资源简介

2024北京十三中学分校初三（上）期中
数 学
考生须知
1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共6页．
2．本试卷满分100分，考试时间120分钟．
3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号．
4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师．
一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 方程的解是（ ）
A. B. C. ， D. ，
3. 如图，一块含30°角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，当B，C，在一条直线上时，三角板的旋转角度为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后所得到的抛物线表达式为（ ）
A. B. C. D.
5. 若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6. 在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于x的方程根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法准确判断
7. 如图，数轴上有A、B、C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在外，内，上，则原点O的位置应该在　　
A. 点A与点B之间靠近A点 B. 点A与点B之间靠近B点
C. 点B与点C之间靠近B点 D. 点B与点C之间靠近C点
8. 二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … 1 2 t …
… m p p n …
其中m，n，p为常数，且．
有下列四个结论：
①；
②抛物线的对称轴是直线；
③0和1是方程的两个根；
④若，则．
其中正确的结论的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9. 点（1，2）关于原点的对称点的坐标为__．
10. 二次函数的最大值是______．
11. 如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为______°．
12. 如图，⊙O的半径为1，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则的长为__．
13. 如图，在长为、宽的矩形空地上，修建一横一纵两条道路，并且横、纵两条道路的宽度比为，余下的部分作为草坪，若草坪面积为，设横向道路的宽度为，则可列方程为______．
14. 点在二次函数的图象上，若当时，则与的大小关系是_____．（用“”、“”、“”填空）
15. 已知某航天爱好者社团设计制作了一款小火箭，小火箭点火的时刻记为，在火箭飞行过程中，经仪器追踪测量小火箭与地面的距离h（m）与飞行时间t（s）近似满足函数表达式．关于小火箭的飞行过程有以下推论：
①点火后和点火后小火箭与地面的距离相同；
②点火后火箭落于地面；
③小火箭飞行过程中第二次距离地面时，飞行时间为；
④小火箭飞行过程中与地面的最大距离为．
其中正确的推论是______．
16. 已知的半径是，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使．
（1）点到直线距离的最大值为______；
（2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为______．
三、解答题：（本大题共12小题，共68分）
17. 解方程.
18. 如图，在平面直角坐标系中，点，，．
（1）以点为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的；
（2）在（1）的条件下，
①线段扫过的图形面积为______；
②连接，线段的中点的坐标为______．
19. 已知：如图，中，．
求作：，使得顶点P在的垂直平分线上．
作法：①作的垂直平分线l，交于点O；
②以O为圆心，为半径画圆，与直线l的一个交点为P（点P与点C在的两侧）；
③连接，，就是所求作的角．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接，
为的垂直平分线，
______．
，
______．
点A，B，C都在上．
点在上，
（________________________）（填推理依据）．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根之差为3，求m的值．
21. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长8m，设圆心为，交水面于点D，轮子的吃水深度为2m，求该桨轮船的轮子直径．
22. 如图，在中，，，以为旋转中心，分别将线段，顺时针旋转得到线段，，交于点．若，求的长．
23. 已知：二次函数中的x和y满足表：
x … 0 1 2 3 …
… 3 0 0 m …
（1）m的值为______；
（2）直接写出这个二次函数的顶点式，并画出它的图象；
（3）当时，结合图象直接写出y的取值范围；
（4）对于正比例函数，当时，总有，直接写出k的取值范围．
24. 如图，在中，，以为直径的分别交、边于点、．过点作于点．
（1）求证：是的切线；
（2），，求的半径．
25. 某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计）
已知：，，，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和；
（1）求A喷头喷出的水流的最大高度；
（2）一名游人站在点D处，．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线G：．
（1）直接写出抛物线G的顶点坐标（用含m的代数式表示）；
（2）已知点，点，若抛物线G与线段只有一个交点，求m的取值范围．
27. 在中，，．点是边=上一动点（不与点重合），连接，作于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，作直线交于点．
（1）依题意补全图形，求证：；
（2）对于任意的点，点的位置是否改变，若不变，请指出点的位置，并证明；若改变，请说明理由．
28. 在平面直角坐标系中，，，线段的中点为，若平面内存在一点使得或者为直角（点不与，，重合），则称为线段的直角点．
（1）当时，
①在点，，中，线段的直角点是______；
②直线上存在四个线段的直角点，求出取值范围；
（2）直线与，轴交于点，．若线段上只存在两个线段的直角点，直接写出取值范围．
参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1 2 3 4 5 6 7 8
D C D C C A C B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9.
10.
11.80
12.
13.
14.
15. ①③④
16. ①. ②.
三、解答题：（本大题共12小题，共68分）
17.解：
整理，得，
配方，得，
即，
∴，
∴，．
18. (1)解：如图所示：
(2)①∵，，
∴线段扫过的图形面积为：，
故答案为：；
②由图知点的坐标为
又∵，
∴的中点的坐标为，即，
故答案为：．
19. (1)解：
(2)解：证明：连接，
为的垂直平分线，
______．
，
______．
点A，B，C都在上．
点在上，
（___________同弧所对的圆周角相等_____________）
20. (1)证明：，
该方程总有两个实数根．
(2)由题意得： ， ，，
则：，即：，即：，
，即：，
解得：或．
21. 解：设半径为rm，则m，
∴m．
∵m，，
∴m．
在中有，即，
解得m
则该桨轮船的轮子直径为10m．
22. 解：绕点顺时针旋转得到，
，，，
，
，
，
，
．
23.解： (1)∵该二次函数当时，；当时，，
∴该二次函数的对称轴为．
∵当时，，
∴当时，，即；
(2)解：∵该二次函数的对称轴为，
∴该二次函数的顶点坐标为，
∴可设该二次函数的顶点式为．
∵当时，，
∴，
解得：，
∴该二次函数的顶点式为．
结合表格画出大致图象如下；
(3)解：将代入，得：，
∴当时，；
(4)解：当时，，代入，
即，
解得：．
画出大致图象如下，
∵当时，总有，即当时，的图象在的上方即可，
∴即可．
24. (1)解：证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又为的半径．
是的切线．
(2)解：过点作于点，
，，
，
四边形为矩形，
，，
设，则，
，
在中，，
即，
解得：， （舍去），
，
即的半径为；
25. (1)解：根据题意，令，易得，
令，，可求得，
因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和；
函数的对称轴为，此时，
因此A喷头喷出的水流的最大高度是；
(2)解：函数，令，
，
因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处．
26.(1)解：化为顶点式为，
抛物线G的顶点坐标为．
(2)解：把点代入得，
，
解得，，，
当时，点B的坐标为，抛物线解析式为，此时，抛物线与线段有两个交点；
当时，点B的坐标为，抛物线解析式为，此时，抛物线与线段有一个交点；
所以m的取值范围为；
把点代入得，
，
解得，，，
当时，点B的坐标为，抛物线解析式为，此时，抛物线与线段有两个交点；
当时，点B的坐标为，抛物线解析式为，此时，抛物线与线段有一个交点；
所以m的取值范围为；
综上m的取值范围为或．
27. (1)解：画图如下
∵将线段绕点逆时针旋转至线段，
，
．
在和中
，
．
，
．
(2)解：点的位置不改变，点是的中点．
理由如下：如下图，设直线与的交点为，过点作，交的延长线于，
．
，
．
，
，
，
，
，
,
，
．
，
．
在和中
，
，
∴点是的中点．
28. (1)解：①当时，则点，点，
∵点是中点，
∴点，
∴，
∵，，
∴，
∴点不是线段的直角点；
∵，，
∴，
∴，
∴点是线段的直角点；
∵，，
∴，
∴，
∴点是线段的直角点；
故答案为：，；
②当直线经过点时，设直线交轴于点，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，得：，
∴，
∴，
∴，即直线与轴所成的锐角为，
∵或者为直角，
∴点在以为直径或为直径的圆上，
如图，当直线与以为直径的圆相切时，直线与以为直径的圆和以为直径的圆有三个交点，即存在三个线段的直角点，当直线与以为直径的圆相切时，直线与以为直径的圆和以为直径的圆有三个交点，即存在三个线段的直角点，
设切点分别为、，以为直径的圆的圆心为，以为直径的圆的圆心为，直线与轴交于点（当直线与以为直径的圆相切时，与轴交于点），连接，，
∵直线与以为直径的圆相切，
∴，
∵直线与直线：平行，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
用同样的方法，当直线与以为直径的圆相切时，，
∴，
∴，
∴，
当直线经过点时，直线与以为直径的圆和以为直径的圆有三个交点，即直线上存在三个线段的直角点，此时，
∴当或时，直线与以为直径的圆和以为直径的圆有四个交点，即直线上存在四个线段的直角点；
(2)∵直线与，轴交于点，，
当时，得：；当时，得：，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
如图，当直线与以为直径的圆相切于点，
设为直径的圆的圆心为，连接，此时线段与以为直径的圆和以为直径的圆有两个交点，即线段上存在两个线段的直角点，
∵，，线段的中点为，
∴，，
∵直线与以为直径的圆相切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，当直线与以为直径的圆相切于点时，
此时线段与以为直径的圆和以为直径的圆有个交点，即线段上存在个线段的直角点，
设为直径的圆的圆心为，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点与点重合时，此时线段与以为直径的圆和以为直径的圆有两个交点，即线段上存在两个线段的直角点，此时，
∴当或时，线段上只存在两个线段的直角点．

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