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(共16张PPT)
第三章 　概率初步
1.事件的分类
在一定条件下进行可重复试验时,有些事件一定会发生,这样的事件称为　 　;有些事件一定不会发生,这样的事件称为　 　;有些事件可能发生也可能不发生,这样的事件称为　 　。
2.一般地,随机事件发生的可能性有大有小。
第1课时　感受可能性
必然事件
不可能事件
随机事件
探究点1　事件的分类
例1　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件。
(1)某人购买了一注彩票,中一等奖;
(2)圆锥的侧面展开图是扇形;
解:(1)随机事件。
(2)必然事件。
(3)没有空气和水,人类可以生存下去;
(4)同时抛掷两枚质地均匀的硬币一次,都出现正面向上;
(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张,抽到1号标签。
解:(3)不可能事件。
(4)随机事件。
(5)随机事件。
1.在五个一模一样的小球上分别写上2,4,6,8,10这五个数字,并判断下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件。
(1)任意摸一个球,得到的数字是偶数;
(2)任意摸一个球,得到的数字是奇数;
(3)任意摸一个球,得到的数字是3的倍数;
(4)任意摸两个球,它们的和为20。
解:(1)必然事件。
(2)不可能事件。
(3)随机事件。
(4)不可能事件。
探究点2　随机事件的可能性
例2　小董和小明利用质地均匀的骰子做游戏,规则如下:
①两人同时做游戏,各自掷一枚骰子,每人可以只掷一次骰子,也可以连续地掷几次骰子;
②当掷出的点数和不超过10时,如果决定停止投掷,那么最后的得分就是所掷出的点数 和;当掷出的点数和超过10时,必须停止投掷,并且最后的得分为0;
③比较两人的得分,谁的得分高谁就获胜。
在一次游戏中,小明连续投掷两次,掷出的点数分别是2,6;小董也连续投掷了两次,但是掷出的点数分别是3,4。请问:
(1)如果你是小明,你是否决定再投掷一次 请说明理由。
(2)如果小明不再投掷,小董决定再投掷一次,试说明小董如何才能获胜。
解:(1)不会再投掷一次。理由如下:根据题意,当小明再掷一次骰子的点数为3,4,5,6时,得分为0,即再掷1次,点数和超过10的可能性要比不超过10的可能性大,并且小明的分数已经比小董的分数高了,所以不会再投掷一次骰子。
(2)小董再次投掷骰子,只有当点数为2或3时,小董才能获胜。
2.某商场为吸引顾客,设置了大转轮游戏环节,胜出者奖励30元代金券。转轮上平均分布着5,10,15,20,…,100共20个数字。选手依次转动转轮,每人最多有两次机会。选手转动的数字之和最大不超过100者获胜;若超过100则成绩无效。
(1)某选手第一次转到了数字5,再转第二次,则他成绩无效的可能性大吗
(2)现在某选手第一次转到了数字65,若再转第二次则有可能成绩无效,请你分析该选手成绩无效的情况有几种
解:(1)他成绩无效的可能性不大。因为当他两次转到的数字之和超过100时才会成绩无效,即第二次他要在20个数字中转到100这个数字,可能性比较小。
(2)由题意分析可知,转到数字35以上就会成绩无效,因此共有13种情况。
一个圆形转盘被平均分成了10份,分别标有0,1,2,…,9这10个数字,转动转盘,当转盘停止转动时,指针指向的数字即为转出的数字(若指针指向分界处则无效,需重新转动)。两人进行猜数游戏,规则如下:
①自由转动转盘,将转出的数填入四个方格中的任意一个;
②继续转动转盘,再将转出的数填入剩下的任意一个方格中;
③转动四次转盘后,每人得到一个“四位数”;
④比较两人得到的“四位数”,谁的大谁就获胜。
问题:(1)若第一次转出的数字是0或1,你会放在哪个方格中
(2)若第一次转出的数字是9,你会放在哪个方格中
(3)你认为可能得到的最小的数是多少 最大的四位数是多少 它们哪一个出现的可能性大 为什么
解:(1)放在左数第4个方格中。
(2)放在左数第1个方格中。
(3)最小的数是0,最大的四位数是9 999,它们出现的可能性一样大,因为4次都转到0和4次都转到9的可能性相同。
1.(2025深圳期末)成语作为中华优秀传统文化的精髓,既是历史馈赠的语言瑰宝,更是现代文化创新与国际传播的重要资源,下列成语所描述的事件,是必然事件的是( )
A.守株待兔 B.百步穿杨
C.水中捞月 D.水涨船高
D
2.如图所示,转动三个可以自由转动的转盘(转盘均被等分),当转盘停止转动后,根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小,将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为　 　(填序号)。
②①③
3.一个不透明的盒子中装有除颜色外其他都一样的5个红球,3个蓝球和2个白球,它们已经被搅匀了,指出下列三种事件是必然事件,随机事件,还是不可能事件
(1)从盒子中任取4个球,全是蓝球;
(2)从盒子中任取3个球,只有蓝球和白球,没有红球;
(3)从盒子中任取9个球,恰好红、蓝、白三种颜色的球都有。
解:(1)不可能事件。
(2)随机事件。
(3)必然事件。
B
5.“一个不透明的袋中装有三个球,分别标有1,2,x这三个号码,这些球除号码外都相同,搅匀后任意摸出一个球,摸出的球上的号码小于5”是必然事件,则x的值可能是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
A
6.一个不透明的盒中装有红球、黄球共10个,这些球除颜色外其余都相同,要求每次从盒中摸出一个球,摸三次,不放回,请你按要求设计盒中红球和黄球的数量。
(1)“摸出的三个球都是红球”是不可能事件;
(2)“摸出红球”是必然事件;
(3)“摸出两个黄球”是随机事件。
解:(1)盒中装有红球2个、黄球8个,则“摸出的三个球都是红球”是不可能事件。(答案不唯一)
(2)盒中装有红球8个、黄球2个,则“摸出红球”是必然事件。(答案不唯一)
(3)盒中装有红球8个、黄球2个,则“摸出两个黄球”是随机事件。(答案不唯一)(共16张PPT)
与面积有关的概率
(1)在与面积有关的概率中,事件A的概率等于事件A所包含的图形的面积除以所有可能的结果组成图形的面积;
第4课时　等可能事件的概率(2)
探究点1　与面积有关的概率
例1　如图所示,从一个大正方形中截去面积为4 cm2和 9 cm2的两个小正方形,若随机向
大正方形内投一粒米,则米粒落在图中阴影部分的概率为　 　。
1.一只蚂蚁在如图所示的正方形内部随意爬行,则它停在阴影部分的概率为　 　。
2.如图所示是一圆形飞镖游戏板,大圆的半径OB是小圆半径OA的2倍,向游戏板随机投掷
一枚飞镖(飞镖每次都落在游戏板上),则击中阴影部分的概率是　 　。
探究点2　转盘问题中的概率
例2　如图所示的是可以自由转动的三个转盘,请根据下列情形回答问题:
(1)转动转盘1,当转盘停止转动时,指针落在红色区域的概率是　　　　　;
(2)转动转盘2,当转盘停止转动时,指针落在红色区域的概率是　　　　　;
3.某商场为了吸引顾客,设立了一个可以自由转动的转盘,如图所示,并规定顾客每购物满200元,就能获得一次转动转盘的机会,若转盘停止后,指针对准红、黄、绿的区域,顾客就可以分别获得50元、20元、10元的奖金,对准无色区域则无奖金(转盘被等分成16份)。
(1)小明购物180元,他获得奖金的概率是多少
解:(1)因为180<200,
所以小明购物不足200元,不能获得转动转盘的机会。
所以小明获得奖金的概率为0。
B
2.如图所示是扫雷游戏的一部分(说明:图中数字2表示在以该数字为中心相邻的8个方格中有2个地雷)。小旗表示该方格已被探明有地雷,现在还剩下A,B,C三个方格未被探明,其他地方为安全区(包括有数字的方格)。
(1)现在还剩下几个地雷
(2)A,B,C三个方格中有地雷的概率分别是多大
解:由B下面的数字2,可知未被探明的A,B,C中必有2个地雷;
由C下面的数字2,以及C右边已探明一个地雷,可知B,C中必有1个地雷;
因此,A必有地雷,B或C中有一个地雷。
(1)现在还剩2个地雷。
1.在下列四个转盘中,A,B转盘被分成8等份,若让转盘自由转动一次,停止后,指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是( )
D
2.如图所示,一块游戏板由大小相等的小正方形格子构成,若某游戏者随机向游戏板投掷
一枚飞镖,则飞镖击中阴影区域的概率是　 　。
①④(或②③)
A
5.如图所示,一枚圆形古钱币的中间是正方形孔,已知圆的直径与正方形的对角线之比为
3∶1。将一支箭射到古钱币的圆形区域内,箭穿过正方形孔的概率为　 　(结果用含π的式子表示)。
6.如图所示的是一个转盘,转盘被等分成四个扇形,上面标有红、黄、蓝三种颜色,小明和小强做游戏,规定:转到红色,小明赢;转到黄色,小强赢(若转到分界线,则重转一次)。
(2)若你认为游戏不公平,请你设计一种规则,使他们的游戏公平。
解:(2)可设计为转到蓝色,小明赢;转到黄色,小强赢(若转到分界线,则重转一次)。(答案不唯一)(共10张PPT)
单元综合回顾
1.(2024连云港中考)下列说法正确的是( )
A.10张票中有1张奖票,10个人去摸,先摸的人摸到奖票的概率较大
B.从1,2,3,4,5中随机抽取一个数,取得偶数的可能性较大
C.小强一次掷出3枚质地均匀的骰子,3枚全是6点朝上是随机事件
事件分类
C
2.(2025徐州中考)一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球,每个球除颜色外都相同。从中任意摸出3个球,下列事件为必然事件的是( )
A.至多有1个球是红球
B.至多有1个球是黑球
C.至少有1个球是红球
D.至少有1个球是黑球
C
3.小星同学通过大量重复的定点投篮练习,用频率估计他投中的概率为 0.4,下列说法正确的是( )
A.小星定点投篮1次,不一定能投中 B.小星定点投篮1次,一定可以投中
C.小星定点投篮10次,一定投中4次 D.小星定点投篮4次,一定投中1次
4.(2025深圳期中改编)小刚将一个二维码打印在面积为20 cm2的正方形纸片上,为了估计黑色阴影部分的面积,他在纸内随机掷点,经过大量重复试验,发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6,则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为( )
A.8 cm2 B.12 cm2
C.0.4 cm2 D.0.6 cm2
频率的稳定性
A
B
等可能事件的概率
A
6.(2025茂名期中改编)如图(1)、图(2)是可以自由转动的两个转盘。图(1)所示的转盘被平均分成9份,分别标有1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字,转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字。图(2)所示的转盘被涂上红色与绿色,绿色部分的扇形圆心角是120°,转动转盘,当转盘停止后,指针指向的颜色即为转出的颜色。小明转动图(1)的转盘,小亮转动图(2)的转盘,若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转。小颖认为:小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同。小颖的观点对吗 为什么
7.(2025揭东模拟)项目式学习
【项目背景】
为方便师生雨天出行,某校在校园内设置了4个共享雨伞放置区,总投放240把雨伞。小明发现雨天时各放置区的雨伞使用效率差别很大,有些放置区的雨伞不够用,而有些放置区的雨伞被闲置,为探究雨伞的合理投放方案,小明和同学们展开了研究。
【数据收集】
在雨天到各放置区对师生使用共享雨伞的情况、人流量进行数据收集,数据如表1,表2
所示:
表1　师生使用共享雨伞情况的抽样调查数据
放置区 教学楼 图书馆 餐厅 宿舍楼
经过放置区 的师生人数 80 110 70 90
使用共享 雨伞的人数 6 8 7 6
表2　雨天经过放置区的平均人流量
放置区 教学楼 图书馆 餐厅 宿舍楼
人流量/人 280 330 200 225
【问题解决】
(1)经过餐厅的师生使用共享雨伞的概率为　　　　　(结果保留小数点后一位);
(2)请设计一个合理的投放方案,应对该校师生使用共享雨伞的需求。
解:(1)0.1(共17张PPT)
1.等可能事件
设一个试验的所有可能的结果有n种,每次试验有且只有其中的　 　结果出现。如果每种结果出现的　 　,那么我们就称这个试验的结果是等可能的。
2.简单事件的概率公式
一般地,如果一个试验有n种等可能的结
果,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)=　　 。
3.利用概率判断游戏的公平性
只要游戏双方获胜的　 　相等,我们就认为游戏是公平的,所以只要求出双方获胜的　 　进行对比,即可判断游戏公平与否。
第3课时　等可能事件的概率(1)
一种
可能性相同
概率
概率
探究点1　等可能事件
例1　下列事件中,是等可能事件的是　 　。(填序号)
①抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次,朝上的点数是奇数与朝上的点数是偶数;
②不透明袋子中装有红、黄两种颜色的球,每个球除颜色外都相同,抽到红球一次与抽到黄球一次;
③将两副不同的扑克牌混合在一起,随机抽取一张;
④掷一枚图钉一次,钉尖着地与钉尖朝上。
①
1.在5张相同的纸条上分别标上1,2,3,4,5这5个号码,做成5支签后放在一个不透明的盒中,搅匀后从中任意抽出1支签。
(1)会出现哪些可能的结果 这些结果是等可能的吗
(2)抽到奇数号签与抽到偶数号签是等可能的吗 为什么
解:(1)搅匀后从中任意抽出1支签,会抽到的号码有5种结果,分别是1,2,3,4,5,这些结果是等可能的。
(2)抽到奇数号签的可能结果有3种,抽到偶数号签的可能结果有2种,所以抽到奇数号签与抽到偶数号签不是等可能的。
探究点2　简单等可能事件的概率计算
例2　为了培养学生的科技创新能力,某校开展“科技创新展”活动。下表是某班级根据同学们上交的各类作品(每个人只交一个作品)绘制的统计表。
作品类型 小制作 小发明 科技绘画 其他
数量/个 14 10 18 8
请根据上表提供的信息,回答下列问题:
(1)如果从这个班的所有作品中随机选择一个作品进行点评,那么正好选中“小发明”的概率是多少
(2)如果准备在“小发明”和“小制作”的作者中随机选择一名作为本班作品的解说员,求正好选中“小发明”的作者的概率是多少。
D
C
探究点3　利用概率判断游戏的公平性
例3　明明与亮亮玩摸球游戏:在一个不透明的袋子中放有7个除标注数字不同外其他完全一样的球,分别标有1,2,3,4,5,6,7七个数字,明明与亮亮轮流从袋中摸出一球,记下号码,然后放回,规定:若摸到的球上的数字大于4,则明明胜,否则亮亮胜。你认为这个游戏公平吗 请说明理由。若不公平,修改游戏规则使游戏公平。
4.(2024宝丰期末)数学老师在黑板上画出一个3×3表格,并设计双人游戏:一人在黑板上指出数字,另一人蒙眼猜数字。若所猜数字与指出的数字相符,则猜数的人获胜,否则指数的人获胜。
8 1 6
3 5 7
4 9 2
猜数字的方法从以下三种中选一种:
①猜“是奇数”或“是偶数”;
②猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”;
③猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”。
(1)如果轮到你猜数,为了尽可能获胜,你将选择哪一种猜数方法 怎么猜 说明理由。
(2)请你设计第四种猜数方法,使猜数者获胜概率更大。
(2)猜“大于1”或“不大于1”中的“大于1”(答案不唯一)。
D
A
3.将五张背面图案完全一样的卡片,分别标上数1,2,3,4,4.洗匀后,背面朝上放在桌面上。请完成下列各题。
(1)随机抽取一张,抽到4的概率;
(2)随机抽取一张,抽到奇数的概率;
(3)若哥哥和弟弟用这五张卡片来玩游戏,哥哥抽出标有偶数的卡片赢、弟弟抽出标有奇数的卡片赢。请用概率知识解释一下,哥哥赢的机会比弟弟大。
1.下列关于概率的描述属于“等可能事件”的是( )
A.交通信号灯有“红、绿、黄”三种颜色,它们发生的概率
B.掷一枚图钉,落地后钉尖“朝上”或“朝下”的概率
C.小亮在沿着“直角三角形”三边的小路上散步,他出现在各边上的概率
D.小明用随机抽签的方式选择以上三种答案,则A,B,C被选中的概率
D
D
D
4.现有足够多除颜色外均相同的球,请你从中选12个球设计摸球游戏(要求写出设计
方案)。
(1)使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等;
(2)使摸到红球、白球、黑球的概率都相等;
(3)使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等,且都小于摸到黑球的概率。
解:(1)12个球中,有6个红球、6个白球,从中任意摸出一球。
(2)12个球中,有4个红球、4个白球、4个黑球,从中任意摸出一球。
(3)12个球中,有3个红球、3个白球、6个黑球,从中任意摸出一球。(答案不唯一)
C
6.小明和小亮做摸牌游戏,游戏规则为从形状、大小完全相同的印有2,3,4,5,4,6,7,9的8张扑克牌中任摸一张,摸到比5大的牌,小明赢;否则,小亮赢。
(1)求小明摸到4的概率。
(2)你认为这种游戏规则对他俩公平吗 请你说明理由。若不公平,请你修改游戏规则,使游戏对双方都公平。
7.一个不透明的盒子中装有3个白色的球、2个黄色的球、1个红色的球,这些球除颜色外形状和大小完全一样,小颖同学从盒子中任意摸出一个球。
(1)小颖同学摸出红球是　　　　　　,摸出黑球是　　　　　　(从“随机事件”“必然事件”“不可能事件”中选一个填入)。
(2)你认为小颖同学摸出的球最有可能的颜色是　　　　色。
解:(1)随机事件　不可能事件
(2)白　
解:(3)4(共17张PPT)
1.频率及频率的稳定性
(1)频率:在n次重复试验中,事件A发生了m次,则比值　 　称为事件A发生的频率;
(2)在大量重复的试验中,一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动,这个性质称为频率的　 　性。
2.概率的定义
我们把刻画一个事件A发生的可能性大小的　 　,称为这个事件A发生的概率,记作 P(A)。
第2课时　频率的稳定性
稳定
数值
3.用频率估计概率
一般地,在大量重复的试验中,我们可以用事件A发生的频率来估计事件A发生的概率;必然事件发生的概率为　 　,不可能事件发生的概率为　 　,随机事件A发生的概率P(A)是　 　之间的一个常数。
1
0
0与1
探究点　用频率估计概率
例题　 某种油菜籽在相同条件下的发芽试验的结果如下:
(1)上表中a=　　　　,b=　　　　。
(2)当n很大时,频率将会接近　　　　。
(3)这种油菜籽发芽的概率的估计值是多少 请简要说明理由。
(4)如果该种油菜籽发芽后的成秧率为90%,则在相同条件下用10 000粒该种油菜籽估计可得到油菜秧苗多少棵
解:(1)0.70　0.70　(2)0.70
(3)这种油菜籽发芽的概率的估计值是0.70。
理由如下:在相同条件下,当试验次数很大时,事件发生的频率可作为概率的近似值。
(4)10 000×0.70×90%=6 300(棵)。
所以在相同条件下用10 000粒该种油菜籽估计可得到油菜秧苗6 300棵。
某机构要考察当地一种树苗移植的成活率,对该地区这种树苗移植的成活情况进行了调查统计,并绘制了如图所示的统计图。
根据统计图提供的信息解决下列问题。
(1)这种树苗成活的频率逐渐稳定在 附近,成活的概率估计值为　　　　　　。
解:(1)0.9　0.9
(2)该地区已经移植这种树苗5万棵。
①估计这种树苗能成活多少万棵
②如果该地区计划成活18万棵这种树苗,那么还需移植这种树苗约多少万棵
解:(2)①估计这种树苗能成活
5×0.9=4.5(万棵)。
②18÷0.9-5=15(万棵)。
即该地区还需移植这种树苗约15万棵。
【综合实践】 如图所示,某学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地ABC,为求得它的面积,学习小组设计了如下的一个方案:
①在此封闭图形内画出一个半径为1 m的圆。
②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点),记录如下:
石子落在不规则图形内的次数(含外沿) 100 200 500 1 000 …
石子落在圆内(含圆上) 的次数m 32 63 153 305 …
石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数n 68 137 347 695 …
石子落在圆内 (含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …
【数学发现】
(1)若以小石子所落的有效区域为总数(即m+n),则表格中的数据x=　　　;随着投掷次数的增大,小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在　　　　　附近。(结果精确到0.1)
【结论应用】
(2)请你利用(1)中所得的频率值,估计整个封闭图形的面积是多少平方米。(结果保留π)
解:(1)0.305　0.3
1.在大量重复试验中,关于随机事件发生的频率和概率,下列说法正确的是( )
A.概率稳定于频率
B.频率与试验次数无关
C.在相同的条件下进行试验,如果试验次数相同,则各试验小组所得频率的值也会相同
D.随着试验次数的增加,可用频率的稳定值来估计概率
D
2.某批乒乓球的质量检验结果如下:
(1)填空:a=　　　,b=　　　,c=　　　。
(2)在图中画出优等品频率的折线统计图。
解:(1)0.95　0.955　0.95
(2)图略。
(3)从这批乒乓球中,任意抽取的一个乒乓球是优等品的概率的估计值是多少
解:(3)因为在同样条件下,做大量的重复试验,利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数,可以估计这个事件发生的概率,所以任意抽取的一个乒乓球是优等品的概率的估计值为0.95。
3.学习了概率的相关知识后,某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验,研究落地后针尖朝上的概率,记录的试验数据如下表:
累计抛 掷次数 100 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000
针尖朝 上频率 0.500 0.610 0.600 0.594 0.625 0.614 0.618
随着试验次数的增大,估计“针尖朝上”的概率接近于(精确到0.01)( )
A.0.60 B.0.61
C.0.62 D.0.63
C
4.一个不透明的袋子里有若干个小球,它们除了颜色外,其他都相同,甲同学从袋子里随机摸出一个球,记下颜色后放回袋子里,摇匀后再次随机摸出一个球,记下颜色……甲同学反复经过大量重复试验后,根据白球出现的频率绘制了如图所示的统计图,则下列说法正确的是( )
A.袋子中一定有三个白球
B.袋子中白球占小球总数的十分之三
C.再摸三次球,一定有一次是白球
D.再摸1 000次,摸出白球的次数会接近330次
D
5.【数学试验】
某数学学习小组在学习“用频率估计概率”的数学活动课上,做投掷骰子(质地均匀的正方体)试验,他们共做了100次试验,试验的结果如下:
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数/次 12 19 15 18 20 x
(1)求表格中x的值;
(2)计算“3点朝上”的频率。
解:(1)x=100-12-19-15-18-20=16。
【数学发现】
(3)该数学学习小组针对数学试验的结果提出结论:“根据试验及′用频率估计概率′的知识,这次试验中出现1点朝上的概率是12%。”你认为该数学学习小组的结论正确吗 并说明理由。
解:(3)该数学学习小组的结论不正确,因为1点朝上的频率为12%,不能说明1点朝上这一事件发生的概率就是12%,只有当试验的次数足够多时,该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近,才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率。
【结论应用】
(4)在一个不透明的盒子里,装有40个黑球和若干个白球,它们除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出一个球,记下颜色再把它放回盒子中,不断重复试验,统计结果发现,随着试验次数越来越多,摸到黑球的频率逐渐稳定在0.2左右。据此估计盒子中有多少个白球。
解:(4)摸到黑球的频率逐渐稳定在0.2左右,则总球数约为40÷0.2=200,则白球个数约为200-40=160。所以估计盒子中有160个白球。

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