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7.3定义、命题、定理课后练习
一、单选题
1．下列四个选项中不是命题的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．过直线外一点作直线的平行线
C．正数大于负数 D．有公共顶点的两个角是对顶角
2．下列语句不是命题的是（ ）．
A．同位角相等，两直线平行 B．作的角平分线
C．若，则 D．同角的余角相等
3．下列说法正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．两点间线段的长度叫做这两点之间的距离
C．各边都相等的多边形是正多边形
D．如果，那么点为线段的中点
4．下列命题是真命题的是（ ）
A．两点之间，直线最短
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
5．对于命题“如果，那么”，下面能说明它是假命题的反例是（ ）
A．， B．，
C． D．，
6．对于命题“，则”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法中，错误的是（ ）
A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实
B．定义是命题，并且是真命题
C．“两点之间，线段最短”是基本事实
D．“两点之间，线段最短”是定理
8．下面关于基本事实和定理的说法不正确的是（ ）
A．基本事实和定理都是真命题
B．基本事实就是定理，定理就是基本事实
C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据
D．基本事实的正确性需要经过实践检验，定理的正确性需要经过演绎推理
9．下列说法正确的是（ ）
A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明
C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行
二、填空题
10．命题“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”的条件是：______，结论是：______．
11．请把命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”改写成“如果，那么”的表述形式：_______．
12．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则_____．
13．已知a，b，c，d，e，f是1～9中六个互不相等的正整数，那么关于x的方程的最大整数解是 _____．
14．小明和小李研究某一年阳历6月份的日历，并且分别发表了自己的研究结论：
小明：这个月有5个星期二；
小李：这个月所有星期二的日期之和不为75；
请根据小明和小李两位同学的研究结论，判断这个月第三个星期二是6月___________号．（填日期）
三、解答题
15．命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程．
(1)已知：如图，___________，；求证：___________．
(2)证明：
(3)命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是___________命题（填“真”或“假”）．
16．一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下：
已知：如图，在同一平面内直线，①_____．
求证：②_____．
证明：∵（已知），∴③_____（④_____）．
∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____），
∴⑧_____（等式的基本事实），
∴⑨_____（⑩_____）．
请把小明的说明过程补充完整．
17．补全下列推理过程：
如图，，，，试说明．
解：∵，，（已知），
∴（垂直的定义），
∴（____________）．
∴（____________）．
∵（已知），
∴____________（等量代换）．
∴（____________）．
18．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题：
①；②；③．
从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B B B D C D D B B
1．B
【详解】解∶A．两点确定一条直线是可判断为真的陈述句，属于命题．
B．过直线外一点作直线的平行线是操作指令，无法判断真假，不属于命题．
C．正数大于负数是可判断为真的陈述句，属于命题．
D．有公共顶点的两个角是对顶角是可判断为假的陈述句，属于命题．
∴不是命题的是B选项．
【点睛】命题为判断真假的陈述句．
2．B
【分析】本题考查命题的概念，熟练掌握相关知识是关键．
判断一件事情的语句叫做命题，命题需是可判断真假的陈述句，据此对各选项进行判断即可．
【详解】解： A、是可判断真假的陈述句，属于命题；
B、是作图操作指令，不是判断事情的语句，无法判断真假，不属于命题；
C、是可判断真假的陈述句，属于命题；
D、是可判断真假的陈述句，属于命题．
故选：B．
3．B
【分析】本题为概念辨析题，需结合对顶角、两点间距离、正多边形、线段中点的定义，逐一判断各选项的正误．
【详解】解：∵对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角（如两直线平行时的同位角相等），
∴A选项错误；
∵根据两点之间距离的定义，两点间线段的长度叫做这两点之间的距离，
∴B选项正确；
∵正多边形的定义是各边相等且各角相等的多边形，仅各边相等的多边形不一定是正多边形（如菱形），
∴C选项错误；
∵当点C不在线段上时，即使，点C也不是线段的中点（如等腰三角形的顶点C），
∴D选项错误；
故选：B．
4．D
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
根据线段的性质、平行线的性质、平行公理、垂线的性质，逐项判断命题的真假即可．
【详解】解：两点之间，线段最短，A选项是假命题．
两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，B选项是假命题．
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上则不存在这样的直线， C选项是假命题．
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， D选项是真命题．
故选：D
5．C
【分析】本题考查假命题的反例，反例需满足命题的条件，同时不满足命题的结论，据此分析各选项即可．
【详解】解：∵原命题的条件是，结论是
∴反例要满足且
对于选项C，，，满足条件但不满足结论，是原命题的反例
选项A满足条件也满足结论，不是反例
选项B、D不满足命题的条件，不是反例
故选：C．
6．D
【分析】本题主要考查了举反例判断命题真假，举反例时，所举的例子要符合原命题的条件，但是不符合原命题的结论，据此求解即可．
【详解】解：反例需满足且，
选项A：，不满足，该选项不符合题意；
选项B：，，但，该选项不符合题意；
选项C：，不满足，该选项不符合题意；
选项D：，，且，该选项符合题意；
故选：D．
7．D
【分析】本题考查基本事实、定理、命题与定义的概念辨析，关键是明确基本事实是无需证明的公认真命题，定理是经过逻辑推理证明的真命题，定义是对概念的准确描述且属于真命题．
【详解】解：选项A：基本事实是经过长期实践公认的真命题，而真命题包含基本事实、定理等，该说法正确；
选项B：定义是对概念的明确表述，是能够判断真假的陈述句，且表述内容正确，该说法正确；
选项C：“两点之间，线段最短”是初中几何中的基本事实，该说法正确；
选项D：“两点之间，线段最短”是无需证明的基本事实，并非经过推理证明的定理，该说法错误．
故选：D．
8．B
【分析】本题考查基本事实与定理的概念辨析，关键是明确两者的定义与区别：基本事实是经过长期实践检验、公认为正确的真命题，无需证明；定理是经过演绎推理证明为正确的真命题，二者都可作为推理论证的依据．
【详解】解：A选项：基本事实是公认的真命题，定理是经过严格演绎推理证明的真命题，因此两者都是真命题，该选项说法正确；
B选项：基本事实是无需证明的公认的真命题，定理是需要经过演绎推理证明的真命题，二者概念不同，该选项说法错误；
C选项：在数学推理论证过程中，基本事实和已被证明的定理都可以作为推理的依据，该选项说法正确；
D选项：基本事实的正确性是通过长期的实践检验得以确认的，定理的正确性是通过演绎推理的方式证明得到的，该选项说法正确．
故选：B．
9．B
【解析】略
10． 一个三角形的三个角都相等 这个三角形是等边三角形
【分析】本题考查了命题，根据命题的结构，命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，本题中，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由命题“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”可得，
条件是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”，
故答案为：一个三角形的三个角都相等；这个三角形是等边三角形．
11．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
【分析】本题考查命题的改写，关键是准确区分命题的题设与结论．原命题中，“一个三角形有两个角相等”是题设，“这个三角形是等腰三角形”是结论，将题设放在“如果”之后，结论放在“那么”之后即可完成改写．
【详解】解：原命题的题设为“一个三角形有两个角相等”，结论为“这个三角形是等腰三角形”，因此改写成“如果，那么”的形式为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．
故答案为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．
12．
【分析】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，，由在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，可设，继而求得，以及的面积，则可求得的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案．
【详解】解：根据题意，，
如图所示，连接，
设，
在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，
，，，
，
设点到的高为，点到的高为，
∴，
∴，
，
，
又，
，，
，
故答案为：．
13．8
【分析】本题主要考查了推理与论证、一元一次方程等知识点，根据题意正确推理是解题的关键．
原方程整理可得，则，要求最大整数解，首先使x为正数且为整数；其次应使的绝对值尽量小且不为0，即使其绝对值为1，同时要使的绝对值尽可能大，显然最大只能为，所以x最大为8．使x取到8的a，b，c，d，e，f的取值情况很多，举一例子即可．
【详解】解：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
∵a、b、c、d、e、f是1到9中六个互不相等的正整数，
∴当或，对应的或时，其商为最大，且等于8．
故答案为：8．
14．16
【分析】本题考查推理与论证和有理数加法的应用，理解题意是解决本题的关键．
根据6月有30天，再由小明条件可知，若有5个星期二，则第一个星期二必须在1日或2日；分别计算两种情况下星期二日期之和，判断是否满足小李条件（和不为75），从而确定第一个星期二为2日，进而找到第三个星期二日期即可．
【详解】解：6月有30天，若有5个星期二，则第一个星期二可能为1日或2日，
若1日为星期二，则星期二日期为1、8、15、22、29，
和为，与小李条件矛盾；
若2日为星期二，则星期二日期为2、9、16、23、30，
和为，符合小李条件．
∴第一个星期二为2日，第三个星期二为16日．
故答案为：16．
15．(1)平分，平分；
(2)见解析
(3)真
【分析】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题是解题的关键．
（1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可；
（2）根据平行线的性质和判定证明即可；
（3）写出已知和求证，然后证明即可．
【详解】（1）解：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：．
故答案为：分别交，于，，平分，平分；；
（2）证明：平分
平分，
，
，
；
（3）命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是真命题，
已知：，被所截，平分，平分，求证：；
证明如下：
如图所示，
∵，被所截，平分，平分，
∴，，，
∴，
∴．
16．①；②；③；④垂直的定义；⑤；⑥；⑦两直线平行，同位角相等；⑧；⑨；⑩垂直的定义
【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，根据得到，再由，得到，即可证明．
【详解】已知：如图，在同一平面内直线，①．
求证：②．
证明：∵（已知），
∴③（④垂直的定义）．
∵⑤（已知），
∴⑥（⑦两直线平行，同位角相等），
∴⑧（等式的基本事实），
∴⑨（⑩垂直的定义）．
17．答案见详解；
【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案；
【详解】解：∵，（已知），
∴（垂直的定义），
∴（　同位角相等，两直线平行　），
∴（　两直线平行，同位角相等　），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（　内错角相等，两直线平行　）．
18．见解析
【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可．
【详解】从题干中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为：①② ③；②③ ①；①③ ②．以上3个命题都是真命题，
①② ③，
，
，
，
，
，
；
②③ ①，
，
，
，
，
，
；
①③ ②，
，
，
，
，
，
．
答案第1页，共2页
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