为x，试探索y与x之间的函数关系式；
号/型 … 170/84 170/88 175/92 175/96 180/100 …
码数 … 38 39 40 41 42 …
解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，任取两组数代入关系式中，
得： 解得：
∴y与x之间的函数关系式为y= x+17；
92k+b=40，
100k+b=42，
k= ，
b=17，
考点五　实际问题与一次函数
（2）若某人的净胸围为108厘米，则该人应买多大码数的衬衫？
当x=108时，y= ×108+17=44，
∴该人应该买44码衬衫.
号/型 … 170/84 170/88 175/92 175/96 180/100 …
码数 … 38 39 40 41 42 …
考点五　实际问题与一次函数
一次函数
图象及画法
一次函数
比例系数
正比例函数
经过象限
增减性
有关概念
图象和性质
与方程（组）、不等式的关系
图象的平移
待定系数法

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