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第十九章 二次根式
19.1二次根式及其性质
第2课时 二次根式的性质
人教版（2024版）·八年级数学下册
1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想
的思想方法.（重点）
2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算.（难点）
学习目标
问题2: 表示的意义是什么 表示的意义是什么
问题1: 、 有意义吗 为什么
表示的是5的算术平方根；
当a≥0时, 表示的是非负数a的算术平方根.
当a≥0时， 有意义；当a<0时, 无意义.
温故知新
自主学习
活动1 阅读课本3~4页内容，完成本节课知识的学习，并回答以下问题：
二次根式到底有哪些性质？
这些性质是根据什么得到的？
讲授新课
活动2 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？
这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？
正方形的边长为 ，
又∵面积为a，
用边长表示正方形的面积为 ，
即 .
（a≥0）的性质
任务一
4
2
0
探究1：根据算数平方根的意义填空：
活动3
总结
一般地， ＝a (a ≥0).
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
a≥0
活动4
【理解应用】
解：
积的乘方：
（ab）2=a2b2
例1 计算：
活动5
【理解应用】
计算：
解:
活动6
【理解应用】
【变式】 计算:
解：
任务二
的性质
2
0.1
0
探究2：根据算数平方根的意义填空：
活动7
总结
当 a≥0 时， = a
当 a<0 时， = -a
归纳总结
a (a≥0)
-a (a＜0)
即任意一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.
的性质：
活动8
【理解应用】
例2 化简:
解：
活动9
【理解应用】
计算
与 的异同点
不 同 点
相 同 点 表示意义
表示非负数a的算术平方根的平方
表示实数a的平方的算术平方根
取值范围
a只能取非负数,即a≥0
a可以取全体实数
运算顺序
先开方,后平方
运算依据
根据开平方与平方
互为逆运算得到
根据算术平方根的定义得到
(1)都要进行平方和开平方两种运算;
(2)运算的结果都是非负数,即 ≥0, ≥0
先平方,后开方
运算结果
a
|a|
活动10
活动11
【理解应用】
【变式】 化简:
解：原式
例3 计算:
链接中考
解：
实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:
解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，
∴原式=|a|-|b|+|a-b|
=-a-b-（a-b）
=-2a.
a
b
【拓展提升】
活动12
若-3≤x≤2，试化简
解：原式
【变式】
7.(1)已知a为实数，求代数式 的值.
解：由题意得a+2≥0，-4-2a≥0，
∴a=-2，
∴ .
(2)已知a为实数，求代数式 的值.
解：由题意得-a2≥0，又∵a2≥0，
∴a2=0，∴a=0，
∴
【拓展提升】
课堂小结
小结归纳
1.化简 得（ ）
A. ±4 B. ±2 C. 4 D.-4
C
2. 当1A.3 B.-3 C.1 D.-1
D
课后练习
3.化简：
（1） ＝ ; （2） ＝ ;
（3） ; （4） .
3
7
4
81
×
×
√
√
4.
5.利用a ＝ （a≥0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：
(1) 9 ； (2)5 ； (3) 2.5 ；
(4) 0.25 ； (5) ； (6) 0 .
1.计算
5.（1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；
解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度 是(v+2.5)km/h，逆水行驶的速度是(v-2.5)km/h．
（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.
（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以 所以它的长为
列代数式的要点：
①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；
②理清语句层次明确运算顺序；
③牢记一些概念和公式．
归纳总结
B
当堂练习
C
D
C
3
4
7
81
1
用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把 或 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
概念回顾
数
表示数的字母
想一想 到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？
代数式
整式
分式
二次根式
代数式的定义

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