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(共15张PPT)
1.直角三角形的性质
(1)直角三角形的两个锐角　 　;
(2)勾股定理:直角三角形两直角边的　 　等于斜边的平方。
2.直角三角形的判定方法
(1)有两个角互余的三角形是直角三角形;
(2)勾股定理的逆定理:如果三角形两边的　 　等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
第8课时　直角三角形的性质与判定
互余
平方和
平方和
3.命题和定理
(1)互逆命题:在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的　 　和
　 　,那么这两个命题称为互逆命题;如果把其中一个命题称为原命题,那么另一个命题就称为它的　 　。
(2)逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是　 　,那么它也是一个定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
结论
条件
逆命题
真命题
探究点1　直角三角形中角的性质与判定
例1　如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ACD=∠B。求证:△ACD是直角三角形。
证明:∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=180°-∠ACB=90°。
又∵∠ACD=∠B,∴∠A+∠ACD=90°。
∴∠ADC=180°-(∠A+∠ACD)=90°。
∴△ACD是直角三角形。
1.在直角三角形中,一个锐角为35°,则另一个锐角的度数为　 　。
55°
探究点2　直角三角形中边的性质与判定
例2　在四边形ABCD中,AB=4,BC=3,CD=12,AD=13,∠B=90°。求证:△ACD为直角三角形。
2.在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=4,AB=6,则BC的长为　 　。
探究点3　逆命题和逆定理
例3　写出下列各命题的逆命题,并判断逆命题的真假。
(1)如果a,b都是无理数,那么ab也是无理数;
(2)三边对应相等的两个三角形全等。
解:(1)逆命题:如果ab是无理数,
那么a,b都是无理数。是假命题。
(2)逆命题:如果两个三角形全等,
那么它们的对应边分别相等。是真命题。
1.直角三角形中,两锐角的平分线所夹的钝角的度数是( )
A.120° B.135° C.150° D.160°
2.下列定理中没有逆定理的是( )
A.对顶角相等
B.全等三角形的对应边相等
C.两直线平行,内错角相等
D.直角三角形的两个锐角互余
3.已知一个三角形的三边之比是5∶12∶13,若它的周长是60 cm,则它的面积是 　cm2。
B
A
120
1.[易错题] 若一个直角三角形的两边长分别为12和5,则它的第三边长为( )
B
2.已知下列命题:①若a=b,则a2=b2;②若x>0,则|x|=x;③若a>0,b>0,则a+b>0;④若a≠b,则a2≠b2。其中原命题与逆命题均为真命题的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
A
3.如图所示,在Rt△ABC 中,∠A=90°,EF∥BC,若∠1=50°,则∠C的度数为　 　。
40°
4.如图所示,等腰三角形ABC的底边BC=13 cm,D是腰AB上一点,且CD=12 cm,BD=5 cm。
(1)求证:△BDC是直角三角形;
(1)证明:∵BC=13 cm,CD=12 cm,BD=5 cm,
∴BC2=BD2+CD2。∴△BDC为直角三角形。
(2)求△ABC的周长。
5.下列命题:①同旁内角互补,两直线平行;②若 a2=b2,则a=b;③锐角与钝角互为补角;④相等的角是对顶角。它们的逆命题是真命题的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
6.(2025河源期末)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=52°,将其折叠,使点A落在边BC上的点E处,CA与CE重合,折痕为CD,则∠EDB的度数是　 　。
B
14°
7.如图所示,在四边形ABCD中,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90°。求证:∠BAD+
∠BCD=180°。
证明:如图所示,连接AC。
∵AB=20,BC=15,∠B=90°,
∴由勾股定理,得
AC2=202+152=625。
又∵CD=7,AD=24,
∴CD2+AD2=625。
∴AC2=CD2+AD2。∴∠D=90°。
∴∠BAD+∠BCD=(∠BAC+∠BCA)+(∠DAC+∠DCA)=(180°-∠B)+(180°-∠D)=90°+90°=
180°,即∠BAD+∠BCD=180°。
8.[推理能力] 如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=40 cm,AC=30 cm,动点P从点B出发沿射线BA以2 cm/s的速度运动。则当运动时间t为　 　时,△BPC是直角三角形。
16 s或25 s(共4张PPT)
一、一题多解
1.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是BC上两点,连接AD,AE,且AD=AE。求证:BD=CE。
针对这道题目,三位同学进行了如下讨论:
小明:“可以通过证明△ABD≌△ACE得到。”
小华:“可以通过证明△ABE≌△ACD得到。”
小聪:“我觉得可以先添加适当的辅助线,然后利用等腰三角形三线合一定理来证明。”
请你结合上述讨论,选择恰当的方法完成证明。
☆问题解决策略:反思
解:选择小明的方法。证明如下:
∵AB=AC,∴∠B=∠C。∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED。
∴∠ADB=∠AEC。∴△ABD≌△ACE(AAS)。∴BD=CE。
选择小华的方法。证明如下:
∵AB=AC,∴∠B=∠C。∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE,即∠AEB=∠ADC。
∴△ABE≌△ACD(AAS)。∴BE=CD。∴BE-DE=CD-DE,即BD=CE。
选择小聪的方法。证明如下:
如图所示,过点A作AH⊥BC于点H,
∵AB=AC,AD=AE,∴BH=CH,DH=EH。
∴BH-DH=CH-EH,即BD=CE。
二、多结论证明
2.在一次活动课上,老师出了这样一道题:如图所示,△ABC是锐角三角形,以△ABC的各边为边分别向外作等边△ABD,△BCE和△CAF,连接AE,BF,CD相交于一点O。老师说:“此图有许多结论,如①AE=BF=CD;②∠AOB=∠BOC=∠COA=120°;③CD=OA+OB+OC。”请同学们从以上结论中,任选一个加以证明。(共21张PPT)
1.等腰三角形的性质
定理1:等腰三角形的两底角　 　。(简称:等边对等角)
定理2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的
中线、底边上的高　 　。(简称:三线合一)
2.等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都　 　,并且每个角都等于　 　。
第5课时　等腰三角形及等边三角形的性质
相等
重合
相等
60°
探究点1　等边对等角的证明及应用
例1　小明在学习完“等腰三角形的两底角相等”后,在老师的启发下发现,除教材上的证明方法外,还有其他证明方法。请选择其中一种,完成证明。
已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,求证:∠B=∠C。
1.随着钓鱼成为一种潮流,如图(1)所示的便携式折叠凳成为热销产品,图(2)是折叠凳撑开后的侧面示意图,已知OC=OD,∠BOD=100°,则凳腿与地面所成的角∠ODC为( )
A.36° B.50°
C.54° D.72°
B
2.如图所示,在三角形ABC中,AD=BD=BC。
(1)若∠A=40°,则∠C　 ;
(2)若∠CBD=40°,求∠A的度数。
解:(1)80°
探究点2　三线合一
例2　如图所示:(1)∵AB=AC,∠1=∠2,∴　 　,　 　;
(2)∵AB=AC,BD=CD,
∴　 　　,　 　　;
(3)∵AB=AC,AD⊥BC,
∴　 　,　 　。
AD⊥BC
BD=CD
∠1=∠2
AD⊥BC
∠1=∠2
BD=CD
3.如图所示,在△ABC中,∠BAC=108°,BC=20,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,求∠BAD的度数和BD的长。
探究点3　等边三角形的性质
例3　证明:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°。
证明:如图所示,∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC。
∴∠A=∠B=∠C。
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A=∠B=∠C=60°。
4.(2025佛山期末)如图所示,在等边△ABC中,AB=4 cm,BD平分∠ABC,点E在BC的延长线
上,且∠E=30°,则CE的长是( )
A.1 cm B.2 cm
C.3 cm D.4 cm
B
5.如图所示,在等边△ABD中,作BC⊥AB,交AD的延长线于点C。求证:CD=BD。
证明:∵△ABD是等边三角形,
∴AD=BD=AB,∠A=∠ABD=60°。
∵BC⊥AB,
∴∠ABC=90°。
∴∠CBD=90°-60°=30°,∠C=90°-60°=30°。
∴∠C=∠CBD。∴CD=BD。
1.已知某等腰三角形有两边长为5,10,则该等腰三角形的周长为( )
A.15 B.20
C.25 D.20或25
2.如图所示,已知AB∥CD,AC=BC,若∠1=70°,则∠2的度数为( )
A.40° B.45°
C.50° D.55°
C
A
3.如图所示,在等边三角形ABC中,AB=4,D是边BC上一点,且∠BAD=30°,则CD的长为( )
C
4.如图所示,AB=AD,BD平分∠ABC,求证:AD∥BC。
证明:∵AB=AD,
∴∠ABD=∠D。
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC。
∴∠D=∠DBC。∴AD∥BC。
1.已知一个等腰三角形的顶角等于140°,则它的底角等于( )
A.10° B.20° C.30° D.40°
2.(2025越秀区期中)如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,若BD=5,则CD等于
( )
A.3 B.4
C.5 D.6
B
C
3.(2025惠州期中)如图所示,直线a∥b,等边三角形ABC的顶点C在直线b上,∠1=40°,则∠2的度数为( )
A.100° B.90°
C.80° D.60°
4.若一个等腰三角形的两边长分别是4和10,则它的周长是　 　。
C
24
5.(2025龙华区期末)如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,且AD=AE。请判断BD与CE之间的数量关系,并说明理由。
解:BD=CE。理由:∵AB=AC,AD=AE,
∴∠B=∠C,∠ADE=∠AED。
∴∠ADB=∠AEC。
∴△ABD≌△ACE(AAS)。∴BD=CE。
6.如图所示,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,点E,F分别为垂足,△DEF是等边三角形。
(1)求∠A的度数;
(1)解:∵△DEF是等边三角形,
∴∠DEF=∠DFE=∠EDF=60°,DE=DF。
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90°。
∴∠AEF=∠AFE=30°。
∴∠A=180°-(∠AEF+∠AFE)=120°。
(2)求证:EF∥BC。
7.(2025东莞期中)某平板电脑支架如图所示,其中AB=CD,EA=ED,为了使用的舒适性,可调整∠AEC的大小。若∠AEC增大16°,则∠BDE的变化情况是( )
A.增大16° B.减小16°
C.增大8° D.减小8°
8.如图所示,已知等边三角形ABC纸片,点E在AC边上,点F在AB边上,沿EF折叠,使点A落在BC边上的点D处,且ED⊥BC,则∠EFD=　 　。
D
45°
9.(2025肇庆期中)如图所示,在一个风筝ABCD中,AB=AD,BC=DC,分别在AB,AD的中点E,F处挂两根彩线EC,FC。求证:EC=FC。
10.如图所示,P为等边三角形ABC内的一点,它到三边AB,AC,BC的距离PD,PE,PF的长分别为h1,h2,h3,△ABC的高AM=h,判断h与h1,h2,h3的数量关系,并证明。(共13张PPT)
单元综合回顾
180°
等于
大于
(n-2)·180°
360°
等边
等边
相等
相等
60°
60°
一半
互余
互余
距离相等
相等
1.(2025韶关期中)在△ABC中,若∠A=95°,∠B=40°,则∠C的度数为( )
A.35° B.40°
C.45° D.50°
三角形内角和定理
C
2.如图所示,B处在A处的南偏西40°方向,C处在A处的南偏东10°方向,C处在B处的北偏东85°方向,求∠ABC和∠ACB的度数。
解:由题意,得DB∥AE,∠BAE=40°,∠CAE=10°,∠DBC=85°,
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=50°。
∵DB∥AE,
∴∠DBA=∠BAE=40°。
∴∠ABC=∠DBC-∠DBA=45°。
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=85°。
3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D。若BC=2,则AD的长度为　 　。
4.一个等腰三角形的一个底角为40°,则它的顶角的度数是　 　度。
等腰三角形
2
100
5.如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,沿BD折叠△BCD,使点C恰好落在边AB上点E处,若∠A=20°,则∠ADE的度数为( )
A.70° B.60°
C.55° D.50°
6.命题“如果a=b,那么|a|=|b|”的逆命题是　 　(选填“真命题”或“假命题”)。
直角三角形和命题
D
假命题
7.(2025安徽中考)如图所示,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC,边AC的中点为E,边BC上的点D满足ED⊥AC,若DE=,则AC的长是( )
线段的垂直平分线
B
8.(2025东莞期中)如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且BD=DE,连接AE。
(1)求证:AB=EC;
(1)证明:∵EF垂直平分AC,∴AE=EC。
∵AD⊥BC,BD=DE,∴AB=AE。∴AB=EC。
(2)若△ABC的周长为42 cm,AC=16 cm,求DC的长。
9.(2024深圳中考)在如图所示的三个图形中,根据尺规作图的痕迹,能判断射线AD平分∠BAC的是( )
A.①② B.①③
C.②③ D.只有①
角平分线
B
10.如图所示,在△ABC中,点D在边AC上,且AD=AB。
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠BAC的平分线,交边BC于点E,连接DE(保留作图痕迹,不写作法)。
(2)求证:DE=BE。
(1)解:如图所示。
(2)证明:∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠DAE。
∵AB=AD,AE=AE,
∴△BAE≌△DAE(SAS)。∴DE=BE。
11.(2025眉山中考)如图所示,直线l与正五边形ABCDE的边AB,DE分别交于点M,N,则∠1+∠2的度数为( )
A.216° B.180°
C.144° D.120°
多边形的内角和与外角和
C
12.如图所示,小明在制作树叶标本,不小心将制作好的标本遮盖到了数学作业本上的一个正n边形的一部分。若正n边形的两条边所在直线AM,BN所夹锐角为36°,则n的值是
　 　。
五(共15张PPT)
1.多边形内角的一条边与另一条边的　 　所组成的角,叫作这个多边形的外角。
2.在每个顶点处取这个多边形的一个外角,它们的和叫作这个多边形的外角和。
3.多边形的外角和定理:多边形的外角和等于　 　。
第4课时　多边形的外角和
反向延长线
360°
探究点1　多边形的外角和
例1　如图所示,汽车沿“A→B→C→D→E→F”行驶过程中,经过四次转弯后与原来方向相同,四次转弯的角度分别为∠1,∠2,∠3,∠4,求∠1+∠2+∠3+∠4的度数。
解:∵汽车沿“A→B→C→D→E→F”行驶过程中,经过四次转弯后与原来方向相同,
∴EF∥AB。
∴∠1=∠CFG。
∵四边形的外角和为360°,
∴∠CFG+∠2+∠3+∠4=360°,
即∠1+∠2+∠3+∠4=360°。
1.某塔的塔基是个正n边形(n是正整数)。测得塔基所在的正n边形的一个外角为60°,则n是( )
A.五 B.六 C.七 D.八
2.如图(1)所示是我国古建筑墙上采用的八角形空窗,其轮廓是一个正八边形,窗外之境如同镶嵌于一个画框之中。如图(2)所示是八角形空窗的示意图,它的一个外角∠1=( )
A.45° B.60°
C.110° D.135°
B
A
探究点2　多边形的内角和与外角和的综合
例2　已知一个多边形的内角和与外角和的和为1 080°,且这个多边形的各个内角都相等。求这个多边形的每个外角的度数。
解:设这个多边形是n边形。
根据题意,得(n-2)×180°+360°=1 080°,
解得n=6。
∵这个多边形的各个内角都相等,
∴这个多边形的一个外角是360°÷6=60°,
即这个多边形的每个外角的度数都是60°。
3.佩佩在“黄峨古镇”研学时学习扎染技术,得到了一个内角和为1 080°的正多边形图案,这个正多边形的每个外角的度数为( )
A.36° B.40° C.45° D.60°
C
1.已知某多边形的内角和等于外角和的2倍,则该多边形的边数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
2.如图所示,已知∠1+∠2+∠3+∠4=280°,那么∠5的度数为( )
A.70° B.80°
C.90° D.100°
3.一个正多边形的内角和为540°,则这个正多边形的每一个外角等于( )
A.108° B.90° C.72° D.60°
4.正八边形一个外角的大小为　 　度。
C
B
C
45
5.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180度,求这个多边形的边数。
解:设这个多边形的边数为n,
则内角和为(n-2)×180°。
由题意,得(n-2)×180°=360°×3+180°,
解得n=9。即这个多边形的边数是9。
1.正多边形的一个外角等于60°,这个多边形的边数是( )
A.3 B.6 C.9 D.12
2.如图所示,将三角形纸片剪掉一角得四边形,设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α,β,则下列结论正确的是( )
A.α=β
B.α<β
C.α>β
D.无法比较α与β的大小
B
A
3.下列正多边形中,外角和是该多边形任意一个内角3倍的是( )
D
4.一个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20°,求此正多边形的边数。
5.如图所示,在正五边形ABCDE中,BG平分∠ABC,DG平分正五边形的外角∠EDF,则∠G的度数为　 　。
54°
6.一个多边形,它所有的内角和与一个外角的差为1 200°,求这个多边形的边数与这一个外角的度数。
7.(1)如图(1),图(2)所示,试研究四边形中∠1,∠2与∠3,∠4之间的数量关系;
解:(1)设∠1,∠2的邻补角分别为∠5,∠6.
∴∠3+∠4+∠5+∠6=360°。
∴∠3+∠4=360°-(∠5+∠6)。
∵∠1+∠5=180°,∠2+∠6=180°,
∴∠1+∠2=360°-(∠5+∠6)。
∴∠1+∠2=∠3+∠4。
(2)如果我们把∠1,∠2称为四边形的外角,那么请你用文字描述(1)中的关系。
解:(2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和。(共15张PPT)
1.多边形的内角和定理
n边形的内角和等于　 　。
2.正n边形的一个内角的度数为　 　。
第3课时　多边形的内角和
(n-2)×180°
探究点1　多边形的内角和
例1　同学们在探索“多边形的内角和”时,利用了“三角形的内角和”。请你在不直接运用结论“n边形的内角和为(n-2)×180°”计算的条件下,利用“三角形的内角和等于180°”,结合如图所示的图形说明:五边形ABCDE的内角和为540°。
解:连接AD,AC(图略),则∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠E=∠EAD+∠DAC+∠CAB+∠ABC+
∠BCA+∠ACD+∠CDA+∠ADE+∠E=(∠EAD+∠ADE+∠E)+(∠DAC+∠ACD+∠CDA)+(∠CAB+
∠ABC+∠BCA)=180°+180°+180°=180°×3=540°。
∴五边形ABCDE的内角和为540°。
1.如图所示,韶关市城市新地标韶阳楼坐落在美丽的森林公园内。韶阳楼的地底藏有一座神秘古塔的塔基,正与韶阳楼的中心位置重合,该塔基是正六边形,此六边形的内角和为　 　。
720°
探究点2　多边形的边数与内角和的关系
例2　已知一个多边形的内角和是1 260°,则这个多边形是( )
A.六边形 B.七边形
C.八边形 D.九边形
D
2.一个多边形的内角和为540°,则这个多边形可能是( )
C
探究点3　多边形的边数与内角的关系
例3　(1)正三角形的每个内角的度数为　 　;
(2)正方形的每个内角的度数为　 　;
(3)正六边形的每个内角的度数为　 　。
60°
90°
120°
3.(1)已知正多边形的一个内角是135 °,则这个正多边形的边数是　 　;
(2)一个正多边形的每个内角都等于144°,则这个多边形的边数是　 　。
8
10
1.若一个多边形的内角和等于1 800°,则这个多边形是( )
A.十二边形 B.十边形
C.九边形 D.八边形
2.从十边形的一个顶点出发可以引　 　条对角线,将这个十边形分成了　 　个三角形,十边形内角和的度数为　 　。
A
7
8
1 440°
1.若多边形的边数由n增加到n+1(n为大于3的正整数),则其内角和的度数( )
A.增加180° B.减少180°
C.不变 D.不能确定
2.若一个n边形从一个顶点最多能引出6条对角线,则n是( )
A.五 B.八 C.九 D.十
A
C
3.如图所示,在五边形ABCDE中,AB∥CD,∠A=135°,∠C=60°,∠D=150°,则∠E的大小为
( )
A.60° B.65°
C.70° D.75°
D
4.[传统文化] 风铃,又称铁马,常见于中国传统建筑屋檐下[如图(1)所示],如图(2)所示是六角形风铃的平面示意图,其底部可抽象为正六边形ABCDEF,连接CF,则∠AFC的度数为
( )
A.30° B.45°
C.60° D.75°
C
5.已知两个多边形所有内角的和为1 800°,且这两个多边形的边数之比为2∶5,求这两个多边形的边数。
解:设这两个多边形的边数分别为2x,5x。
由题意,得
(2x-2)×180°+(5x-2)×180°=1 800°,解得x=2。
∴2x=4,5x=10。
∴这两个多边形的边数分别为4,10。
6.将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放。如果∠3=32°,那么∠1+∠2=　 　。
70°
7.如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等,那么这样的多边形叫作正多边形,如正三角形就是等边三角形,正四边形就是正方形,如图所示是一组正多边形。
(1)观察上面每个正多边形中的∠α,填写下表。
正多边形边数 3 4 5 6 … n
∠α的度数 　 　 　 　 … 　
(2)根据规律,计算正八边形中∠α的度数。
(3)是否存在正n边形使得∠α=21° 若存在,请求出n的值,若不存在,请说明理由。(共19张PPT)
第一章 　三角形的证明及其应用
1.三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于　 　。
2.全等三角形
(1)两角分别相等且其中一组等角的　 　相等的两个三角形全等。(AAS)
(2)全等三角形的　 　相等、　 　相等。
第1课时　三角形的内角和及全等三角形的判定与性质
180°
对边
对应边
对应角
探究点1　三角形的内角和
例1　(2025揭阳月考)如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D,BE是△ABC的一条角平分线,若∠C=30°,求∠DBE的度数。
1.(2025白云区期中)在△ABC中,若∠A=36°,∠B∶∠C=1∶5,则∠C等于( )
A.120° B.100° C.24° D.20°
2.(2025江门期中)如图所示,在△ABC中,已知AD是△ABC的角平分线,DE是△ADC的高,
∠B=60°,∠C=40°,求∠ADB和∠ADE的度数。
A
探究点2　全等三角形的判定和性质
例2　如图所示,已知点B,E,C,F在同一条直线上,AB=DE,∠A=∠D,AC∥DF。求证:BE=CF。
证明:∵AC∥DF,∴∠ACB=∠F。
在△ABC和△DEF中,
∵∠A=∠D,∠ACB=∠F,AB=DE,
∴△ABC≌△DEF(AAS)。∴BC=EF。
∴BC-CE=EF-CE,即BE=CF。
3.如图所示,在△ABC中,点E是BC边上的点,BM∥CN,BM=CN。求证:E是线段BC的中点。
证明:∵BM∥CN,∴∠M=∠CNE。
在△BME和△CNE中,∵∠BEM=∠CEN,∠M=∠CNE,BM=CN,
∴△BME≌△CNE(AAS)。
∴BE=CE。∴E是线段BC的中点。
1.若△ABC三个角的大小满足∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠A的度数为( )
A.40° B.60°
C.80° D.100°
2.如图所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AC,若∠B=40°,∠C=60°,则∠ADE的度数为
( )
A.50° B.60°
C.40° D.30°
A
A
3.如图所示,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.乙与丙
D
1.(2025东莞期中)根据图中的数据,可得x+y的值为( )
A.180 B.110
C.100 D.70
2.如图所示,△ABC≌△DCB,若AC=9,BE=6,则DE的长为( )
A.3 B.6
C.2 D.4
B
A
3.(2025肇庆期末)如图所示,经测量,B处在A处的南偏西60°方向,C处在A处的南偏东20°方向,E处在B处的正北方向,且∠CBE=100°,则∠ACB的度数是　 　。
60°
4.如图所示,在三角形ABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC,∠AED=80°,求∠EDC的度数。
5.如图所示,直线l1∥l2,且分别与△ABC的两边AB,AC相交,若 ∠A=45°,∠1=65°,则∠2的度数为　 　。
70°
6.如图所示,B,C,D三点在同一条直线上,∠B=∠D=90°,△ABC≌△CDE,AB=5,BC=12,
CE=13。
(1)△ABC的周长为　　　　;
(2)求△ACE的面积。
解:(1)30
7.如图所示,在折纸活动中,小明制作了一张三角形纸片ABC,点D,E分别在边AB,AC上,将△ABC沿DE折叠,使点A与点A′重合。
(1)若∠A=75°,则∠1+∠2=　　　　°;
解:(1)150
(2)若∠A=α,求∠1+∠2的值。
解:(2)由折叠的性质,得∠AED=∠A′ED,∠ADE=∠A′DE。
∴2∠AED+∠1=180°,2∠ADE+∠2=180°。
∴2(∠AED+∠ADE)+(∠1+∠2)=360°。
又∠A+∠AED+∠ADE=180°,
∴2(180°-∠A)+∠1+∠2=360°。
∴∠1+∠2=2∠A=2α。(共14张PPT)
三角形三个内角的平分线
(1)三角形三个内角的平分线相交于　 　,并且这一点到三条边的距离　 　;
(2)几何语言:如图所示,在△ABC中,AM,BN,CP分别是三个内角的平分线,且相交于
点O,则点O到三边的距离相等,即OD=　 　=　 　。
第13课时　三角形三个内角的平分线
一点
相等
OE
OF
探究点1　三角形三个内角的平分线的性质
例1　如图所示,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F。
(1)∠EDB与∠FDB相等吗 请说明理由。
解:(1)∠EDB与∠FDB相等。理由如下:
∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠BED=∠BFD=90°。
∵BD是△ABC的角平分线,∴∠EBD=∠FBD。
在△BDE和△BDF中,
∵∠DBE=∠DBF,∠BED=∠BFD,BD=BD,
∴△DBE≌△DBF(AAS)。∴∠EDB=∠FDB。
(2)若△ABC的面积为70,AB=16,DE=5,求BC的长。
如图所示,△ABC的三条角平分线交于点O,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,垂足分别为D,E,F。已知OD=3,△ABC的周长是14。求△ABC的面积。
探究点2　与角平分线有关的尺规作图
例2　如图所示,某市有一块由三条马路围成的三角形绿地,现准备在其中建一座小亭供人们休息,要求小亭中心到三条马路的距离相等,试确定小亭的中心位置。(不写作法,保留作图痕迹)
解:如图所示,点O即是小亭的中心位置。
1.(2025佛山月考)如图所示,三条公路将A,B,C三个村庄连成一个三角形区域,如果在这个区域内修建一个集贸市场,要使集贸市场到三条公路的距离相等,那么这个集贸市场应建的位置是( )
A.三条高线的交点
B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边垂直平分线的交点
C
2.如图所示,在△ABC中,∠BAC=60°,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,AO=2,下面结论中不一定正确的是( )

A.∠BOC=120°
B.∠BAO=30°
C.OB=3
D.点O到直线BC的距离是1
C
1.如图所示,在△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等,若∠A=70°,则∠BOC的度数为( )
A.125° B.135°
C.55° D.35°
2.如图所示,在△ABC中,BM,CM分别平分∠ABC和∠ACB,连接AM,已知∠MBC=25°,∠MCA=
30°,则∠MAB的度数为( )
A.25° B.30°
C.35° D.40°
A
C
3.如图所示,在△ABC中,根据尺规作图痕迹,下列四个结论:①AF=BF;②∠AFD+∠FBC=
90°;③DF⊥AB;④∠BAF=∠CAF。其中正确的是　 　(填序号)。
①②③
4.如图所示,在△ABC中,AD是高,AE,BF是角平分线,它们相交于点O,∠BAC=60°,∠C=
70°,求∠CAD,∠BOA的度数。
解:∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°。
∵∠C=70°,∴∠CAD=90°-70°=20°。
∵∠BAC=60°,∠C=70°,AE是∠BAC的平分线,∴∠BAO=30°,∠ABC=50°。
∵BF是∠ABC的平分线,∴∠ABO=25°。
∴∠BOA=180°-∠BAO-∠ABO=180°-30°-25°=125°。
5.如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,点I为△ABC各内角平分线的交点,过点I作AC的垂
线,垂足为H,若BC=6,AB=8,那么IH的值为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
A
6.如图所示,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P,且PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为E,F。连接AP。
(1)求证:PE=PF;
(1)证明:如图所示,过点P作PD⊥BC于点D。
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P,且PE⊥AB,PF⊥AC,
∴PD=PE,PD=PF。∴PE=PF。
(2)若∠BAC=60°,求∠EAP的度数。
7.如图所示,△ABC的两条内角平分线相交于点D,过点D作一条平分△ABC面积的直线,那么这条直线分成的两个图形的周长比是( )
A.2∶1 B.1∶1
C.2∶3 D.3∶1
B(共12张PPT)
1.角平分线的性质
(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离　 　;
(2)几何语言:如图所示,因为OP是∠MON的平分线,G为OP上任意一点,GE⊥OM,GF⊥ON,所以　 　。
第12课时　角平分线的性质与判定
相等
GE=GF
2.角平分线的判定
(1)在一个角的内部,到角的两边距离　 　的点在这个角的平分线上;
(2)几何语言:如图所示,因为GE⊥OM,GF⊥ON,GE=GF,所以　 　。
相等
OP是∠MON的平分线
探究点1　角平分线的性质
例1　如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,且E是AB的中点,DE=3,求BC的长。
解:∵∠C=90°,∴DC⊥AC。
∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,
∴DC=DE=3,∠DAB=∠CAD。
∵E是AB的中点,∴DB=AD。
∴∠DAB=∠B。
∴∠CAD=∠DAB=∠B。
∵∠CAD+∠EAD+∠B=90°,
∴∠CAD=∠EAD=∠B=30°。
∴在Rt△BED中,BD=2DE=6,
∴BC=BD+CD=6+3=9。
如图所示,AD是∠BAC的平分线,点P在AD上,PE⊥AC于点E,若PE=9,则点P到AB的距离是
( )
A.18 B.12
C.6 D.9
D
探究点2　角平分线的判定
例2　如图所示,P是∠MON内的一点,PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,连接AB,∠PAB=∠PBA,求证:OP平分∠MON。
证明:∵∠PAB=∠PBA,
∴PA=PB。
∵PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,
∴点P在∠MON的平分线上,即OP平分∠MON。
1.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,若BC=5,BD=3,则点D到AB的距离是( )
A.2 B.3
C.4 D.5
2.如图所示,AD∥BC,AP,BP分别平分∠DAB,∠ABC,CD过点P且与AD垂直。若CD=8,AB=10,则△ABP的面积为　 。
A
20
1.如图所示,在CD上求一点P,使它到OA,OB的距离相等,则点P是( )
A.线段CD的中点
B.OA与OB的垂直平分线的交点
C.CD与∠AOB的平分线的交点
D.OA与CD的垂直平分线的交点
C
3
3.如图所示,BD平分∠ABC,BA=BC,点P在直线BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N。求
证:PM=PN。
证明:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD。
在△ABD和△CBD中,
∵AB=CB,∠ABD=∠CBD,BD=BD,
∴△ABD≌△CBD(SAS)。
∴∠ADB=∠CDB。
∴∠ADP=∠CDP。
∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM=PN。
4.如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,AD平分∠BAC交BC于点D,则BD的长为
( )
A
12
6.探究发现:如图(1)所示,在△ABC中,若AD是∠BAC的平分线,过点D分别作 DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE=DF。
探究应用:如图(2)所示,在△ABC中,仍然有条件“AD是∠BAC的平分线,点E,F分别在AB和AC上”。若∠AED+∠AFD=180°,则DE与DF是否仍相等 若相等,请证明;若不相等,请举反例说明。
解:相等。证明如下:
如图所示,过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N。
∵AD平分∠BAC,DM⊥AB,
DN⊥AC,∴DM=DN。
∵∠AED+∠AFD=180°,
∠AFD+∠DFN=180°,
∴∠DFN=∠AED。
在△DME与△DNF中,∵∠DME=∠DNF,
∠MED=∠NFD,DM=DN,
∴△DME≌△DNF(AAS)。
∴DE=DF。(共14张PPT)
1.等边三角形的判定
(1)三边相等的三角形是等边三角形;
(2)三个角都　 　的三角形是等边三角形;
(3)有一个角等于　 　的等腰三角形是等边三角形。
2.含30°角的直角三角形的性质
第7课时　等边三角形的判定与含30°角的直角三角形
相等
60°
一半
探究点1　等边三角形的判定
例1　已知:如图所示,△ABC是等边三角形,DE与BC平行,分别交AB,AC于点D,E。求证:
△ADE是等边三角形。
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C。
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C。
∴∠A=∠ADE=∠AED。
∴△ADE是等边三角形。
1.下列条件中,不能判定△ABC是等边三角形的是( )
A.∠A=∠B=∠C
B.AB=AC,∠B=60°
C.∠A=60°,∠B=60°
D.AB=AC,且∠B=∠C
D
探究点2　含30°角的直角三角形的性质
例2　如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D是BC的中点,若AD=3 cm,求AB的长。
在一般情况下,遇到30°的角,可以通过构造直角三角形来解决相关线段长度的问题。
2.如图所示,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,过点B作BD⊥BC,若AD=1,则CD的长为( )
A.1 B.2.5
C.2 D.3
C
1.如图所示,AC=BC=10 cm,∠B=15°,AD⊥BC交BC的延长线于点D,则AD的长为( )
A.3 cm B.4 cm
C.5 cm D.6 cm
2.(2025佛山期中)若△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2+|b-c|=0,则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.无法确定
C
C
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=2,则AC的长为( )
C
2.如图所示,AB=AC,DB=DC,若∠ABC为60°,BE=3 cm,则AB的长为　 　。
6 cm
3.如图所示,等腰三角形ABC的顶点A,B分别在直线a,b上,且 a∥b,若∠C=60°,∠1=
20°,则∠2的度数为　 　。
80°
4.如图所示,△ABC是等边三角形,∠1=∠2=∠3。求证:△DEF是等边三角形。
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°。
∵∠1=∠2=∠3,
∴∠DFE=∠3+∠FAC=∠1+∠FAC=∠CAB=60°。
同理,得∠DEF=∠EDF=60°。
∴△DEF是等边三角形。
5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,DE⊥AC于点E,交AB于点M,且AE=CE。以点C为圆心,CA的长为半径作弧,交DE于点F,连接CF交AB于点G。若CG=FG,则∠B的度数为( )
A.75° B.70°
C.65° D.60°
A
6.如图所示,在△ABC中,AB=5,∠ABC=60°,D为边BC上的点,AD=AC,BD=2,则DC的长为　　。
1
7.如图所示,在△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,AC=3 cm,点D从点A以1 cm/s的速度向点C运动,同时点E从点C以2 cm/s的速度向点B运动。设运动时间为t s。
(1)当t=　　　　　　时,△DEC为等边三角形(直接写结果)。
解:(1)1
(2)当t为何值时,△DEC为直角三角形 (共13张PPT)
1.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个　 　的距离相等。
2.过一点作直线l的垂线
第11课时　三角形三边的垂直平分线及作图
顶点
条件 作法 图示
点P在直线l上 (1)以点P为圆心,任意长为半径画弧,交l于点A,B; (2)分别以点A,B为圆心,以　 　为半径画弧,交于点C; (3)作直线PC,则PC⊥AB
点P在直线l外 (1)以点P为圆心画弧,使弧与直线l交于点A,B; (2)分别以点A,B为圆心,以　 　为半径画弧,交于点C; (3)作直线PC,则PC⊥AB
探究点1　三角形三边的垂直平分线
例1　如图所示,在△ABC中,DE,DF所在的直线分别为BC,AB边的垂直平分线,连接AD,CD。若∠B=40°,求∠ACD的度数。
如图所示,△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P。连接PB,PC,若∠ABP=40°,∠ACP=
35°,则∠BPC的度数为　 　。
150°
探究点2　过一点作已知直线的垂线
例2　如图所示,在△ABC中,用尺规作图法作BC边上的高AD,垂足为D。
解:如图所示。AD即为所求作的高。
1.下列尺规作图中是经过已知直线外一点作这条直线的垂线的是( )
2.如图所示,已知在△ABC中,O是BC,AC的垂直平分线的交点,OB=5 cm,AB=8 cm,则△AOB的周长是( )
A.21 cm B.18 cm
C.15 cm D.13 cm
B
B
3.如图所示,在△ABC中,BC=8,∠B=2∠C,点D为边AC的垂直平分线与边BC的交点,且BD=AB-2。
(1)求证:AB=AD;
(2)求CD的长。
(1)证明:∵点D为边AC的垂直平分线与边BC的交点,∴DC=AD。
∴∠C=∠CAD。
∴∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C=∠B。
∴AB=AD。
(2)解:∵AB=AD,CD=AD,BD=AB-2,BC=8,∴CD+CD-2=8。∴CD=5。
1.如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部,那么这个三角形是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
C
D
3.请用直尺、圆规作图,不写作法,但要保留作图痕迹。
已知:如图所示。∠α,直线l及l上两点A,B。
求作:△ABC,使点C在直线l的上方,且∠ABC=90°,∠BAC=∠α。
解:如图所示,△ABC就是所求作的三角形。
4.如图所示,在△ABC中,AB,AC的垂直平分线l1,l2相交于点O,若∠BAC=α,则∠OBC的大小为　 　(用含α的式子表示)。
90°-α
5.如图所示,在△ABC中,边AB的垂直平分线交BC,AB于点E,M,边AC的垂直平分线交BC,AC于点F,N,连接AE,AF,△AEF的周长是12。若∠B+∠C=45°,BE=3,求△AEF的面积。
解:∵ME是边AB的垂直平分线,NF是边AC的垂直平分线,
∴BE=AE=3,FA=FC。
∴∠EAB=∠B,∠FAC=∠C。
∵∠B+∠C=45°,
∴∠BAC=180°-(∠B+∠C)=180°-45°=135°,∠EAB+∠FAC=∠B+∠C=45°。
∴∠EAF=∠BAC-(∠EAB+∠FAC)=135°-45°=90°。(共14张PPT)
1.三角形的外角
△ABC内角的一条边与另一条边的　 　所组成的角,叫作△ABC的外角。如图所示,∠1是△ABC的一个外角。
2.三角形外角的性质
推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的　 　。
推论2:三角形的一个外角　 　任何一个和它不相邻的内角。
第2课时　三角形的外角
反向延长线
和
大于
探究点1　利用三角形的外角解决相等关系
例1　(2025江门期中)如图所示,已知AD为△ABC的角平分线,若∠B=50°,∠C=30°,求∠ADB的度数。
1.(2025越秀区期中)图中x的值为　 　。
70°
探究点2　利用三角形的外角解决不等关系
例2　如图所示,已知CE为△ABC外角∠ACD的平分线,CE交BA的延长线于点E。证明:
∠BAC>∠B。
证明:∵CE为△ABC外角∠ACD的平分线,∴∠1=∠2。
∵∠BAC=∠1+∠E,∠2=∠B+∠E,
∴∠BAC=∠B+2∠E。∴∠BAC>∠B。
2.如图所示,D,E在边AB上,∠A,∠1,∠2的大小关系是　 　。
∠2>∠1>∠A
1.如图所示,在△ABC中,点D在CB的延长线上,∠A=50°,∠ABD=110°,则∠C的度数为
( )
A.40° B.50°
C.60° D.70°
2.如图所示,在△ABC中,点E是AC延长线上的一点,点D是BC上的一点。则∠BDE　　∠A
(选填“>”“<”或“=”)。
C
>
3.如图所示,在△ABC中,AN是∠BAC的平分线,∠B=50°,∠ANC=80°。求∠C的度数。
解:∵∠ANC=∠B+∠BAN,
∴∠BAN=∠ANC-∠B=80°-50°=30°。
∵AN是∠BAC的角平分线,
∴∠BAC=2∠BAN=60°。
在△ABC中,∠C=180°-∠B-∠BAC=70°。
1.(2025中山期中)如图所示,若∠B=45°,∠C=38°,则∠ADF等于( )
A.97° B.83°
C.93° D.70°
B
2.(2025惠州期中)将一副直角三角板按如图方式叠放在一起,则∠α的度数是( )
A.165° B.120°
C.150° D.135°
3.如图所示,在△ABC中,∠1是它的一个外角,E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE。则下列结论正确的是( )
A.∠1>∠D B.∠D>∠2
C.∠1=∠2+∠3 D.∠3=∠A
A
A
4.如图所示,在△ABC中,点D是BC延长线上一点,∠B=40°,∠ACD=120°,则∠A的余角的度数是　 　。
10°
5.(2025珠海期中)如图所示,AD是△ABC的外角平分线,交BC的延长线于点D,若∠B=30°,
∠ACD=100°,求∠DAE的度数。
6.如图所示,直线a∥b,在Rt△ABC中,点C在直线a上,若∠1=58°,∠2=24°,则∠B的度数为( )
A.56° B.64°
C.66° D.54°
7.(2025江门期中)一个零件的形状如图所示,按规定∠A应等于90°。已知∠B,∠C分别是34°和18°,李伯伯量得∠BDC=146°,则这个零件是否合格 　 　(选填“合格”或“不合格”)。
A
不合格
8.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,D为AC上一点,DE⊥AB于点E,BF为△ABC的角平分线。
(1)若∠ABC=α,则∠ADE=　　　　(用含α的式子表示);
解:(1)α
(2)探究∠AFB与∠ADE之间的数量关系。(共14张PPT)
1.线段垂直平分线的性质
(1)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;
(2)几何语言:如图所示,
∵MN⊥BC于点E,且BE=CE,D是MN上任意一点,
∴　 　。
第10课时　线段垂直平分线的性质与判定
BD=CD
2.线段垂直平分线的判定
(1)到一条线段两个端点距离　 　的点,在这条线段的垂直平分线上;
(2)几何语言:如图所示,因为BD=CD,所以点D在线段BC的　 　上。
相等
垂直平分线
探究点1　线段垂直平分线的性质
例1　如图所示,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E。
(1)求证:△ABD是等腰三角形;
(1)证明:∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,
∴DB=DA。∴△ABD是等腰三角形。
(2)若AE=6,△CBD的周长为20,求△ABC的周长。
(2)解:∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E,AE=6,
∴AB=2AE=12,BD=AD。
∵△CBD的周长为20,∴BD+CD+BC=20。
∴AD+CD+BC=20,即AC+BC=20。
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=12+20=32。
1.如图所示,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点D,CD平分∠ACB,若∠A=50°,则∠B的度数为( )
A.25° B.30°
C.35° D.40°
B
探究点2　线段垂直平分线的判定
例2　如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD平分∠ABC交AC于 点D,求证:点D在线段AB的垂直平分线上。
2.如图所示,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC。求证:直线AO垂直平分线段BC。
证明:∵AB=AC,OB=OC,
∴点A,O都在线段BC的垂直平分线上。
∴直线AO垂直平分线段BC。
1.小明做了一个如图所示的风筝,其中EH=FH,ED=FD,小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线。其中蕴含的两个道理分别是　 .
和　 　。
2.如图所示,已知在△ABC中,DE是BC的垂直平分线,垂足为E,交AC于点D,若AB=6,AC=9,则△ABD的周长是　 　。
段的垂直平分线上
到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线
两点确定一条直线
15
1.如图所示,直线AD垂直平分线段BC,∠B=50°,则∠C的度数为( )
A.60° B.50°
C.40° D.30°
2.(2025潮州期末)如图所示,在△ABC中,DE是BC的垂直平分线。若AB=5,AC=8,则△ABD的周长是( )
A.13 B.5 C.8 D.26
B
A
3.如图所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,AD与EF相交于点G。求证:AD垂直平分EF。
4.如图所示,在△ABC中,分别作AB,AC的垂直平分线,交BC于点D,E,垂足为F,G,若∠BAC=
110°,则∠DAE=　 　°。
5.[方程思想]如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线MN分别交AC,AB于点D,E。若∠CBD比∠DBA的2倍少10°,则∠A的度数为　 　。
40
25°
6.如图所示,在△ABC中,BC>AB>AC。小星、小红两人想在BC上取一点P,连接AP,使得∠APC=2∠ABC,其作法如下:
请选择一种作法将图形补全,并判断正误,说明理由。
解:选择小星的作法,补全图形如图①所示,此作法正确。理由如下:
∵MN是AB的垂直平分线,
∴AP=BP。
∴∠ABC=∠BAP。
∵∠APC=∠ABC+∠BAP,
∴∠APC=2∠ABC。∴小星的作法正确。
选择小红的作法,补全图形如图②所示,此作法错误。理由如下:
∵AB=BP,∴∠BAP=∠APB。
∵∠APC=∠BAP+∠ABC,
∠ABC≠∠BAP,
∴∠APC≠2∠ABC。
∴小红的作法错误。(共20张PPT)
1.等腰三角形的判定
有两个角　 　的三角形是等腰三角形。这一定理可以简述为:
等角对　 　。如图所示,已知∠B=∠C,则AB=AC。
2.反证法
在证明时,先假设命题的结论　 　,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立,这种证明方法称为反证法。
第6课时　等腰三角形的判定与反证法
相等
等边
不成立
探究点1　等腰三角形的判定
例1　已知:如图所示,在△ABC中,∠B=∠C。求证:AB=AC。
例2　(2025东莞期中)如图所示,∠CAE是△ABC的外角,∠1=∠2,AD∥BC。求证:△ABC是等腰三角形。
证明:∵AD∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C。
∵∠1=∠2,∴∠B=∠C。
∴△ABC是等腰三角形。
1.(2025番禺区期末)如图所示,∠MAN=30°,点B是射线AN上的定点,点P是直线AM上的动点,要使△PAB为等腰三角形,则满足条件的点P共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
2.(2025清远期中)如图所示,在△ABC中,AB=AC,点E是AC上一点,ED⊥BC于点D,DE的延长线交BA的延长线于点F。求证:△AEF是等腰三角形。
证明:∵DF⊥BC,
∴∠B+∠F=90°,∠C+∠DEC=90°。
∵AB=AC,∴∠B=∠C。
∴∠F=∠DEC。
∵∠AEF=∠DEC,
∴∠F=∠AEF。
∴AF=AE。
∴△AEF是等腰三角形。
探究点2　反证法
例3　已知:△ABC是等腰三角形,AB=AC。
求证:∠B,∠C是锐角。
证明:假设∠B,∠C不是锐角。
∵AB=AC,∴∠B=∠C≥90°。
∴∠B+∠C≥180°。
∴∠A+∠B+∠C>180°。
这与三角形内角和定理矛盾,
因此“∠B,∠C不是锐角”的假设不成立。
∴∠B,∠C是锐角。
3.用反证法证明“在△ABC中,∠A,∠B所对的边分别是a,b,若∠A<∠B,则aA.a>b B.a=b
C.a≤b D.a≥b
D
4.如图所示,△ABC的外角平分线AE与BC的延长线交于点E。求证:AB≠AC。
证明:假设AB=AC。
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB。
∴∠DAC=∠B+∠ACB=2∠ACB。
∵AE平分∠DAC,
∴∠DAC=2∠DAE=2∠CAE。
∴∠ACB=∠CAE。∴AE∥BC。
这与△ABC的外角平分线AE与BC的延长线交于点E相矛盾。
因此“AB=AC”的假设不成立。
∴AB≠AC。
1.在△ABC中,∠B=∠C,AB=3,则AC的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.用反证法证明命题“在Rt△ABC中,若∠C=90°,∠B≠45°,则AC≠BC”时,首先应假设
( )
A.AC=BC B.AB=AC
C.∠B=45° D.∠C≠90°
B
A
3.如图所示,在△ABC中,CD平分∠ACB,过点D作DE∥BC交AC于点E,若DE=7,AE=5,则AC的长为　 　。
12
4.如图所示,BC∥AM,D是CA延长线上的一点,且∠B=∠DAM。求证:△ABC是等腰三角形。
证明:∵BC∥AM,∴∠C=∠DAM。
∵∠B=∠DAM,
∴∠B=∠C。
∴AB=AC。
∴△ABC是等腰三角形。
1.在△ABC中,若两个内角的度数如下,则能判定△ABC为等腰三角形的是( )
A.∠A=50°,∠B=60°
B.∠A=30°,∠B=75°
C.∠A=20°,∠B=100°
D.∠A=40°,∠B=60°
B
2.(2025佛山月考)如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点。已知A,B是两格
点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C的个数是( )
A.6个 B.7个
C.8个 D.9个
3.[分类讨论] 在△ABC中,∠A=46°。当∠B的度数为　 　时,△ABC为等腰三角形。
4.命题“三角形中至多有两个内角大于60°”,用反证法证明时第一步需要假设
　 　。
C
67°或88°或46°
三个内角都大于60°
5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,∠B=30°,连接AD。若∠BAD=45°,求证:
△ACD是等腰三角形。
证明:∵AB=AC,∠B=30°,
∴∠C=∠B=30°。
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°。
∵∠BAD=45°,
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=120°-45°=75°,∠ADC=∠B+∠BAD=75°。
∴∠ADC=∠CAD。∴CA=CD。
∴△ACD是等腰三角形。
6.用反证法证明:一个三角形中,至少有一个内角不小于60°。
证明:假设三角形中没有一个内角大于或等于60°,则这个三角形的内角和小于180°,与三角形内角和定理矛盾,故假设不成立,原命题正确。
7.如图所示,在△ABC中,BC=5 cm,BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线,且PD∥AB,
PE∥AC,则△PDE的周长是　 　cm。
5
8.如图所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,E是BC上一点,EF∥AD交AB于点F,交CA的延长线于点P。求证:△APF是等腰三角形。
证明:∵EF∥AD,
∴∠BAD=∠AFP,∠CAD=∠P。
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD。
∴∠AFP=∠P。∴AF=AP。
∴△APF是等腰三角形。
9.(2025南山区期末)如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,且BE=CF,BD=CE。
(1)求证:△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A=40°时,求∠DEF的度数。
10.如图所示,已知∠O=30°,P是射线ON上一动点,当△AOP是等腰三角形时,∠A=
　 　。
30°或75°或120°(共12张PPT)
1.用“HL”判定两直角三角形全等
(1)定理:　 　和　 　分别相等的两个直角三角形全等;
(2)书写格式:如图所示,
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′ 中,
若AB=　 　,BC=　 　,
则Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)。
第9课时　用“HL”判定直角三角形全等
斜边
一条直角边
A′B′
B′C′
2.直角三角形全等的判定方法
已知条件 判定方法
两直角边分别相等 SAS
斜边与一条直角边分别相等 HL
一锐角与斜边分别相等 AAS
一锐角与一条直角边分别相等 ASA或AAS
探究点1　用“HL”判定两直角三角形全等
例1　如图所示,已知AB=CD,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,BF=DE,求证:△AEB≌△CFD。
证明:∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEB=∠CFD=90°。
∵BF=DE,∴BF+EF=DE+EF。
∴BE=DF。
在Rt△AEB和Rt△CFD中,
∵AB=CD,BE=DF,
∴Rt△AEB≌Rt△CFD(HL)。
如图所示,∠C=∠D=90°,添加一个条件,可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等。以下给出的条件正确的是( )
A.AC=AD
B.AC=BC
C.∠ABC=∠ABD
D.AD=BD
A
探究点2　直角三角形全等判定的综合运用
例2　如图所示,AC⊥BE于点C,DF⊥BC于点F,且BC=EF,如果添上一个条件后,仍不能证明Rt△ABC≌Rt△DEF,这个条件是( )
A.∠D=∠A B.∠B=∠E
C.AB=DE D.AC=DE
D
1.(2025清远期中)如图所示,已知AC=BD,∠ABC=∠DCB=90°,则Rt△ABC≌Rt△DCB的理由是( )
A.SAS B.HL
C.AAS D.ASA
2.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD和CE交于点O,连接AO,则图中有　 　对全等的直角三角形。
B
4
1.如图所示,已知∠C=∠C1=90°,能直接用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△A1B1C1的条件是
( )
A.∠C=∠C1,AB=A1B1
B.AB=A1B1,AC=A1C1
C.AC=A1C1,BC=B1C1
D.∠B=∠B1,BC=B1C1
B
2.如图所示,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE与CD交于点O,OB=OC,连接AO,则图中全等的直角三角形共有( )
A.2对 B.3对
C.4对 D.5对
B
3.如图所示,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,CF=AE,
BC=DA。求证:Rt△ABE≌Rt△CDF。
证明:在Rt△ADC与Rt△CBA中,
∵DA=BC,AC=CA,
∴Rt△ADC≌Rt△CBA(HL)。
∴CD=AB。
又∵BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,
∴∠AEB=∠CFD=90°。
在Rt△ABE与Rt△CDF中,
∵AE=CF,AB=CD,
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)。
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E是AB上的一点,且BE=BC,过点E作DE⊥AB交AC于点D,连接BD,若AC=5 cm,则AD+DE等于( )
A.4 cm B.5 cm
C.8 cm D.10 cm
5.如图所示,MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D在直线MN上,点B,C在直线PQ上,点E在AB上,AD+BC=7,
AD=EB,DE=EC,则AB的长为　 　。
B
7
6.如图所示,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,D是AC上一点,点E在BC的延长线上,且AE=BD,BD的延长线与AE交于点F。试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系,并说明理由。
解:BF⊥AE。理由如下:
∵∠ACB=90°,
∴∠ACE=∠BCD=90°。
在Rt△BDC和Rt△AEC中,
∵BC=AC,BD=AE,
∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL)。
∴∠CBD=∠CAE。
又∵∠CAE+∠E=90°,
∴∠EBF+∠E=90°。
∴∠BFE=90°,即BF⊥AE。

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