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数 学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的. )
1. 若复数 ，则
A. 1 B. C. 3 D. 5
2. 与向量 反向的单位向量是
A. B. C. D.
3. 已知集合 ，以下判断正确的是
A. 是 的充分条件 B. 是 的既不充分也不必要条件
C. 是 的必要条件 D. 是 的充要条件
4. 若函数 ( 为自然对数的底) 的一条切线与 轴平行,则切点的坐标为
A. B. C. D.
5. 已知 是两个不同的平面, 是两条不同的直线,以下判断正确的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
6. 一个铅垂做单摆运动时,离开平衡位置的位移 关于时间 的函数图象如图所示,函数关系满足 ,当 时, 不可能是
A. B.
C. D.
7. 将 1,2,3,4,5,6 随机排成一行，前三位数字构成三位数 ，后三位数字构成三位数 ， 记 ， 大于 100 的概率是
A. B. c. D.
8. 已知双曲线 的焦点为 ,过点 的直线与双曲线 交于 两点. 若 ,则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分)
9. 在某班级的一次测验后, 随机抽取 7 名同学的成绩作为样本, 这 7 名同学的成绩分别为 78, 80, 81, 84, 87, 88, 90, 则
A. 估计这次考试全班成绩的平均分为 84
B. 从样本中任取两人的成绩，均大于平均分的概率是
C. 样本的 75% 分位数是 87
D. 当该样本中加入 84 形成新样本时，新样本方差小于原样本方差
10. 已知曲线 ,则以下说法正确的是
A. 点 在曲线内部 B. 曲线关于原点对称
C. 曲线与坐标轴围成的面积为 D. 曲线的周长是
11. 已知函数 和 ，以下判断正确的是
A. 函数 在区间 内有唯一的零点
B. 时,
C. 时,
D. 存在正实数 ，当 时，对于任意大于 1 的正实数
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 函数 在 上的最小值为_____.
13. 在锐角三角形 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则 的面积为_____.
14. 正方体 的棱长为 2，平面 截正方体内切球所得的截面面积为_____.
四、解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13 分)已知正四棱柱 底面边长为3，点 、 分别在直线 、 上， ， .
(1)证明: 平面 ；
(2)若三棱锥 的体积为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
16. (15 分)“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒.” 这二十八字节气歌是我国古人智慧的结晶. 某文具店试销二十四节气书签, 每套书签 24 张, 分别印有春夏秋冬四季节气各 6 米. 文具店为促销进行抽奖活动, 凡购买一套二十四节气书签可参加抽奖，抽奖规则如下:从一套书签中挑出 6 张春季卡，6 张夏季卡，将其中 3 张春季卡和 3 张夏季卡装在一个不透明的盒中，剩余的 3 张春季卡和 3 张夏季卡放在盒外. 现从盒中随机抽出一张卡, 若抽出春季卡, 则把它放回盒子中, 若抽出夏季卡, 则该卡与盒外的一张春季卡置换. 如此操作不超过 4 次，将盒中的夏季卡全部置换为春季卡，则停止抽卡并获得 2 套二十四节气书签，否则不获奖.
(1)求只抽 3 次即获奖的概率；
(2)若促销的 30 天中预计有 360 人参加活动，从数学期望的角度分析商家准备多套少书签作为奖品更为合理
17. (15 分) 已知椭圆 的上顶点为 ，离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的直线与椭圆 交于点 ，并与圆 相切，已知点 ,直线 与椭圆 交于点 ,证明: 与 相切.
18. (17 分) 已知公差不为零的等差数列 满足 ,且 成等比数列.
( 1 )求数列 的通项公式；
(2)证明: :
(3)若数列 满足 .
证明: (e为自然对数的底).
19. (17 分) 已知曲线 .
( 1 )定义:若对于曲线 上任意一点 沿向量 平移得到点 仍在曲线上,其中 与 是不同时为 0 的常数,则称曲线 沿向量 的方向上有周期性. 判断是否存在向量使曲线 具有周期性,若存在请写出一个符合要求的向量, 若不存在, 请说明理由;
(2)证明:曲线 是中心对称图形；
(3)当 时，曲线 为一条封闭的曲线，四条直线 , 围成矩形 ，其中 为锐角， ，证明:曲线 在矩形 的内部或边上,且过矩形对角线交点的直线平分曲线 围成的面积.
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. )
1. B 2. A 3. D 4. B 5. C 6. A 7. D 8. A
8.设双曲线的方程为 ，因为双曲线 的焦点为 ， ， 所以
(1)当过点 的直线与双曲线 右支交于 两点如图 1 所示.
由 ,设 ,
图 1
则 ,由双曲线的定义知
,所以 ,
在 中, ,
,在 中,
即 ,解得 ,
所以双曲线 的方程为 ,双曲线的渐近线方程为 .
图 2
(2) 当过点 的直线与双曲线 两支交于 两点如图 2 所示由 ,得 , 与双曲线定义不符, 故此种情况不成立.
综合 (1)(2)两种情况: 双曲线的渐近线方程为 ,选 A.
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分)
9. ABD 10. BC 11. AD
11.
由于 ,当 时, , 当 时, ,故当 时, ,
故必有 ,使 ,因此 正确, 错误.
对于任意正数 ,当 时,
,
取 ,当 时,对于任意大于 1 的正实数 因此 D 正确,而当 时 ,故 C 错误.
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 13. 14.
14.正方体 的中心是内切球球心,设为 到平面 的距离为 到平面 的距离为 ,正方体内切球半径 ，正方体内切球被平面 截球面所得的截面是一个圆半径为 的圆, ,所以圆的面积为 .
四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(1)证明: ，因为
所以 , 平面 平面 ,
所以 平面 6 分
(2)如图所示:以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系.
则三棱锥 的体积 ，解得
则 设平面 的法向量为 ,则 ,得 设直线 与平面 所成角为 ,则 所以直线 与平面 所成角的正弦值 . 13 分
16.(1)设事件 表示第 次抽到春季卡, 可取 1,2, 3,4)表示第 次抽到夏季卡,事件 表示抽 3 次即获奖,则 ,
,所以
5 分
(3)设事件 表示获奖，则 ，
且 为互斥事件，
,由 (1) ,
,
,
10 分又因为参加抽奖是否获奖相互独立,用随机变量 表示参加活动获奖的人数,若促销的 30 天中预计有 360 人参加活动,则 ,所以 ,即估计获奖人数的平均值为 30，又因为获奖后每人获得 2 套二十四节气书签， ，所以商家准备 60 套书签作为奖品较为合理. 15 分
17.(1)若焦点在 轴,可知 ,解得 , 所以椭圆的方程为 .
若焦点在 轴,可知 ,解得 ,
所以椭圆的方程为 . .6 分
(2)若焦点在 轴,椭圆的方程为 ，证明如下:
若直线 斜率不存在,则 在 轴上,显然满足题意:
若直线 斜率存在,设直线 的方程为 ,
由 得, ,可得 ,
由于直线 的斜率为 ,
由 得, ,
即 ,可得 ,
所以直线 的斜率 , 由于直线 与圆 相切,所以 ,
直线 ，圆心到直线的距离
所以直线 与圆 相切.
若焦点在 轴,显然不成立,无需证明. 15 分
18.(1)设等差数列 公差为 成等比数列,则 , 解得 ,所以 4 分
(2)证明: 设 ,当 时, 单调递减, ,所以 ,由 (1) 可知 ,则有 ,所以不等式 恒成立. 5 分
所以
(3) 因为 ,所以要证 ,只需证: 根据 (2) 可知 ,那么 , 17 分
19.(1)因为 , ,所以当 在曲线 上时, , 且 不同时为 0 ) 必在曲线 上,故存在向量使曲线 具有周期性,向量 ,
取一个符合要求的值即可)... 4 分
(2)因为 ,
所以当 时,
故当 在曲线 上时,必有 在曲线 上,
而 与 关于点 对称,所以曲线 是中心对称图形,对称中心为 取一个符合要求的值也可). 9 分
(3)先证明曲线 上的点在直线 的上方或直线 上，
设 是曲线 上任意一点,即证 .
由 可得 ,
令 ,则 ,原命题即证 .
用反证法证明,假设 ,则 ,
由 可得 ,
若 ,则 ,所以 ,
若 ,则 ,所以 ,
又 ,
故 ,得 ,矛盾.
故 ,即 ,又 ,因此 ,
从而 ,可得 ,因此 ,
所以 ,这与已知矛盾,故假设不成立,
由第(2)问可知,点 是曲线 的中心,过 垂直于 的直线为 ,
由 得 ,将其分别代入曲线 的方程两边,
左边 ,右边 , 故点 既在曲线 上又在直线 上,从而曲线 上的点在直线 的上方或直线 上.
由于点 到直线 的距离 , 到直线 的距离 ,故 , 到直线 的距离 , 到直线 的距离 ,故 ,
所以点 也是矩形 的中心,根据中心对称性可知曲线 上的点在直线 的下方或直线 上,同理可证,曲线 上的点也在直线 之间,或直线 上,因此,曲线 在矩形 的内部或边上,又由于矩形 和曲线 的对称中心重合,因此过矩形 对角线交点的直线必平分曲线 围成的面积. 17 分

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