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第16章 函数及其图象
16.1 变量与函数
第1课时 变量与函数
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从甲地到乙地,坐在匀速行驶的列车上,小明、小丽、小亮和小华围坐在一起谈论着车速、路程和时间,谈论着数量的变化和位置的变化.
小明:车速不变.
小丽:甲、乙两地间的距离不变.
小亮:列车行驶的时间和行驶的路程在变.
小华:列车在行驶,位置在改变.
(1)除了小明、小丽所说的那些不变的数量外,在这个问题中还有不变的数量吗
(2)除了小亮和小华所说的那些变化的数量外,在这个问题中还有变化的数量吗
思路一
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我们生活的世界是一个无时无刻都在变化的世界,如我们日常生活中的时间、温度,还有同学们的身高都在悄悄地发生变化,从数学的角度研究变化的量,讨论它们之间的关系,将有助于我们更好地了解自己、认识世界和预测未来.
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我们生活在一个不断变化的世界中,正是因为斗转星移,才有寒来暑往,岁月更替.你看,小树慢慢地长高了,你也渐渐地长大了,还有时间、温度等都在悄悄地发生变化,一个量往往随着其他量的变化而变化.如热气球上升后到达的高度随着上升时间的变化而变化,汽车的制动距离随车速的变化而变化,城市的用电负荷随着时间的变化而变化.从本节课开始,我们将学习刻画两个变量之间关系的常用模型———函数.
思路二
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活动一:探究变量与常量
问题1:如图是某地一天内的气温变化图.
看图回答:
(1)这天的6时、10时和14时的气温分别是多少 任意给出这天中的某一时刻,说出这一时刻的气温.
这天的6时、10时和14时的气温分别是-1 ℃,2 ℃,5 ℃.
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问题1:如图是某地一天内的气温变化图.
看图回答:
(2)这一天中,最高气温是多少 最低气温是多少
这一天中,最高气温是5 ℃;最低气温是-3 ℃.
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问题1:如图是某地一天内的气温变化图.
看图回答:
(3)这一天中,哪些时段的气温在逐渐升高 哪些时段的气温在逐渐降低
这一天中,3时至14时气温在逐渐升高;在0时至3时、14时至24时气温在逐渐降低.
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从这张图中,你还能知道哪些信息
从图中我们可以看到,随着时间t(h)的变化,气温T(℃)也随之变化.
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问题2:小蕾在过14岁生日的时候,看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重,如下表:
观察上表,说一说随着年龄的增长,小蕾的体重是如何变化的 在哪一段时间内体重增加较快
随着年龄的增长,小蕾的体重是逐渐增加的,在1~2周岁体重增加较快.
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问题3:收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对应的数值:
观察表格,你有什么发现
每一列λ与f的对应值的乘积是一个定值,即λf=300 000,或者f=.
波长λ越大,频率f就越小.
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问题4:圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r表示圆的半径,用S表示圆的面积,则S与r之间满足下列关系:S=______.
利用这个关系式,试求出半径为1 cm,1.5 cm,2 cm,2.6 cm,
3.2 cm时圆的面积,并将结果填入下表:
说一说,随着半径的增加,圆的面积是如何变化的
随着半径的增加,圆的面积也在增加.
πr2
π
2.25π
4π
6.76π
10.24π
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思考:上述四个问题各涉及几个量 它们有什么共同的特点
每个问题中都涉及到两个量,一个量变化,另一个量也随之发生变化.
概括:在某一变化过程中,可以取不同数值的量是变量;保持不变的量是常量.
你能指出问题3,4中的变量和常量吗
问题3中,波长λ和频率f是变量,300 000是常量;问题4中半径r和面积S是变量,圆周率π是常量.
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指出下列问题中的常量和变量:
(1)正方形的周长l与它的边长a之间的关系是l=4a;
(2)一台机器上的轮子的转速为60转/分,轮子旋转的转数n(单位:转)与时间t(单位:分)之间的关系为n=60t;
(3)小亮练习1 500米长跑,他跑完全程所用的时间t(单位:秒)与他跑步的平均速度v(单位:米/秒)的关系为t=.
解:(1)在l=4a中,l,a为变量,4为常量.
(2)在n=60t中,n,t为变量,60为常量.
(3)在t=中,t,v为变量,1 500为常量.
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活动二:探究函数、自变量、因变量的概念
上面各个问题中,都出现了两个变量,它们相互依赖,密切相关,对于同一个变化过程中的两个变量,均是一个变量的变化导致了另一个变量的变化,如问题1中t的变化导致了t的变化,问题2中周岁的变化导致了体重的变化,问题3中波长的变化导致了频率的变化,问题4中半径的变化导致了圆的面积的变化.
对于每一个问题中的两个变量,它们之间都存在着一种对应关系,当给定了其中一个变量的值时,另一个变量相应地也就有唯一的值与它对应.
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一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量,例如x和y,对于x的每一个值,y都有唯一的值与之对应,我们就说x是自变量,y是因变量,此时也称y是x的函数.
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前面四个问题中,哪个变量是另一个变量的函数
问题1中气温T是自变量时间t的函数;
问题2中小蕾的体重是自变量周岁的函数;
问题3中频率f是自变量波长λ的函数;
问题4中圆的面积S是自变量半径r的函数.
判定两个变量之间的关系是函数关系,需要同时具备两个条件.
①在某一个变化过程中一共有两个变量;
②对于自变量取定的每一个值,因变量都有唯一的值与之对应.
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电业部门每月都按时去居民家查电表,电表读数与上次读数的差就是这段时间内用电的千瓦时数.上月初小亮家电表显示的读数为300,本月初电表显示的读数为n.
(1)小亮家上月用电量是多少千瓦时
(2)若每千瓦时的电费为0.52元,全月的电费为y元,则哪些量是变量 y是哪个变量的函数
答案:(1)根据题意得,小亮家上月用电量是(n-300)千瓦时.
(2)变量:y,n;y是n的函数.
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回顾前面四个问题,表示函数关系的方法有哪些
(1)解析法:如问题3.
(2)列表法:如问题2.
(3)图象法:如问题1.
在研究函数时,必须注意自变量的取值范围.在实际问题中,自变量的取值必须符合实际意义.
你能说一说问题4中,自变量的取值范围吗
问题4中,自变量r表示圆的半径,所以不能为负数和0,即它的取值范围是一切正实数.
课堂评价
C
C
课堂评价
课堂评价
课堂评价
时间
温度
39.8
36.8
38
课堂总结
1.本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法
2.你还有哪些疑惑 说一说.
课堂总结
(1)变量和常量是相对的,并不是一成不变的.在一个变化过程中是常量,而在另一个变化过程中则可能是变量.例如,在某一运动过程中有关系式s=vt,当速度一定时,则速度v就是常量,而时间t和路程s则是变量;当时间一定时,则时间t是常量,而速度v和路程s则是变量;同样若路程一定,则路程s是常量,而时间t和速度v就是变量.特别提醒字母π,它是一个常量.
(2)判断两个变量是否具有函数关系,不能只看是否存在关系式,还要看对于x的每一个值,y是否都有唯一确定的值和它对应.满足则具有函数关系,不满足则不具有函数关系.
作业设计
基础性作业:教材练习第1~3题.
提高性作业:教材习题16.1第1题.

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