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分课时教学设计
第二课时《20.1 勾股定理及其应用（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课时是勾股定理的应用课，是对上节课勾股定理内容的深化与延伸，在整个单元教学中起到承上启下的作用．它承接了勾股定理的核心知识，将抽象的数学定理与现实生活紧密结合，帮助学生实现从“理解定理”到“应用定理”的跨越．通过解决实际问题，学生能深刻体会勾股定理在测量、建筑、航海等领域的实用价值，强化“数学源于生活、服务于生活”的认知．同时，本课时通过将实际问题转化为直角三角形模型，培养学生的数学建模思想和转化能力，为后续学习解直角三角形、几何综合应用等内容奠定实践基础，也为提升学生的数学核心素养提供了重要载体．
学习者分析 八下学生已掌握勾股定理的基本内容，能进行简单的直角三角形边长计算，具备一定的几何推理和运算能力，这为本课时的应用学习提供了知识基础．但学生在将实际问题抽象为几何模型时，往往难以快速识别其中的直角三角形和已知、未知条件，对“建模”过程存在思维障碍．同时，部分学生对定理的适用条件重视不足，容易忽略“直角”这一关键前提．不过，学生对解决生活中的实际问题兴趣较高，乐于通过合作探究完成任务，这一特点可有效驱动课堂学习．
教学目标 1．能将实际问题转化为直角三角形模型，运用勾股定理解决． 2．提升从实际情境中抽象出几何问题的能力．
教学重点 能将实际问题转化为直角三角形模型，并运用勾股定理进行求解．
教学难点 在复杂实际情境中，准确识别直角三角形，建立合理的几何模型．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．能将实际问题转化为直角三角形模型，运用勾股定理解决． 2．提升从实际情境中抽象出几何问题的能力．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：说一说勾股定理的内容？ 预设：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 导言：勾股定理有广泛的应用，下面我们用它解决两个问题．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过回顾勾股定理内容，这探究勾股定理的应用做好铺垫环节三：新知讲解教师活动3： 例1：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 分析：可以看出，木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过．门框对角线AC的长度是木板斜着能通过的最大长度．求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过． 解：连接AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理， AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5． AC＝≈2.24． 因为AC大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过． 归纳：应用勾股定理解决实际问题，关键是将实际问题转化为直角三角形模型．若没有直角三角形，可以通过作辅助线构造直角三角形． 例2：如图，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m．如果将梯子底端沿OB向外移动0.8m，那么梯子顶端也沿墙AO下滑0.8m吗？ 解：当梯子底端沿OB向外移动0.8m时，设梯子的底端由点B移动D，顶端由点A下滑到点C． 可以看出，AC＝AO－OC． 在Rt△AOB中，根据勾股定理， OA2＝AB2－OB2＝2.52－0.72＝5.76． OA＝2.4． 在Rt△COD中，根据勾股定理， OC2＝CD2－OD2＝2.52－(0.7+0.8)2＝4． OC＝2， 所以，AC＝OA－OC＝2.4－2＝0.4． 因此，当梯子底端向外移动0.8m时，梯子顶端并不是下滑0.8m，而是下滑0.4m． 归纳：应用勾股定理解决实际问题时，应重视对实际问题题意的正确理解，对结论要进行仔细验证．学生活动3： 学生小组合作探究，班内汇报交流后认真听老师点评和讲解活动意图说明： 从实际问题中找出关键数据，建立直角三角形模型，从而探索出应用勾股定理解决实际问题的方法．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：20.1勾股定理及其应用（第2课时）一、将实际问题转化为直角三角形模型 二、若没有直角三角形，可以通过作辅助线构造直角三角形教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，要从电线杆离地面5米的点C处向地面拉一根长为13米的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为（ ） A．12米 B．11米 C．10米 D．9米 答案：A 2．如图，一棵垂直于地面且高为的大树被台风刮断，，则折断处与地面的距离的长为______m． 答案： 3．《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为10尺，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇的长度． 解：设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得： ， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 答：芦苇的长度为13尺． 选做题： 4．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里．它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（ ） A．32海里 B．42海里 C．40海里 D．30海里 答案：D 【综合拓展类练习】 5．如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 解：在中，，， 由勾股定理得，， 在楼梯上铺地毯需要的长度为， ∵楼梯宽为， ∴需要铺地毯的面积为， ∵每平方米的地毯售价是150元， ∴购买这种地毯至少需要的费用为（元）．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（ ） A．米 B．米 C．2米 D．米 答案：D 2．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是______． 答案： 3．张老师家在装修新房，准备把一幅边长为的正方形大理石背景板搬进客厅．已知客厅的门框是一个高、宽的长方形双开门．请你判断这个背景板能否搬进客厅，并说明理由． 解：这个背景板能搬进客厅，理由如下： 由题意得，长方形门框的对角线长为， ∵， ∴这个背景板能搬进客厅． 选做题： 4．如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东 60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻艇的航行路程_______海里． 答案： 【综合拓展类作业】 5．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 解：（1）设的长度为，则的长度为， 由勾股定理，可得， 解得． 答：旗杆在距离地面处折断． （2）， ， ， 由勾股定理，可得， ， 行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 答：行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险．
教学反思 本课时通过贴近生活的实例引导学生应用勾股定理，有效激发了学习兴趣，但在建模环节，部分学生对如何从文字描述中提取几何条件存在困难，后续需加强审题训练．同时，少数学生在计算时忽略直角前提，出现误用定理的情况，需在后续练习中强化提醒。整体来看，学生参与度较高，但个体差异明显，课后需通过分层作业进行针对性辅导，以巩固建模能力和定理应用．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共25张PPT)
第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
（第2课时）
1．能将实际问题转化为直角三角形模型，运用勾股定理解决．
2．提升从实际情境中抽象出几何问题的能力．
说一说勾股定理的内容？
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
勾股定理有广泛的应用，下面我们用它解决两个问题．
例1：一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
分析：可以看出，木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过．门框对角线AC的长度是木板斜着能通过的最大长度．求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过．
解：连接AC，在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5．
AC＝≈2.24．
因为 AC 大于木板的宽 2.2 m，所以木板能从门框内通过．
例1：一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
应用勾股定理解决实际问题，关键是将实际问题转化为直角三角形模型．若没有直角三角形，可以通过作辅助线构造直角三角形．
例2： 如图，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m．如果将梯子底端沿OB向外移动0.8m，那么梯子顶端也沿墙AO下滑0.8m吗？
解：当梯子底端沿OB向外移动0.8m时，设梯子的底端由点B移动D，顶端由点A下滑到点C．
可以看出，AC＝AO－OC．
在 Rt△AOB中，根据勾股定理，
OA2＝AB2－OB2＝2.52－0.72＝5.76．
OA＝2.4．
在 Rt△COD中，根据勾股定理，
OC2＝CD2－OD2＝2.52－(0.7+0.8)2＝4．
OC＝2，
所以，AC＝OA－OC ＝2.4－2＝0.4．
因此，当梯子底端向外移动0.8m时，梯子顶端并不是下滑0.8m，而是下滑0.4m．
应用勾股定理解决实际问题时，应重视对实际问题题意的正确理解，对结论要进行仔细验证．
【知识技能类练习】必做题：
1．如图，要从电线杆离地面5米的点C处向地面拉一根长为13米的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为（ ）
A．12米 B．11米 C．10米 D．9米
A
【知识技能类练习】必做题：
2．如图，一棵垂直于地面且高为的大树被台风刮断，，则折断处与地面的距离的长为______m．
【知识技能类练习】必做题：
3．《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为10尺，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇的长度．
解：设水深为x尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理得： ，
解得：，
芦苇的长度（尺），
答：芦苇的长度为13尺．
【知识技能类练习】选做题：
4．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里．它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（ ）
A．32海里 B．42海里
C．40海里 D．30海里
D
【综合拓展类练习】
5．如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？
解：在中，，，
由勾股定理得，
，
在楼梯上铺地毯需要的长度为，
∵楼梯宽为，
∴需要铺地毯的面积为，
∵每平方米的地毯售价是150元，
∴购买这种地毯至少需要的费用为（元）．
勾股定理的应用
若没有直角三角形，可以通过作辅助线构造直角三角形
将实际问题转化为直角三角形模型
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（ ）
A．米 B．米 C．2米 D．米
D
【知识技能类作业】必做题：
2．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是______．
【知识技能类作业】必做题：
3．张老师家在装修新房，准备把一幅边长为的正方形大理石背景板搬进客厅．已知客厅的门框是一个高、宽的长方形双开门．请你判断这个背景板能否搬进客厅，并说明理由．
解：这个背景板能搬进客厅，理由如下：
由题意得，长方形门框的对角线长为，
∵，
∴这个背景板能搬进客厅．
【知识技能类作业】选做题：
4．如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东 60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻艇的航行路程_______海里．
【综合拓展类作业】
5．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为．
(1)求旗杆在距地面多高处折断；
(2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？
【综合拓展类作业】
解：（1）设的长度为，则的长度为，
由勾股定理，可得，
解得．
答：旗杆在距离地面处折断．
（2），
，
，
由勾股定理，可得，
，
行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险．
答：行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 20.1 勾股定理及其应用（第2课时） 单元 第二十章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．能将实际问题转化为直角三角形模型，运用勾股定理解决． 2．提升从实际情境中抽象出几何问题的能力．
重点 能将实际问题转化为直角三角形模型，并运用勾股定理进行求解．
难点 在复杂实际情境中，准确识别直角三角形，建立合理的几何模型．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：说一说勾股定理的内容？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助勾股定理，研究勾股定理的应用。 例1：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 分析：可以看出，木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过．门框对角线AC的长度是木板斜着能通过的最大长度．求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过． 归纳：应用勾股定理解决实际问题，关键是将实际问题转化为直角三角形模型．若没有直角三角形，可以通过作辅助线构造直角三角形． 例2：如图，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m．如果将梯子底端沿OB向外移动0.8m，那么梯子顶端也沿墙AO下滑0.8m吗？ 归纳：应用勾股定理解决实际问题时，应重视对实际问题题意的正确理解，对结论要进行仔细验证．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，要从电线杆离地面5米的点C处向地面拉一根长为13米的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为（ ） A．12米 B．11米 C．10米 D．9米 2．如图，一棵垂直于地面且高为的大树被台风刮断，，则折断处与地面的距离的长为______m． 3．《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为10尺，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇的长度． 选做题： 4．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里．它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（ ） A．32海里 B．42海里 C．40海里 D．30海里 【综合拓展类练习】 5．如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（ ） A．米 B．米 C．2米 D．米 2．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是______． 3．张老师家在装修新房，准备把一幅边长为的正方形大理石背景板搬进客厅．已知客厅的门框是一个高、宽的长方形双开门．请你判断这个背景板能否搬进客厅，并说明理由． 选做题： 4．如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东 60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻艇的航行路程_______海里． 【综合拓展类作业】 5．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？
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