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山东临沂市河东区2025-2026学年九年级上学期期末数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的倒数是（ ）
A. 3 B. 1 C. D.
2.围棋是世界上最古老的棋类游戏之一，下面用黑、白色棋子摆放的图形中，是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
3.2024年1月11日，发布了官方，累计使用量呈现指数级增长，截至2月9日下载量已超亿次，日活跃用户数最高达4541万，成为全球增速最快、用户规模第二的应用软件．4541万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，一个放置在水平实验台上的锥形瓶，它的俯视图为（）
A. B. C. D.
5.已知，则下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.李伟同学购买两张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择两个，则“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是（）
A. B. C. D.
7.为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（ ）
A. 6种 B. 5种 C. 4种 D. 3种
8.若点都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10.抛物线经过四点，且，若存在正数，使得当时，总有成立，则正数的取值范围是（ ）
A. 或 B. C. D. 或
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若分式有意义，则x的取值范围是 ．
12.如图，小军利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的宽为，则放大后的矩形的面积为 ．
13.小明要把一篇文章录入电脑，所需时间与录入文字的速度（字/）之间的函数关系如图所示．如果小明要在内完成录入任务，那么他录入文字的速度至少为 字/．
14.已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
15.世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为，其中是互质的奇数，则，为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式：
根据规律写出第⑦个等式为 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.
(1) 计算；
(2) 先化简，再求值：，其中．
17.(本小题9分)
在中，E为的中点，请仅用一把无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
(1) 如图1，在上找出一点Q，使点Q是的一个三等分点．
(2) 如图2，在上找出一点P，使点P是的中点．
18.(本小题9分)
为弘扬我国传统文化，增强文化自信，某校举办“传统文化月”系列活动．活动一是组织全校学生进行经典名篇知识竞赛．为了解学生答题情况，老师从中随机抽取了名学生的比赛成绩（满分100分），下方是比赛成绩的统计表和统计图：
组别 分组 人数
A组 5
B组 12
C组 18
D组
(1) 下列说法只有一项错误，错误的是 ．
A．一共抽取了50名学生的成绩
B．抽取的这名学生成绩的中位数落在 B组
C．的值是15
D．扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角是
(2) “传统文化月”系列活动二是经典朗诵比赛，每班需派两名选手参加初赛，九年级（1）班共有4名同学报名参赛，分别是李红、丁洋、孙飞、陈月，请求出李红和陈月同时被选上的概率；
(3) 李红以优异的表现闯进了决赛，决赛规则将语言表达、态势神情、朗诵效果和创新四项得分按的比例确定选手的成绩，李红最后一个出场，她的分数只要不低于92分就能获得第一名，最后李红的4项分数分别是90分、95分、95分、85分，请通过计算说明李红能否获得第一名．
19.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点．
(1) 求一次函数的表达式；
(2) 观察反比例函数图象，当时，请直接写出自变量的取值范围；
(3) 在轴上是否存在一点，使得面积等于5，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20.(本小题10分)
【阅读理解】如图①，Rt中，，，分别是，，的对边，，其外接圆半径为．根据锐角三角函数的定义：，，可得，即：，（规定）．
(1) 【探究活动】如图②，在锐角中，，，分别是，，的对边，其外接圆半径为，那么： （用“＞”“＜”或“＝”连接），并说明理由．
(2) 【初步应用】在中，分别是的对边，，，求．
(3) 【综合应用】如图③，在某次数学活动中，小明同学测量一古塔的高度，在处用测角仪测得塔顶的仰角为，又沿古塔的方向前行了到达处，此时，，三点在一条直线上，在处测得塔顶的仰角为，求古塔的高度．，）
21.(本小题9分)
如图，是的直径，是的切线，切点为，连接，过点作交于点，连接．
(1) 求证：是的切线；
(2) 若，的半径为6，求的长．
22.(本小题10分)
二次函数的图象经过点，点．
(1) 若，求抛物线的顶点坐标；
(2) 若存在实数，使得，且，求的取值范围；
(3) 当时，随着增大，先减小再增大，的最大值与的最小值的和为，求的值．
23.(本小题10分)
综合探究：一张矩形纸片，，在边上取一点，把沿折叠，使点的对应点落在矩形纸片的内部．
(1) 如图1，将矩形纸片对折，使与重合，得折痕，当落在上，求的度数；
(2) 如图2，当落在对角线上时，求的长；
(3) 连接，矩形纸片在折叠的过程中，线段的长度是否有最小值？若有，请描述线段：长度最小时点的位置，并求出此时的长．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】60
13.【答案】175
14.【答案】6
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
；
【小题2】
当时，
原式．

17.【答案】【小题1】
解：如图，连接交于点Q，点Q就是所求作的点：
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点Q是的一个三等分点；
【小题2】
解：如图，连接和，交点为，延长并延长交于，点P就是所求作的点：
∵，
∴，，即点O是、的中点，
∵E为的中点，
∴是的中位线，
∴，即
∴
∴，即点P为的中点．

18.【答案】【小题1】
D
【小题2】
列表如下：
李红 丁洋 孙飞 陈月
李红 （李红，丁洋） （李红，孙飞） （李红，陈月）
丁洋 （丁洋，李红） （丁洋，孙飞） （丁洋，陈月）
孙飞 （孙飞，李红） （孙飞，丁洋） （孙飞，陈月）
陈月 （陈月，李红） （陈月，丁洋） （陈月，孙飞）
共有12种等可能的结果，其中李红和陈月同时被选上的结果有：（李红，陈月），（陈月，李红），共2种，
李红和陈月同时被选上的概率；
【小题3】
解：李红成绩：（分）
李红能获得第一名．

19.【答案】【小题1】
解：把两点代入，得，
，
把代入一次函数表达式，得，
解得，
一次函数的表达式为；
【小题2】
解：根据题意，得或；
【小题3】
解：存在，
设直线与轴相交于点，
当时，，
，
，
，
，
或．

20.【答案】【小题1】
=
=
【小题2】
，
，
；
【小题3】
由题意得，，，，，，
设古塔高，则，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
．
古塔高度约为．

21.【答案】【小题1】
证明：连接，
，
，
，
，
，
，，
，
，
是的切线，
，
，
，
又因为是半径，
是的切线；
【小题2】
解：连接交于点，
的半径为6，
，
，
，
，
垂直平分，
，
设，
，
，
解得，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
．

22.【答案】【小题1】
解：若，则，
顶点坐标；
【小题2】
解：把代入得，，
把代入得，，
，
，
，
，
；
【小题3】
解：对称轴为，
当时，随着的值增大，的值先减小再增大，
点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，
当时，的最小值是，
若，即的最大值是，
．
解得，（舍去），
若，即的最大值是，
，
解得，（舍去），
综上，的值是或．

23.【答案】【小题1】
解：连接，
由折叠得：，，
垂直平分在上，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
【小题2】
解：依题意得，，
，
，
，
，
；
【小题3】
解：点落在对角线上时，线段长度最小时的长为，
理由如下：由三角形三边关系可得，，只有当、、三点共线时，线段长度最小，即当点落在对角线上时，线段长度最小，
如图，在中，，
由折叠得：，，，
设，则，
根据勾股定理得，，
则，
解得，
线段长度最小时的长为．

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