资源简介

(共9张PPT)
单元综合回顾
90°
180°
1.(2025兰州中考)如图所示是集热板示意图,集热板与太阳光线垂直时,光能利用率最高。分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角β为54°。若光能利用率最高,则集热板与水平面夹角α度数是( )
A.26° B.30°
C.36° D.54°
相交线
C
3.(2025广州中考)如图所示,直线AB,CD相交于点O。若∠1=36°,则∠2的度数为　　°。
B
144
4.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD。
(1)若∠BOD=68°,∠DOF=90°,求∠EOF的度数;
(2)若OF平分∠COE,∠BOF=30°,求∠BOD的度数。
5.(2025深圳中考)如图为小颖在试鞋镜前的光路图,入射光线AO经平面镜后反射入眼,若CB∥OA,∠CBO=122°,∠BON=90°,则入射角∠AON的度数为( )
A.22° B.32° C.35° D.122°
6.(2024通辽)将三角尺ABC按如图所示位置摆放,顶点A落在直线l1上,顶点B落在直线l2
上,若l1∥l2,∠1=25°,则∠2的度数是( )
A.45° B.35° C.30° D.25°
平行线的判定与性质
B
B
7.(2025凉山州中考)如图所示,DF∥AB,∠BAC=120°,∠ACE=100°,则∠CED等于( )
A.30° B.40°
C.60° D.80°
8.若∠1与∠2有一条边在同一直线上,且另一边互相平行,∠1=50°,则∠2的度数为
　 　。
B
50°或130°
9.如图所示是一款手推车的平面示意图,其中AB∥CD,∠1=24°,∠2=76°,求∠3的度数。
解:如图所示,
因为AB∥CD,∠1=24°,
所以∠A=∠1=24°。
因为∠2=76°,
∠2+∠4=180°,
所以∠4=180°-∠2=180°-76°=104°。
所以∠3=∠4+∠A=104°+24°=128°。
10.如图所示,已知CD∥BE,∠1+∠2=180°。
(1)试问∠AFE与∠ABC相等吗 请说明理由。
(2)若∠D=2∠AEF,∠1=136°,求∠D的度数。
解:(1)∠AFE与∠ABC相等。理由如下:
因为CD∥BE,所以∠1+∠CBE=180°。
因为∠1+∠2=180°,所以∠2=∠CBE。
所以EF∥BC。所以∠AFE=∠ABC。
(2)因为CD∥BE,所以∠D=∠AEB。
因为∠AEB=∠2+∠AEF,∠D=2∠AEF,所以∠2=∠AEF,即∠D=2∠2。
因为∠1=136°,∠1+∠2=180°,
所以∠2=44°,即∠D=88°。(共17张PPT)
1.内错角
如图所示,直线AB,CD被直线EF所截,∠4和∠5位于被截线AB,CD的内侧,位于截线EF的两旁,我们把具有这样位置关系的一对角称为　 　。图中的∠3与　 　也是内错角。
第4课时　利用内错角、同旁内角判定两直线平行
内错角
∠8
2.同旁内角
如图所示,直线AB,CD被直线EF所截,∠4和∠8位于被截线AB,CD的内侧,位于截线EF的同旁,我们把具有这样位置关系的一对角称为　 　,图中∠3和　 　也是同旁内角。
3.利用内错角相等判定两直线平行
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行。简述为 .
　。
4.利用同旁内角互补判定两直线平行
两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。简述为　 .
　。
同旁内角
∠5
内错角
相等,两直线平行
同旁
内角互补,两直线平行
探究点1　内错角、同旁内角的识别
例1　如图所示。
(1)∠AED和∠ACB是直线　 　,　 　被直线AC所截得的　 　;
(2)　 　 和　 　是AB,AC被BE所截得的内错角;
(3)　 　和　 　是DE,BC被AC所截而成的同旁内角。
DE
CB
同位角
∠ABE
∠BEC
∠DEC
∠ECB
1.阳江风筝是流传于广东省阳江市的传统手工技艺,至今已有1 400余年的历史。在如图所示的风筝骨架中,与∠3是同旁内角的是( )
A.∠1 B.∠2
C.∠4 D.∠5
A
探究点2　利用内错角、同旁内角判定两直线平行
例2　已知:如图所示,∠ABD=∠D,BD平分∠ABC。试说明:AD∥BC。
解:因为BD平分∠ABC,
所以∠ABD=∠CBD。
因为∠ABD=∠D,
所以∠CBD=∠D。
所以AD∥BC(内错角相等,两直线平行)。
2.如图所示,根据下列条件:①∠2=∠B;②∠1=∠D;③∠3+∠F=180°。可以分别判定哪两条直线平行 并说明判定的根据是什么。
解:①∠2=∠B,可判定AB∥ED,
根据:同位角相等,两直线平行;
②∠1=∠D,可判定AC∥FD,
根据:内错角相等,两直线平行;
③∠3+∠F=180°,可判定AC∥FD,
根据:同旁内角互补,两直线平行。
探究点3　用尺规作已知直线的平行线
例3　如图所示,以点B为顶点,射线BC为一边,利用尺规作∠EBC,使∠EBC=∠A(画出所有符合条件的情况,不写作法,保留作图痕迹),并写出图中互相平行的直线。
解:如图所示。当所作的角在BC上方时,EB∥AD;
当所作的角在BC下方时,无互相平行的直线。
3.已知:△ABC,过点A画BC的平行线(说明:只允许尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)。
解:如图所示,直线AD即为BC的平行线。
1.(2025深圳期中)如图所示,以下条件不能推出a∥b的是( )
A.∠1=∠3
B.∠1=∠4
C.∠2=∠4
D.∠2+∠3=180°
B
2.如图所示,直线EF分别与直线AB,CD相交于点P,Q,PM⊥EF,∠1+∠2=90°。
试说明:AB∥CD。
解:因为PM⊥EF,
所以∠MPQ=∠APQ+∠2=90°。
因为∠1+∠2=90°,
所以∠APQ=∠1。
所以AB∥CD(内错角相等,两直线平行)。
1.(2025中山期中改编)如图所示,下列不能判定DE∥BC的条件是( )
A.∠B=∠ADE
B.∠2=∠4
C.∠1=∠3
D.∠ACB+∠DEC=180°
C
2.如图所示,是小东用尺规过点P作直线m∥l的作法,他的作图依据是　 .
　。
内错角相等,
两直线平行
3.如图所示,直线EF与AC交于点O,∠A=∠AOE,∠COF+∠C=180°,试判断AB与CD是否平行,并说明理由。
解:AB∥CD。理由如下:
因为∠A=∠AOE,
所以AB∥EF。
因为∠COF+∠C=180°,
所以CD∥EF。
所以AB∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行)。
4.将一副三角尺按如图所示的方式放置。得到如下结论:①若∠1=45°,则BC∥AE;②若∠1=30°,则DE∥AB。下列判断正确的是( )
A.①和②都正确
B.①和②都错误
C.①错误,②正确
D.①正确,②错误
D
5.某个舞台上的灯光由灯带上位于点A和点C的两盏激光灯控制。如图所示,光线AB与灯带AC的夹角∠A=40°,当光线CB′与灯带AC的夹角∠ACB′的度数为　 　时,
CB′∥AB。
140°或40°
6.三名同学分别沿AB折叠纸条,哪名同学的折法一定能判定两条直线a,b互相平行
为什么
小明:如图(1)所示,展开后测得∠1=∠2。
小红:如图(2)所示,展开后测得∠1=∠2,且∠3=∠4。
小刚:如图(3)所示,测得∠1=∠2。
解:小明的折法能判定a∥b。
理由:因为∠1=∠2,
所以a∥b。
小红的折法能判定a∥b。
理由:因为∠1=∠2,∠3=∠4,
所以2∠1+2∠3=180°+180°=360°。
所以∠1+∠3=180°。
所以a∥b。
小刚的折法不能判定a∥b。(共7张PPT)
类型解读:在解决平行线拐点问题时,关键步骤是通过拐点作平行线,利用平行线的性质(如内错角、同位角相等或同旁内角互补)来导出角相等或角互补,经过进一步推理得到其他角之间的关系,从而帮助我们快速找到解决问题的突破口。
专题聚焦(二)【培优】平行线中常见的拐点模型
类型1　单拐点模型
1.【问题发现】
如图(1)所示,直线AB∥CD,点E在AB与CD之间,连接BE,CE,可以发现∠B+∠C=∠BEC。
(1)根据图(1)的提示,对∠B+∠C=∠BEC进行说明;
解:(1)如图①所示,过点E作 EF∥AB,则EF∥CD。
所以∠C=∠CEF,
∠B=∠BEF。
所以∠B+∠C=∠BEF+∠CEF,
即∠B+∠C=∠BEC。
【拓展探究】
(2)如果点E运动到如图(2)所示的位置,其他条件不变,进一步探究:∠B,∠C与∠BEC之间的关系;
解:(2)如图②所示,过点E作 EF∥AB。
因为AB∥CD,
所以AB∥EF∥CD。
所以∠B+∠BEF=180°,
∠C+∠CEF=180°。
所以∠B+∠BEF+∠CEF+∠C=360°。
所以∠B+∠C+∠BEC=360°。
【解决问题】
(3)如图(3)所示,∠C=130°,∠AEC=70°,根据(1)(2)的发现,直接写出∠A的度数为　　　　　。
解:(3)20°
类型2　多拐点模型
2.如图所示,AB∥CD,用含∠1,∠2,∠3的式子表示∠4,则∠4的值为( )
A.∠1+∠2-∠3
B.∠1+∠3-∠2
C.180°+∠3-∠1-∠2
D.∠2+∠3-∠1-180°
D
3.如图所示的是一款长臂折叠LED灯的示意图,EF与桌面MN垂直,当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时,∠DEF=120°,∠BCD=110°,则∠CDE的度数为( )
A.100° B.105°
C.110° D.120°
4.如图所示,直线l1∥l2,∠α=∠β,∠1=40°,则∠2=　 　°。
A
140
5.如图所示,AB∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C=　 　°。
540(共19张PPT)
平行线的性质
(1)两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。简述为　 　;
(2)两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等。简述为　 　;
(3)两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补。简述为　 　。
第5课时　平行线的性质
两直线平行,同位角相等
两直线平行,内错角相等
两直线平行,同旁内角互补
探究点1　两直线平行,同位角相等
例1　如图所示,AC∥DF,AB∥EF,点D,E分别在AB,AC上。若∠2=50°,求∠1的度数。
解:因为AB∥EF,
所以∠A=∠2=50°。
因为AC∥DF,
所以∠1=∠A=50°。
1.如图所示,点B,C在直线AD上,∠ABF=65°,BF平分∠ABE,如果CG∥BE,求∠DCG的度数。
解:因为∠ABF=65°,BF平分∠ABE,
所以∠ABE=2∠ABF=130°。
所以∠DBE=180°-∠ABE=180°-130°=50°。
因为CG∥BE,
所以∠DCG=∠DBE=50°。
探究点2　两直线平行,内错角相等
例2　如图所示,AB∥CD,EF分别交AB,CD于点M,N,∠EMB=50°,MG平分∠BMF,MG交CD于点G,求∠MGC的度数。
2.如图所示,已知直线AB∥CD,直线EF分别交直线AB,CD于点E,F,点G为AB上一点,连接FG,
FG平分∠EFD,∠EGF=35°,求∠1的度数。
解:因为AB∥CD,∠EGF=35°,
所以∠GFD=∠EGF=35°。
因为FG平分∠EFD交AB于点G,
所以∠EFD=2∠GFD=2×35°=70°。
因为AB∥CD,
所以∠1=∠EFD=70°。
探究点3　两直线平行,同旁内角互补
例3　(2025汕头月考)如图所示,EF∥CD,GD∥CA,∠1=140°。
(1)求∠2的度数;
解:(1)因为EF∥CD,
所以∠1+∠ACD=180°。
因为∠1=140°,所以∠ACD=40°。
因为GD∥CA,所以∠2=∠ACD=40°。
(2)若DG平分∠CDB,求∠A的度数。
解:(2)因为DG平分∠CDB,∠2=40°,
所以∠BDG=∠2=40°。
因为GD∥CA,
所以∠A=∠BDG=40°。
3.(2025潮州月考)如图所示,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,EG平分∠BEF,若∠1=72°,求∠2的度数。
1.(2025湛江月考改编)如图所示,a∥b,∠1=140°,∠2=105°,则∠3的度数是　 　。
65°
2.(2025广州期中改编)如图(1)所示的是某电动伸缩遮阳帘的形状示意图。已知AF∥CD,小明观察分析该图形得出图中∠A,∠ABC,∠C之间存在如下数量关系:∠ABC=∠A+∠C。他的证明思路如下,请将他的证明过程补充完整。
证明:如图(2)所示,
过点B作直线BM,
使BM∥AF。
因为BM∥AF,AF∥CD,
所以BM∥CD(　 　)。
因为BM∥AF,
所以∠A=∠ABM(　 　)。
因为　 　,
所以∠MBC=∠C(　 　)。
因为∠ABC=∠ABM+∠MBC,
所以∠ABC=　 　(等量代换)。
平行于同一条直线的两条直线平行
两直线平行,内错角相等
BM∥CD
两直线平行,内错角相等
∠A+∠C
1.如图所示,AF∥BE∥CD,若∠1=40°,∠2=50°,∠3=120°,则下列说法正确的是( )
A.∠F=100°
B.∠C=140°
C.∠A=130°
D.∠D=60°
D
2.如图所示,把长方形ABCD沿EF折叠后,点D,C分别落在点D′,C′的位置,若 ∠BGD′=
50°,则∠1=　 　°。
50
3.如图所示,点E,O,F在同一直线上,若AB∥EO,OF∥CD,则∠2+∠3-∠1的度数为　 　。
180°
4.如图(1)所示是长方形纸带,∠DEF=15°,将纸带沿EF折叠成图(2)所示的样子,则图(2)中的∠CFG的度数是　 　。
150°
5.(2025揭阳期末)如图所示,AB∥CD,BD平分∠ABC,CA平分∠BCD,∠A=2∠D,求∠A的度数。
解:设∠D=α,则∠A=2α。
因为AB∥CD,所以∠ACD=∠A=2α,∠ABE=∠D=α。
因为BD平分∠ABC,CA平分∠BCD,
所以∠ABC=2∠ABE=2α,∠BCD=2∠ACD=4α。
因为AB∥CD,所以∠ABC+∠BCD=180°。
所以2α+4α=180°,解得α=30°。
所以∠A=2α=60°。
6.如图所示,AB∥EF,AC∥DE。试说明:∠B=∠F,∠ACF=∠EDB,∠A=∠E。
解:因为AB∥EF,
所以∠B=∠F。
因为AC∥DE,
所以∠ACB=∠EDF。
所以180°-∠ACB=180°-∠EDF。
所以∠ACF=∠EDB。
如图所示,延长AC交EF于点G。
因为AB∥EF,
所以∠A=∠AGF。
因为AC∥DE,
所以∠AGF=∠E。
所以∠A=∠E。
7.[跨物理学科]如图所示,某科学兴趣小组发现,将光线AB照在平面镜MN上会形成反射光线BP,且两条光线与MN形成的夹角相等,即∠MBA=∠NBP。将一条平行于AB的光线CD照在平面镜EF上,两条反射光线交于点P,若 ∠CDP=40°,∠BPD=70°,求AB与MN形成的夹角
(锐角)的度数。(共16张PPT)
1.垂直与垂线
两条直线相交成四个角,如果有一个角是　 　,那么称这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫作另一条直线的　 　,它们的交点叫作垂足。通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。
2.垂线的性质
(1)同一平面内,过一点有且只有　 　条直线与已知直线垂直;
(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,　 　最短。
3.点到直线的距离
过点A作直线l的垂线,垂足为B,线段AB的长度叫作点A到直线l的距离。
第2课时　垂直
直角
垂线
一
垂线段
探究点1　垂直与垂线
例1　直线AB,CD相交于点O,∠AOC是钝角,在∠AOC的内部作射线OE,EO⊥AB。
(1)根据已知条件画出图形;
解:(1)根据已知条件画出图形,如图所示(画法不唯一,合理即可)。
(2)若∠COE=60°,求∠BOD的度数。
解:(2)因为直线AB,CD相交于点O,
所以∠COD=180°。
因为EO⊥AB,所以∠BOE=90°。
因为∠COE=60°,
所以∠BOC=∠BOE-∠COE=90°-60°=30°。
所以∠BOD=∠COD-∠BOC=180°-30°=150°。
1.如图所示,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O。若∠COE=35°,则∠AOD的度数为( )
A.105° B.115°
C.125° D.135°
C
探究点2　垂线的性质和点到直线的距离
例2　如图所示,P是直线l外一点,A,B,C三点在直线l上,且PB⊥l于点B,∠APC=90°,则下列结论:
①线段AP是点A到直线PC的距离;
②线段BP的长是点P到直线l的距离;
③PA,PB,PC三条线段中,PB最短;
④点C到直线AP的垂线段是线段PC。
其中,正确的是( )
A.②③④ B.①②③
C.③④ D.①②③④
A
2.如图所示,河道l的一侧有A,B两个村庄,现要铺设一条引水管道把河水引向A,B两村,下列四种方案中最节省材料的是( )
B
1.如图所示,在三角形ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC,垂足为D,AC=10,AB=6,BC=8,则点A到BC的距离为　 　,点C到AB的距离为　 　,点B到直线AC的距离为　 　。
6
8
4.8
2.如图所示,∠AOB=90°,P是直线OB上的一点,分别画出点P到直线OA和到直线OC的距离。
解:如图所示,OP的长为点P到直线OA的距离;PE的长为点P到直线OC的距离。
3.如图所示,点O在直线AB上,∠AOD∶∠DOB=3∶1,OD平分∠COB。
(1)求∠DOC的度数;
(2)判断AB与OC的位置关系。
(2)因为∠DOC=∠BOD=45°,
所以∠BOC=45°+45°=90°。
所以OC⊥AB,
即AB与OC的位置关系是垂直。
1.(2025韶关期末)利用三角尺,过直线l外的点P作直线l的垂线,下列各图中,三角尺操作正确的是( )
C
2.如图所示,AC⊥BC,AC=3,AB=5,点D是线段BC上的动点,则A,D两点之间的距离可能是
( )
A.1.4 B.2.5
C.3.6 D.5.7
3.(2024惠州期末)如图所示,三条直线AB,CD,EF相交于点O,且AB⊥CD,若∠EOD=70°,则∠BOF=( )
A.10° B.30°
C.35° D.20°
4.在同一平面内,直线AB与直线CD相交于点O,∠AOC=30°,射线OE⊥CD,则∠BOE的度数为
　 　。
C
D
60°或120°
5.(1)如图所示,教学楼A位于学校操场的一侧,为了节省学生课间到操场的时间,学校想修一条道路AO(O在直线l上),使得学生走到操场的距离最短,学校该如何修路 (只需在图中画出)
(2)请再举出两条日常生活中应用“垂线段最短”的例子。
解:(1)如图所示。线段AO即为所求道路。
(2)答案不唯一,如:①测量跳远成绩;②从河流引水浇远处的庄稼。
6.[教材P40习题T5改编]如图所示,打台球时,选择适当的方向击打白球,白球反弹后击中红球,红球会直接入袋。已知CD⊥EF,∠1=60°。
(1)要想白球反弹后能击中红球,则∠2的度数为　　　　;此时∠3=　　　　°;
(2)直接写出与∠3的度数大小相等的角。
解:(1)60°　30
(2)与∠3相等的角有∠ADC,∠DBF。
7.如图所示,点A表示小雨家,点B表示小樱家,点C表示小丽家,她们三家恰好组成了一个直角三角形,其中AC⊥BC,AC=900米,BC=1 200米,AB=1 500米。
(1)试说出小雨家到街道BC的距离以及小樱家到街道AC的距离;
(2)画出表示小丽家到街道AB距离的线段。
解:(1)因为AC⊥BC,AC=900米,BC=1 200米,
所以小雨家到街道BC的距离为900米,小樱家到街道AC的距离为1 200米。
(2)如图所示,CD即为小丽家到街道AB距离的线段。
8.(2025广州期中改编)如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,OF平分∠AOD。
(1)若∠COE=50°,求∠AOF的度数;
(2)若∠COE∶∠AOF=2∶3,求∠BOD的度数。(共21张PPT)
第6课时　平行线的性质与判定的综合应用
1.平行线的性质
(1)两直线平行,同位角　 　;
(2)两直线平行,内错角　 　;
(3)两直线平行,同旁内角　 　。
2.平行线的判定
(1)同位角　 　,两直线平行;
(2)内错角　 　,两直线平行;
(3)同旁内角　 　,两直线平行;
(4)平行于　 　的两条直线平行。
相等
相等
互补
相等
相等
互补
同一条直线
探究点1　利用平行线的性质与判定进行运算或说理
例1　如图所示,已知∠A=∠ADE,∠C=∠E。
(1)若∠EDC=3∠C,则∠C=　　　　;
(2)试说明:BE∥CD。
解:(1)45°
(2)因为∠A=∠ADE,所以AC∥DE,
所以∠E=∠ABE。
又因为∠C=∠E,所以∠C=∠ABE。
所以BE∥CD。
1.如图所示,直线AB∥CD,连接AC,CE平分∠ACD交AB于点E,过点E作FE⊥AB交CD于点F。若∠A=130°,求∠CEF的度数。
探究点2　平行线的性质与判定的实际应用
例2　如图所示,某工程队从A点出发,沿北偏西67°方向修一条公路AD,在BD路段出现塌陷区,于是改变方向,由B点沿北偏东23°的方向继续修建BC段,到达C点又改变方向,从C点继续修建CE段,若使所修路段CE∥AB,∠ECB应为多少度 试说明理由。此时CE与BC有怎样的位置关系
解:∠ECB=90°。
理由如下:
因为AP∥BQ,
所以∠1=∠A=67°。
所以∠CBD=23°+67°=90°。
当∠ECB+∠CBD=180°时,CE∥AB,
所以∠ECB=180°-∠CBD=180°-90°=90°,此时CE与BC的位置关系为垂直。
2.[跨物理学科]如图所示的是潜望镜工作原理示意图,AB和CD是平行放置在潜望镜里的两面镜子。已知光线经过镜子反射时,有∠2=∠1,∠4=∠3,请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的
解:因为AB∥CD,
所以∠2=∠3(两直线平行,内错角相等)。
因为∠2=∠1,∠4=∠3,
所以∠1=∠2=∠3=∠4。
所以180°-(∠1+∠2)=180°-(∠3+∠4)。
因为∠5=180°-(∠1+∠2),∠6=180°-(∠3+∠4),所以∠5=∠6。
所以l∥m(内错角相等,两直线平行)。
1.(2025揭阳月考)如图所示,已知∠3+∠4=180°,∠2=50°,则∠1的度数是( )
A.30° B.40° C.60° D.50°
D
2.(2024广州期末)如图所示,EF⊥BC于点F,DM⊥BC于点M,∠1=∠2,∠3=∠C。
试说明:AB∥MN。
解:因为EF⊥BC,DM⊥BC,
所以∠EFC=∠DMC=90°。
所以EF∥DM。所以∠2=∠CDM。
因为∠1=∠2,所以∠1=∠CDM。
所以CD∥MN。
因为∠3=∠C,所以AB∥CD。
所以AB∥MN。
1.如图所示,下列结论中不正确的是( )
A.若AD∥BC,则∠1=∠B
B.若∠1=∠2,则AD∥BC
C.若∠2=∠C,则AE∥CD
D.若AE∥CD,则∠1+∠3=180°
2.如图所示,两条平行线分别截一个120°角的两条边,若∠1=α,则∠2等于( )
A.60°+α B.90°-α
C.120°-α D.180°-α
A
C
3.如图所示,∠1=55°,∠2=35°,点O在直线a上,且OA⊥OB,则∠3的度数为　 　;a与b的位置关系是　 　。
55°
平行
4.(2025湛江模拟改编)为了方便市民绿色出行,某市政府推动了共享单车服务。如图(1)所示是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图,如图(2)所示是其示意图,其中AB,CD都与地面l平行,∠BCD=60°,∠BAC=54°。若AM∥CB,求∠MAC的度数。
解:因为AB,CD都与地面l平行,
所以AB∥CD。
所以∠BAC+∠ACD=180°,
即∠BAC+∠ACB+∠BCD=180°。
因为∠BCD=60°,∠BAC=54°,
所以∠ACB=66°。
因为AM∥CB,
所以∠MAC=∠ACB=66°。
5.如图所示,已知FG⊥AB,∠1=∠2,∠B=∠AGH,则下列结论:①GH∥BC;②∠D=∠F;③HE平分∠AHG;④HE⊥AB。其中正确的有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
C
6.如图所示,AE∥CF,∠A=∠C。
(1)若∠1=35°,求∠2的度数;
(2)判断AD与BC的位置关系,并说明理由;
解:(1)因为AE∥CF,∠1=35°,
所以∠BDC=∠1=35°。
因为∠2+∠BDC=180°,
所以∠2=180°-∠BDC=180°-35°=145°。
(2)BC∥AD。理由如下:
因为AE∥CF,所以∠A+∠ADC=180°。
因为∠A=∠C,所以∠C+∠ADC=180°。
所以BC∥AD。
(3)若DA平分∠BDF,试说明BC平分∠DBE。
7.[综合与探究]已知:点C是∠AOB的OA边上一点(点C不与点O重合),点D是∠AOB内部一
点,射线CD不与OB相交。
(1)如图(1)所示,∠AOB=90°,∠OCD=120°,过点O作射线OE,使得OE∥CD。(其中点E在∠AOB内部)。
①依据题意,补全图(1);
解:(1)①依据题意,如图①所示。
②求出∠BOE的度数。
解:②因为CD∥OE,
所以∠OCD+∠COE=180°。
因为∠OCD=120°,
所以∠COE=60°。
因为∠AOB=90°,
所以∠BOE=90°-∠COE=90°-60°=30°。
(2)如图(2)所示,点F是射线OB上一点,且点F不与点O重合,当∠AOB=α(0°<α≤180°)时,过点F作FH∥CD(其中点H在∠AOB的外部),用含α的代数式表示∠OCD与∠BFH的数量关系,并说明理由。
解:(2)∠OCD+∠BFH=360°-α。
理由如下:
如图②所示,过点O作 OM∥CD,
则OM∥CD∥FH。
所以∠OCD+∠COM=
180°,∠MOF=∠OFH。
又因为∠BFH+∠OFH=180°,
∠AOB=∠COM+∠MOF,
所以180°-∠OCD+180°-∠BFH=α。
所以∠OCD+∠BFH=360°-α。(共17张PPT)
第二章 　相交线与平行线
1.相交与平行
(1)在同一平面内,两条直线的位置关系有　 　和　 　两种;
(2)若两条直线只有　 　个公共点,我们称这两条直线为相交线;
(3)在同一平面内,　 　的两条直线叫作平行线。
2.对顶角
(1)定义:有公共顶点,且两边互为　 　线,具有这种位置关系的两个角叫作对顶角;
(2)性质:对顶角　 　。
第1课时　相交与平行
相交
平行
一
不相交
反向延长
相等
3.余角和补角
(1)定义:一般地,如果两个角的和是　 　,那么称这两个角互为补角。如果两个角的和是　 　,那么称这两个角互为余角;
(2)性质:同角(或等角)的补角　 　,同角(或等角)的余角　 　。
180°
90°
相等
相等
探究点1　相交与平行
例1　下列说法正确的是( )
A.同一个平面内,不相交的两条线段是平行线
B.同一个平面内,两条直线不相交就重合
C.同一个平面内,没有公共点的两条直线是平行线
D.不相交的两条直线是平行线
C
1.在同一个平面内,不重合的两条直线的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.无法确定
C
探究点2　对顶角的性质
例2　如图所示,直线AB,CD相交于点O,∠DOE=∠AOD,OF平分∠BOE,如果∠BOC=35°,则∠EOF的度数为　 　。
55°
2.下列四个图中,∠1=∠2一定成立的是( )
B
探究点3　余角和补角
例3　如图所示,O是直线AB上的一点,OE是∠BOD的平分线,∠AOD=60°,∠COD=90°。
(1)写出图中互为余角的角;
(2)∠BOD的度数为　 　;
解:(1)∠DOE与∠EOC,∠COB与∠DOE,∠COB与∠AOD,∠EOC与∠AOD,∠COE与∠BOE,∠BOC与∠BOE。
120°
(3)求∠COE的度数。
3.(2025湛江期末改编)三角尺和直尺按如图所示的位置放置。
(1)∠1与∠2的数量关系是　　　　　　　　　;
(2)若∠1的补角比∠2的2倍多25°,求∠1的度数。
解:(1)∠1+∠2=90°
(2)设∠1=x°,则∠2=(90-x)°,
根据题意,得180-x=2(90-x)+25,
解得x=25,所以∠1=25°。
1.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC。若∠BOD=35°,则∠EOD的度数为
　 　。

2.如图所示,一副三角尺(直角顶点重合)摆放在桌面上,此时∠AOC=∠BOD,依据是
　 　。
110°
同角的余角相等
1.下列说法中正确的是( )
A.对顶角不一定相等
B.有公共顶点且相等的两个角是对顶角
C.在同一个平面内,两条直线的位置关系有相交和平行两种
D.如果两个角的和为90°,那么这两个角互为补角
C
2.如图所示,点O在直线AB上,∠COB=∠EOD=90°,下列说法错误的是( )
A.∠1=∠2
B.∠AOE与∠2互余
C.∠AOD与∠1互补
D.∠AOD与∠COD互补
3.已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°,则这个角的度数是　 　。
D
50°
4.如图所示,直线AB,CD相交于点O,∠FOD=90°,OF平分∠AOE。
(1)直接写出图中所有与∠AOD互补的角;
(2)若∠AOE=120°,求∠BOD的度数。
解:(1)与∠AOD互补的角有∠AOC,∠BOD,∠DOE。
6.[综合与探究]观察图形,寻找对顶角(不含平角)。
(1)两条直线相交于一点,如图(1)所示,共有　 　对对顶角;
(2)三条直线相交于一点,如图(2)所示,共有　 　对对顶角;
(3)四条直线相交于一点,如图(3)所示,共有　 　对对顶角;
(4)根据探究:当n条直线相交于一点时,共有　 　对对顶角。
2
6
12
n(n-1)(共13张PPT)
1.同位角
如图所示,具有∠1和∠8这样位置关系的两个角称为同位角,∠2和　 　,∠3和　　 ,
∠4和　 　也是同位角。
第3课时　利用同位角判定两直线平行
∠5
∠6
∠7
2.利用同位角判定两直线平行
(1)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。简述为　 .
　;
(2)两直线平行,用符号“　 　”表示。例如,直线a与直线b平行,记作　 　。
3.平行线的性质
(1)过直线外一点有且只有　 　条直线与这条直线平行;
(2)平行于同一条直线的两条直线　 　。
同位
角相等,两直线平行
∥
a∥b
一
平行
探究点1　同位角
例1　下列四幅图中,∠1和∠2是同位角的是( )
B
A B C D
1.如图所示的∠1与∠C,∠2与∠B,∠3与∠C,各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的同位角
解:∠1与∠C是直线DE,BC被直线AC所截形成的同位角,∠2与∠B是直线DE,BC被直线AB所截形成的同位角,∠3与∠C是直线DF,AC被直线BC所截形成的同位角。
探究点2　利用同位角判定两直线平行
例2　如图所示,已知点B在AC上,BD⊥BE,∠1+∠C=90°,请问射线CF与射线BD平行吗 说明理由。
解:CF∥BD。
理由如下:
因为BD⊥BE,
所以∠DBE=90°。
所以∠1+∠2=90°。
因为∠1+∠C=90°,
所以∠2=∠C。
所以CF∥BD。
2.如图所示,把三角尺的直角顶点放在直线b上。若 ∠1=50°,则当∠2=　 　时,
a∥b。
40°
1.如图所示,已知直线a和直线外一点P,用直尺和三角尺,过点P画已知直线a的平行线b。操作步骤如下:①用三角尺的一边贴住直线a;②用直尺紧靠三角尺的另一边;③沿直尺上移三角尺,使三角尺一边经过点P;④沿三角尺的边作出直线b。
这种画平行线的依据是　 　。
同位角相等,两直线平行
2.如图所示,直线AB,CD,EF被直线MN所截,MN交AB于点P,交EF于点Q,如果∠1=∠2,AB∥
CD,那么CD与EF平行吗 为什么
解:CD∥EF。理由如下:
因为∠1=∠APQ,∠1=∠2,
所以∠2=∠APQ。
所以AB∥EF(同位角相等,两直线平行)。
因为AB∥CD,
所以CD∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行)。
1.下列结论错误的是( )
A.同位角相等,两直线平行
B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C.平行于同一条直线的两条直线平行
D.和已知直线平行的直线有无数条
2.如图所示,直线a,b被直线c所截,下列条件不能证明a∥b的是( )
A.∠1=∠3 B.∠1=∠6
C.∠2=∠5 D.∠1=∠4
B
B
3.如图所示,PC∥AB,QC∥AB,则点P,C,Q在一条直线上。理由:　 .
　。
过直线外一点有且只有
一条直线与这条直线平行
4.如图所示,直线a∥c,∠1=∠2,那么直线b,c的位置关系是　 　。
b∥c
5.如图所示,若FE平分∠CFG,∠1=40°,∠2=110°,试说明AB∥CD。
解:因为∠2=110°,所以∠CFE=180°-∠2=180°-110°=70°。
因为FE平分∠CFG,
所以∠CFG=2∠CFE=2×70°=140°。
所以∠DFG=180°-∠CFG=180°-140°=40°。
因为∠1=40°,所以∠1=∠DFG。
所以AB∥CD。
6.如图所示,将一张长方形的硬纸片ABCD对折,MN是折痕,把面ABNM平摊在桌面上,改变面CDMN的位置,你会发现什么 并说出其中的道理。
解:总有AB与CD平行。
因为把长方形的硬纸片ABCD对折后,MN是折痕,
所以MN∥AB,MN∥CD。根据“平行于同一条直线的两直线平行”,可得AB∥CD。
所以另一个面CDMN不论怎样改变位置,总有AB与CD平行。

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