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(共17张PPT)
1.全等三角形的判定——角边角
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,简写为“　 　”或“　 　”。
2.全等三角形的判定——角角边
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,简写为“　 　”或
“　 　”。
第6课时　角边角(ASA)与角角边(AAS)
角边角
ASA
角角边
AAS
探究点1　根据“ASA”说明三角形全等
例1　如图所示,在△ABC和△EDC中,∠ABC=∠EDC=90°,BC=DC。试说明:△ABC≌△EDC。
解:在△ABC和△EDC中,因为∠ABC=∠EDC=90°,BC=DC,∠C=∠C,
所以△ABC≌△EDC(ASA)。
1.(2025梅州期末)如图所示,已知∠A=∠D,∠1=∠2,那么要得到△ABC≌△DEF,还应给出的条件是( )
A.∠E=∠B B.ED=BC
C.AB=EF D.AF=CD
2.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,DN⊥AB于点D,DF=BC,过点N作NF∥BC交AB于点F。若BC=2,AD=1,则AF=　 　。
D
3
探究点2　根据“AAS”说明三角形全等
例2　如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE⊥CE于点E,BD⊥CE于点D。试说明:
△ACE≌△CBD。
解:因为AE⊥CE,BD⊥CE,
所以∠AEC=∠BDC=90°。
因为∠ACB=90°,
所以∠CAE=90°-∠ACD=∠DCB。
又因为AC=BC,
所以△ACE≌△CBD(AAS)。
3.如图所示,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,若AB=6,CF=4,则BD的长是( )
A.1.5 B.2
C.2.5 D.3
B
探究点3　已知两角及夹边,用尺规作三角形
例3　已知:∠α,∠β,线段c(如图所示)。
求作:△ABC,使∠A=∠α,∠B=∠β,AB=2c(要求:用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)。
解:如图所示,△ABC即为所求作的三角形。
4.已知:∠α,∠β和线段a,如图所示。
求作:△ABC,使∠A=∠α,∠B=2∠β,AB=a。要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,标明字母。
解:如图所示,△ABC即为所求作的三角形。
1.小轩用如图所示的方法测量小河的宽度AB(AB⊥BC)。他利用适当的工具,使BO=OC,
CD⊥BC,点A,O,D在同一直线上,这样就能保证△ABO≌△DCO,从而测量CD的长度可得小河的宽度AB。在这个问题中,可作为判定△ABO≌△DCO的依据的是( )
A.SSS B.AAS
C.ASA D.SSA
C
2.(2024汕头月考)如图所示,在△ABC中,点D 在边BC上,点E在边AB上,AE=BE,AF∥BC,AF交DE的延长线于点F,若AF=24,BD=3CD,则BC的长为　 　。
32
3.如图所示,点E在△ABC的边AC上,AE=BC,BC∥AD,∠D=∠BAC。试说明:AB=DE。
解:因为BC∥AD,
所以∠C=∠DAE。
在△ABC和△DEA中,因为∠BAC=∠D,∠C=∠DAE,BC=EA,
所以△ABC≌△DEA(AAS)。
所以AB=DE。
4.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E为对角线BD上一点,且∠A=∠BEC,AD=BE。试说明:△ABD≌△ECB。
1.(2024深圳期末)如图所示,已知AB=AD,∠BAD=∠CAE,添加下列条件不一定能使得
△ABC≌△ADE的是( )
A.∠B=∠D B.∠C=∠E
C.AC=AE D.BC=DE
D
B
3.如图所示,AC∥DF,点B为线段AC上一点,连接BF交DC于点H,过点A作 AE∥BF分别交DC,
DF于点G,E,DG=CH。试说明△DFH≌△CAG。
解:因为AC∥DF,AE∥BF,所以∠C=∠D,∠A=∠AED,∠AED=∠F。
所以∠A=∠F。
因为DG=CH,
所以DG+GH=CH+GH,
即DH=CG。
在△DFH与△CAG中,
因为∠F=∠A,∠D=∠C,DH=CG,
所以△DFH≌△CAG(AAS)。
4.如图所示,已知AE∥CF,AB=CD,∠ADF=∠CBE。试说明△ABE≌△CDA。
解:因为AE∥CF,
所以∠BAE=∠C。
因为∠ADF=∠CBE,
所以180°-∠ADF=180°-∠CBE,
即∠ADC=∠EBA。
在△ABE和△CDA中,因为∠BAE=∠C,AB=CD,∠EBA=∠ADC,
所以△ABE≌△CDA(ASA)。
5.如图所示,已知BP是∠ABC的平分线,AP⊥BP,若S△BPC=12cm2,则△ABC的面积等于( )
A.24cm2 B.30cm2
C.36cm2 D.48cm2
6.如图所示,在△ABC中,CD为AB边上的中线,过点A作CD的垂线交CD的延长线于点E,过点B作BF⊥CD于点F。若△ACE的面积为12,△ADE的面积为3,则△BCF的面积为　 　。
A
6
7.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=7 cm,BC=3 cm,CD为AB边上的高,点E从点B出发,在直线BC上以2 cm/s的速度移动,过点E作BC的垂线交直线CD于点F。当点E运动　 s
时,CF=AB。
2或5(共13张PPT)
单元综合回顾
1.(2025连云港中考)下列长度(单位:cm)的3根小木棒能搭成三角形的是( )
A.1,2,3 B.2,3,4
C.3,5,8 D.4,5,10
2.(2025海南中考)已知三角形三条边的长分别为3,5,x,则x的值可能是( )
A.2 B.5 C.8 D.11
B
三角形的基本知识
B
3.(2024凉山州中考)如图所示,在△ABC中,∠BCD=30°,∠ACB=80°,CD是边AB上的高,AE是∠CAB的平分线,则∠AEB的度数是　 　。
100°
4.如图所示,点G为△ABC的重心,D,E,F分别为BC,CA,AB的中点,具有性质AG∶GD=BG∶GE=
CG∶GF=2∶1。已知△AFG的面积为3,则△ABC的面积为　 　。
5.一个等腰三角形的边长分别是4 cm和 7 cm,则它的周长是　 　。
18
15 cm或18 cm
6.已知△ABC的三边长是a,b,c。
(1)若a=4,b=6,且三角形的周长是小于18的偶数。求c边的长;
(2)化简|a+b-c|+|c-a-b|。
解:(1)因为a,b,c是△ABC的三边长,a=4,b=6,所以2因为三角形的周长是小于18的偶数,
所以2所以c边的长为4或6。
(2)因为a,b,c是△ABC的三边长,
所以a+b>c。所以|a+b-c|+|c-a-b|=a+b-c-c+a+b=2a+2b-2c。
7.如图所示,在△ABC中,D是AB上一点,CF∥AB,D,E,F三点共线,请利用三角形全等的知识,添加一个条件　 　,使得AE=CE(只添一种情况即可)。
AD=CF(答案不唯一)
全等三角形的性质与判定
8.(2024成都中考)如图所示,△ABC≌△CDE,若∠D=35°,∠ACB=45°,则∠DCE的度数为
　 　。
100°
9.(2025广州中考)如图所示,BA=BE,∠1=∠2,BC=BD。试说明:△ABC≌△EBD。
10.如图所示,已知∠α和线段a,用尺规作一个三角形,使其一个内角等于∠α,另一个内角等于2∠α,且这两内角的夹边等于a。
解:如图所示,△ABC即为所求作的三角形。
用尺规作三角形
11.(2025青海中考)工人师傅常用角尺平分一个任意角。做法如下:如图所示,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合,即CM=CN,过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线,这种做法的依据是( )
A.AAS B.SAS
C.SSS D.ASA
C
全等三角形的应用
12.如图所示,小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千,小丽坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1.2 m高的B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她,若妈妈与爸爸到OA的水平距离BF,CG分别为1.8 m和2.2 m,∠BOC=90°。
(1)△CGO与△OFB全等吗 请说明理由。
解:(1)△OCG与△BOF全等。理由如下:
由题意,可知∠CGO=∠BFO=90°,OB=OC。
因为∠BOC=90°,所以∠COG+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90°。所以∠COG=∠OBF。
在△CGO与△OFB中,因为∠CGO=∠OFB,
∠COG=∠OBF,OC=OB,
所以△CGO≌△OFB(AAS)。
(2)爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的
解:(2)因为△CGO≌△OFB,所以CG=OF,OG=BF。
因为BF,CG分别为1.8 m和2.2 m,
所以OF=2.2 m,OG=1.8 m。所以FG=OF-OG=CG-BF=2.2-1.8=0.4(m)。
因为妈妈在距地面1.2 m高的B处,
所以G处的高度为1.2+0.4=1.6(m)。
答:爸爸是在距离地面1.6 m高的地方接住小丽的。(共16张PPT)
1.全等三角形的判定——边边边
三边分别相等的两个三角形全等,简写为“　 　”或“　 　”。
2.三角形的稳定性
三角形具有　 　。
第5课时　边边边(SSS)
边边边
SSS
稳定性
探究点1　根据“SSS”说明三角形全等
例1　如图所示,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DF,AC=DE,BE=CF。试说明:AB∥DF。
解:因为BE=CF,
所以BE+EC=CF+EC,即BC=FE。
在△ABC和△DFE中,
因为AB=DF,AC=DE,BC=FE,
所以△ABC≌△DFE(SSS)。
所以∠B=∠F。
所以AB∥DF。
1.如图所示,已知AD=CE,BD=BE,点B是AC的中点,∠ABD=60°。求∠DBE的度数。
解:因为点B是AC的中点,
所以AB=CB。
在△ABD和△CBE中,因为AD=CE,
BD=BE,AB=CB,
所以△ABD≌△CBE(SSS)。
所以∠ABD=∠CBE=60°。
所以∠DBE=180°-∠ABD-∠CBE=180°-60°-60°=60°。
探究点2　已知三角形的三边,用尺规作三角形
例2　已知线段a,b和m,求作△ABC,使 BC=2a,AB=b,BC边上的中线AD=m(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)。
解:如图所示,△ABC即为所求作的三角形。
2.已知:线段a,b,如图所示。
求作:△ABC,使AB=a,BC=b,AC=2a(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)。
解:如图所示,△ABC即为所求。
探究点3　三角形的稳定性
例3　如图所示,有一个人用四根木条钉了一个四边形的模具,两根木条连接处钉一颗钉子,但他发现这个模具老是走形,为什么 如果想把这个模具固定,再给你一根木条,你怎么把它固定下来 画出示意图,并说出理由。
解:因为多边形ABCD是四边形,四边形具有不稳定性,所以这个模具老是走形。如图所示,在B,D处各钉一颗钉子,用木条把B,D连接,可以把它固定下来,理由是三角形具有稳定性。
3.(2025中山期末)斜拉式大桥多采用三角形结构,使其不易变形,这种做法的依据是( )
A.三角形两边之和大于第三边
B.垂线段最短
C.三角形两边之差小于第三边
D.三角形的稳定性
D
1.如图所示,在△ABC中,点D在BC上,连接AD,AB=AC,BD=CD,则∠ADB的度数为( )
A.89° B.90°
C.91° D.92°
2.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是△ABC内一点,且DB=DC,E是边AC上一点,连接AD,DE。若AB∥DE,∠DAE=20°,则∠ADE的度数为　 　。
B
20°
3.如图所示,平面上有△ACD与△BCE,其中AD与BE相交于点P,若AC=BC,AD=BE,CD=CE,
∠ACE=55°,∠BCD=155°,则∠ACB的度数为　 　。
50°
4.如图所示,已知线段a,b,c,求作△ABC,使BC=a,AC=b,AB=c,下面作法中:①分别以B,C为圆心,c,b的长为半径作弧,两弧交于点A;②作线段BC=a;③连接AB,AC,△ABC为所求作的三角形。正确的顺序应为　 　(填序号)。
②①③
1.下列图形中,具有稳定性的是( )
2.如图所示,AB=AD,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若∠EAC=50°,则∠BAE的度数为( )
A.60°　 B.70°　
C.80°　 D.85°
B
C
3.如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,连接AC,BD相交于点O,下列说法不正确的是
( )
A.∠ACB=∠ACD
B.△ABO≌△ADO
C.BO=CD
D.AC⊥BD
C
5
5.如图所示,点D,A,E,B在同一直线上,EF=BC,DF=AC,DA=EB。试说明:△DEF≌△ABC。
6.如图所示,已知AD=BC,AC=BD。探究:∠D与∠C是否相等 请说明理由。
解:相等。理由如下:
连接AB(图略)。
在△ADB和△BCA中,
因为AD=BC,DB=CA,AB=BA,
所以△ADB≌△BCA(SSS)。
所以∠D=∠C。
7.如图所示,点F,C在BE上,AC=DF,BF=EC,AB=DE,AC与DF相交于点G,则与2∠DFE相等的是( )
A.∠A+∠D B.3∠B
C.180°-∠FGC D.∠ACE+∠B
8.如图所示,已知AB=AC,AD=AE,BE=CD,若∠1+∠2+∠3=96°,则∠3的度数为　 　。
C
48°
9.如图(1)所示,已知点P在直线l外,利用如下方法也可以作出过点P与直线l平行的直线:在直线l上任取一点A,以点A为圆心,以AP的长为半径作弧,交直线l于点B;以点P为圆心,以PA的长为半径作弧;以点A为圆心,以PB的长为半径作弧,交前弧于点C;作直线PC,连接PA,则PC∥l。
(1)如何说明这种作法的道理
解:(1)连接PB,AC(图略),由作图,可得AB=AP=PC,AC=PB,
所以△ABP≌△PAC(SSS)。
所以∠PAB=∠APC。所以PC∥l。
(2)如图(2)所示,连接PB,AC,若AB=4,PB=2,求△ACP的周长。
解:(2)由作图可得AB=AP=PC=4,AC=PB=2,
所以△ACP的周长为PA+PC+AC=4+4+2=10。(共17张PPT)
1.三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的　 　叫作三角形的高线,简称三角形的高。
如图所示的△ABC中,AF⊥BC,则线段AF是△ABC的BC边上的高。
2.三角形的三条高所在的　 　相交于一点。
第3课时　三角形的高线、中线和角平分线
线段
直线
3.三角形的中线
(1)在三角形中,连接一个顶点与它对边　 　的线段,叫作三角形的中线;
(2)如图所示的△ABC中,线段AE是边BC上的中线,则BE=　 　。
4.三角形的重心
三角形的三条中线交于一点,这个点称为三角形的　 　。
中点
CE
重心
5.三角形的角平分线
(1)在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的　 　。
如图所示,线段AD是△ABC的一条角平分线,则 ∠1=　 　;
(2)三角形的三条角平分线交于一点。
角平分线
∠2
探究点1　三角形的高线
例1　如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,EC⊥BC交AB于点E,CF⊥AB,垂足为F,BG⊥
AC,垂足为G。
(1)分别写出△ABC各条边上的高。
(2)CF是哪几个三角形的高
解:(1)由题图知,在△ABC中,AB边上的高是CF,BC边上的高是AD,AC边上的高是BG。
(2)CF是△BCF,△BCE,△BCA,△FCE,△FCA,△ECA的高。
1.如图所示,在△ABC中,∠BAC是钝角,完成下列画图,并用适当的符号在图中表示。
(1)画出AC边上的高;
(2)画出BC边上的高。
解:画图如图所示。
(1)线段BE为AC边上的高。
(2)线段AD为BC边上的高。
探究点2　三角形的中线
例2　如图所示,在△ABC中,点E是△ABC的重心,连接AE并延长,交BC于点D。已知AB=6,
AC=7,△ABD的周长为16,求△ACD的周长。
解:因为点E是△ABC的重心,且点E在AD上,
所以AD为BC边上的中线。
所以BD=CD。
因为△ABD的周长为16,AB=6,
所以AD+BD=10,即AD+CD=10,
所以AD+CD+AC=10+7=17,
即△ACD的周长为17。
2.如图所示,AD是△ABC的中线,DE是△ADB的中线。如果S△ADB=12,求△ABC的面积。
解:S△ABC=S△ABD+S△ACD
=2S△ABD
=2×12
=24。
探究点3　三角形的角平分线
例3　如图所示,AD平分∠BAC,其中∠B=35°,∠ADC=82°,求∠BAC,∠C的度数。
解:因为∠ADC=82°,
所以∠ADB=180°-82°=98°,
所以∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-35°-98°=47°。
因为AD平分∠BAC,
所以∠BAC=2∠BAD=2×47°=94°,
所以∠C=180°-35°-94°=51°。
3.如图所示,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线BD,CE交于点O。若∠A=80°,则∠BOC的度数为　 　。
130°
1.(2025揭阳期末)如图所示,CD,CE,CF分别是△ABC的高、角平分线、中线,则下列各式中错误的是( )
A.BA=2BF
C
2.(2024 汕头月考)如图所示,在△ABC中,AD是BC 边上的中线,CE是AB边上的高,若AB=4,S△ADC=5,则CE的长度为( )
A.5 B.6
C.7 D.8
3.(2025淄博月考)如图所示,在△ABC中,AC=2 cm,BC=3 cm,AD,BE为△ABC的两条高,则AD∶BE=　 　。
A
2∶3
1.三角形的重心在( )
A.三角形的内部
B.三角形的外部
C.三角形的边上
D.要根据三角形的形状确定
A
2.(2025深圳期中改编)下列四个图形中,线段BE是△ABC的高的是( )
3.王伯伯要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子,则图中他所作的线段AD应该是△ABC的( )
A.角平分线 B.中线
C.高 D.以上都不是
D
B
4.如图所示,在△ABC中,D,E分别为BC,AD的中点,且△ABC的面积为20 cm2,则阴影部分的面积为( )
A.5 cm2 B.6 cm2
C.8 cm2 D.10 cm2
5.如图所示,在△ABC中,BD=CD,∠ABE=∠CBE,BE交AD于点F。
(1)　 　是△ABC的角平分线;
(2)　 　是△BCE的中线;
(3)　 　是△ABD的角平分线。
A
BE
DE
BF
6.如图所示,AD是△ABC的中线,点E是AD上一点,连接BE,CE,若△ABC的面积是8,则阴影部分的面积为( )
A.2 B.4
C.6 D.8
B
7.如图所示,在△ABC中,AD是高,AE,BF是角平分线,它们相交于点O,∠CAB=50°,∠C=
60°,求∠DAE和∠BOA的度数。
解:因为∠CAB=50°,∠C=60°,
所以∠ABC=180°-50°-60°=70°。
又因为AD是高,所以∠ADC=90°。
所以∠DAC=180°-90°-∠C=30°。
因为AE,BF是角平分线,
所以∠CBF=∠ABF=35°,∠EAF=∠BAO=25°。
所以∠DAE=∠DAC-∠EAF=5°,∠BOA=180°-∠ABO-∠BAO=180°-35°-25°=120°。
8.[应用意识]张大爷准备把如图所示的一块三角形的田地平均分给四个儿子,如果要求田地的形状仍然是三角形,请你帮助张大爷提出一种平分的方案。
解:答案不唯一。如四等分一条边构成的四个三角形,如图①所示;
由一条中线以及中线上的中线分割成的四个三角形,如图②所示;
由三边的中点分割成的四个三角形,如图③所示。(共6张PPT)
类型解读:平移、旋转、翻折(对称)是几何图形的三大几何变换,根据三大几何变换的特征:图形的大小不变(变换前后的图形全等),只是图形的位置发生变换,由此得到等角、等线段,这是解决问题的突破口。
专题聚焦(三)【加强】三角形全等的基本模型
类型1　平移模型
1.如图所示,DF∥AC,DF=AC,DA=EB。试说明∠F=∠C。
解:因为DA=BE,
所以DA+AE=BE+AE。
所以DE=AB。
因为DF∥AC,所以∠D=∠CAB。
在△DEF和△ABC中,因为DE=AB,∠D=∠CAB,DF=AC,
所以△DEF≌△ABC(SAS)。
所以∠F=∠C。
类型2　旋转模型
2.如图所示,在△ABC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕A点旋转到AF的位置,使得
∠CAF=∠BAE,连接EF,EF与AC交于点G。
(1)试说明:EF=BC;
解:(1)因为∠CAF=∠BAE,
所以∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE,
即∠EAF=∠BAC。
又因为AE=AB,AF=AC,
所以△EAF≌△BAC。所以EF=BC。
(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数。
解:(2)因为△EAF≌△BAC,
所以∠AEF=∠ABC=65°。
因为AB=AE,
所以∠AEB=∠ABC=65°。
所以∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF=50°。
所以∠CGE=180°-∠FEC-∠ACB=102°。
所以∠FGC=180°-∠CGE=78°。
类型3　翻折、对称模型
3.如图所示,在长方形纸片ABCD中,P为边AD上一点,将△ABP沿BP翻折至△EBP,PE与CD相交于点O,且OE=OD,BE与CD相交于点G。试说明AP=DG。
解:由题意,知∠D=∠A=∠C=90°。
由折叠,可得△ABP≌△EBP,
所以EP=AP,∠E=∠A=90°。
在△ODP和△OEG中,因为∠D=∠E,OD=OE,∠DOP=∠EOG,
所以△ODP≌△OEG(ASA)。
所以OP=OG。
所以OD+OG=OE+OP,即DG=EP。
所以AP=DG。
类型4　一线三等角模型
4.如图所示,在△ABC中,AC=BC,D,E分别为AB,BC上一点,∠CDE=∠A=∠B。若BC=BD,CD与DE相等吗
解:因为AC=BC,BC=BD,
所以AC=BD。
因为∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDE+∠BDE,∠CDE=∠A,
所以∠ACD=∠BDE。
在△ACD与△BDE中,因为∠A=∠B,AC=BD,∠ACD=∠BDE,
所以△ACD≌△BDE(ASA)。
所以CD=DE。(共15张PPT)
利用三角形全等测距离的依据是全等三角形　 　。
第8课时　利用三角形全等测距离
对应边相等
探究点1　根据“SAS”构造全等三角形
例1　如图所示,为了方便游客的观赏,需要在人工湖两侧A,B两点之间修建一条观光步道,但无法直接量出A,B两点之间的距离,现有足够长的米尺,请你利用所学数学知识,设计一种方案,大致测出A,B两点之间的距离,并说明理由。
解:如图所示,在点A,B一侧的池塘边的平地上取一点P,连接AP并延长到点C,使 PC=PA,连接BP并延长到点D,使PD=PB,连接CD。
在△PAB和△PCD中,因为PA=PC,∠APB=∠CPD,PB=PD,
所以△PAB≌△PCD(SAS)。所以AB=CD。
故量取CD的长度,即为A,B两点之间的距离。
1.如图所示,亮亮想测量某湖A,B两点之间的距离,他选取了可以直接到达点A,B的一点C,连接CA,CB,并作BD∥AC,截取BD=AC,连接CD,他说,根据三角形全等的判定定理,可得
△ABC≌△DCB,所以AB=CD,他用到的三角形全等的判定定理是( )
A.SAS B.AAS
C.SSS D.ASA
A
探究点2　根据“ASA”或“AAS”构造全等三角形
例2　如图所示,A,B两建筑物位于河的两岸,需想办法测得它们之间的距离。请把你的设计画在图上并说明理由。
解:如图所示,从B点出发沿河岸画一条射线BF,在BF上截取BC=CD,过点D作DE∥AB,使E,C,A在同一直线上,则DE的长就是A,B之间的距离。理由如下:
因为DE∥AB,
所以∠CAB=∠CED。
在△ABC和△EDC中,因为∠CAB=∠CED,∠ACB=∠ECD,BC=DC,所以△ABC≌△EDC(AAS)。所以AB=ED。
所以DE的长就是A,B之间的距离。
2.要得知某一池塘两端A,B的距离,发现其无法直接测量,两同学提供了如下间接测量方案。
方案Ⅰ:如图(1)所示,先过点B作BF⊥AB,再在BF上取C,D两点,使BC=CD,接着过点D作BD的垂线DE,交AC的延长线于点E,则测量DE的长即可。
方案Ⅱ:如图(2)所示,过点B作BD⊥AB,再由点D观测,用测角仪在AB的延长线上取一点C,使∠BDC=∠BDA,则测量BC的长即可。
对于方案Ⅰ和Ⅱ,下列说法正确的是( )
A.只有方案Ⅰ可行
B.只有方案Ⅱ可行
C.方案Ⅰ和Ⅱ都可行
D.方案Ⅰ和Ⅱ都不可行
C
1.一天课间,顽皮的小明同学拿着老师的等腰三角尺玩,不小心将三角尺掉到两根柱子之间,如图所示,这一幕恰巧被数学老师看见了,于是有了下面这道题。如果每块砖的厚度a=10 cm,那么DE的长为( )
A.50 cm B.60 cm
C.70 cm D.80 cm
C
2.如图所示,小明与小红玩跷跷板游戏,如果跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)至地面的距离是50 cm,当小红从水平位置CD下降30 cm时,小明离地面的高度是　 　cm。
80
1.如图所示,小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M,N的距离。如果OP=ON,OQ=OM,
PQ=30 m,那么池塘两端M,N的距离为　 　。
30 m
2.小明利用一根长3 m的竿子来测量路灯的高度AB。他的方法如下:如图所示,在路灯前选一点P,使BP=3 m,并测得∠BPA=70°,然后把竖直的竿子CD(CD=3 m)在BP的延长线上左右移动,使∠CPD=20°,此时测得BD=11.2 m。请根据这些数据,计算出路灯的高度AB。
3.沛沛沿一段笔直的人行道行走,在由C走到D的过程中,通过隔离带的空隙P,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语,具体信息如下:如图所示,AB∥PM∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于P,PD⊥CD,垂足为D。已知CD=16 m。根据上述信息,标语AB的长度为　 　m。
16
4.如图所示,AD是一段斜坡,AB是水平线,现为了测斜坡上一点D的竖直高度DB,欢欢在D处立上一竹竿CD,并保证CD⊥AD,然后在竿顶C处垂下一根绳CE,与斜坡的交点为点E,他调整好绳子CE的长度,使得CE=AD,此时他测得DE=2 m,求DB的长度。(共22张PPT)
第四章 　三角形
1.与三角形有关的概念
由不在同一直线上的三条线段　 　所组成的图形叫作三角形。用符号“△”表示。
如图所示的△ABC,边BC可以用　 　表示,边AC,边AB分别用　 　,　 　表示。
第1课时　三角形的分类及内角和
首尾顺次相接
a
b
c
2.三角形的内角和
三角形三个内角的和等于　 　。
3.三角形按角分类
三角形按角分类为锐角三角形、直角三角形和　 　。
如图所示,锐角三角形:三个内角都是　 　;
直角三角形:有一个内角是　 　;钝角三角形:有一个内角是　 　。
180°
钝角三角形
锐角
直角
钝角
4.直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角　 　。
互余
探究点1　与三角形有关的概念
例1　如图所示,在△ABC中,D,E分别是BC,AC上的点,连接BE,AD交于点F。
(1)图中共有多少个以AB为边的三角形 把它们表示出来。
(2)除△ABF外,以点F为顶点的三角形还有哪些
解:(1)以AB为边的三角形有4个:
△ABF,△ABD,△ABE,△ABC。
(2)除△ABF外,以点F为顶点的三角形还有△BDF,△AEF。
1.如图所示,图中有　 　个三角形;其中以AB为边的三角形有　 ;以∠ACB为内角的三角形有　 ;在△BOC中,OC的对角是　 　,∠OCB的对边是　 　。
8
　△ABO,△ABC,△ABD
△BOC,△ABC
∠OBC
OB
2.(开放性题)如图所示,写出一个以∠B为角的三角形:　 　。
△ABD(答案不唯一)
探究点2　三角形的内角和及按角分类
3.在△ABC中,∠A=80°,∠B=4∠C,则∠C的度数为　 　。
20°
探究点3　直角三角形
例3　如图所示,在△ABC中,∠A=90°,点D在AC边上,DE∥BC,若∠ADE=150°,求∠B的度数。
解:因为∠ADE=150°,
所以∠EDC=30°。
因为DE∥BC,
所以∠C=∠EDC=30°。
又因为∠A=90°,
所以∠B=90°-∠C=60°。
4.(2025深圳期中)把一个直尺与一个三角尺按如图所示放置,若∠1=40°,则∠2的度数为( )
A.140° B.130°
C.50° D.120°
B
1.下列选项是钝角三角形的是( )
2.如图所示,有一个直角三角形纸板破损了一个角,如果把它补成完整的三角形纸板,需要补的角的度数是( )
A.45° B.35°
C.55° D.25°
B
B
3.在△ABC中,∠BAC=120°,∠C=40°,点E在边BC上,连接AE,若△AEC是直角三角形,则∠BAE的大小为　 　。
4.如图所示,已知点D为△ABC的边BC延长线上一点,DF⊥AB于点F,交AC于点E,∠A=55°,
∠D=30°,求∠ACB的度数。
解:因为DF⊥AB于点F,
所以∠BFD=90°。
所以∠B=90°-∠D=90°-30°=60°。
在△ABC中,∠A=55°,∠B=60°,
所以∠ACB=180°-∠A-∠B
=180°-55°-60°
=65°。
30°或70°
1.在一个三角形中,如果最小的一个内角大于45°,那么这个三角形是　　　　　三角形
( )
A.锐角 B.直角
C.钝角 D.无法确定
2.在△ABC中,若∠A+∠B=4∠C,则∠C度数为( )
A.32° B.34°
C.36° D.38°
A
C
3.在△ABC中,∠A=68°,∠B=22°,则△ABC是　 　三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”)。
4.如图所示,一个直角三角形纸片ABC,剪去直角后,得到一个四边形BCED,则∠1+∠2=
　 　。
直角
270°
5.如图所示,直线MN∥EF,Rt△ABC 的直角顶点C在直线MN上,顶点B在直线EF上,AB交MN于点D,∠1=50°,∠2=60°,求∠A的度数。
解:因为MN∥EF,∠1=50°,∠2=60°,
所以∠1+∠ABC+∠2=180°。
所以∠ABC=180°-∠1-∠2
=180°-50°-60°
=70°。
在Rt△ABC中,∠ABC=70°,∠ACB=90°,
所以∠A=90°-∠ABC=90°-70°=20°。
6.如图所示,BD是∠ABC的平分线,AD⊥BD,垂足为D,∠DAC=20°,∠C=38°,则∠BAD等于
( )
A.50° B.58°
C.60° D.62°
B
7.如图所示,在△ABC中,∠ACB是钝角,让点C在射线BD上向右移动,则( )
A.△ABC将先变成直角三角形,然后再变成锐角三角形,而不会再是钝角三角形
B.△ABC将变成锐角三角形,而不会再是钝角三角形
C.△ABC将先变成直角三角形,然后再变成锐角三角形,接着又由锐角三角形变为钝角三角形
D.△ABC先由钝角三角形变为直角三角形,再变为锐角三角形,接着又变为直角三角形,然后再次变为钝角三角形
D
8.[综合与探究] 【问题情景】 如图所示,有一块直角三角尺PMN放置在△ABC上(P点在△ABC内),三角板PMN的两条直角边PM,PN恰好分别经过点B和点C。探究∠ABP与∠ACP之间的数量关系。
(1)【特殊探究】 ∠PBC+∠PCB=　　°,
若∠A=50°,则∠ABP+∠ACP=　　°;
解:(1)90　40
(2)【类比探究】 请类比(1),探究∠ABP+∠ACP与∠A的关系。
解:(2)根据题意,得∠BPC=90°。
因为∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°,
所以∠PBC+∠PCB=90°。
因为(∠PBC+∠PCB)+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°,
所以90°+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°。
所以∠ABP+∠ACP+∠A=90°。
所以∠ABP+∠ACP=90°-∠A。
9.在小学我们曾剪下三角形的两个内角,将它们与第三个内角拼在一起,发现三个内角恰好拼成一个平角,得出了如下结论:三角形的内角和等于180°。下面是推导该结论添加辅助线的两种方法,请你选择一种方法完成推导过程。
方法一:如图所示,过点A作DE∥BC。 方法二:如图所示,过点C作CD∥AB。
解:三角形的内角和为180°。
方法二　过点C作CD∥AB,
则∠A=∠ACD,∠B+∠BCD=180°。
所以∠B+∠ACB+∠A=180°,
即三角形的内角和为180°。(共18张PPT)
1.三角形按边分类
三角形按边分为不等边三角形和　 　三角形。
2.等腰三角形、等边三角形的概念
有两边　 　的三角形叫作等腰三角形,三边　 　的三角形叫作等边三角形。
3.三角形的三边关系
三角形的任意两边之和　 　第三边,任意两边之差　 　第三边。
第2课时　三角形的三边关系
等腰
相等
都相等
大于
小于
探究点1　三角形按边分类
例1　一个三角形的周长为28 cm,三边长度之比为3∶2∶2,求这个三角形三边长,按边分类,判断这个三角形的形状。
解:因为一个三角形的周长为28 cm,三边长度之比为3∶2∶2,
所以三边长分别为8 cm,8 cm,12 cm。
所以这个三角形是等腰三角形。
有两边相等的三角形是等腰三角形,三边相等的三角形是等边三角形。注意:等边三角形是特殊的等腰三角形。
1.如图所示的是三角形按常见关系进行分类的图,则关于P,Q区域的说法正确的是( )
A.P是等边三角形,Q是等腰三角形
B.P是等腰三角形,Q是等边三角形
C.P是直角三角形,Q是锐角三角形
D.P是钝角三角形,Q是等腰三角形
2.已知等腰三角形的一腰长为6,底边长为4,则这个等腰三角形的周长为( )
A.13 B.14 C.15 D.16
B
D
探究点2　三角形的三边关系
例2　小亮想用长度均为奇数的三根木棒搭一个三角形,其中两根木棒的长度分别为9 cm和3 cm,则第三根木棒的长度为多少
解:设第三根木棒的长度为x cm。
根据三角形的三边关系,得
9-3又因为第三根木棒的长度为奇数,
所以x=7或9或11。
所以第三根木棒的长度为7 cm或9 cm或11 cm。
3.已知a,b,c是△ABC的三边长,且a=2,b=5。
(1)求第三边长c的取值范围;
(2)若三角形的周长是奇数,求c的值;
(3)若第三边长c为奇数,求c的值,并判断此时△ABC的形状。
解:(1)根据三角形的三边关系,得5-2所以第三边长c的取值范围是3(2)因为三角形的周长是奇数,a+b=7,所以c=4或6。
(3)因为第三边长c为奇数,所以c=5。
因为a=2,b=5,
所以△ABC为等腰三角形。
1.△ABC的三边长a,b,c满足关系式(a-b)(b-c)(c-a)=0,则这个三角形一定是( )
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.等腰直角三角形
D.无法确定
A
2.(2024 普宁一模)若使用如图所示的①②两根直铁丝做成一个三角形框架,需要将其中一根铁丝折成两段,则可以把铁丝分为两段的是( )
① ②
A.①②都可以 B.①②都不可以
C.只有①可以 D.只有②可以
3.△ABC的三边分别是a,b,c,化简|a-b+c|+|a-c-b|-|b-c-a|的结果为　 　。
C
b+c-a
4.用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形。
(1)如果底边长是腰长的一半,那么各边的长是多少
(2)如果有一边长是6 cm,那么另两边的长是多少
解:(1)设底边长为x cm,则腰长为2x cm,
则2x+2x+x=20,解得x=4。所以2x=8。
故各边的长是8 cm,8 cm,4 cm。
(2)①当6 cm为底时,腰长为7 cm,另两边的长为7 cm,7 cm;
②当6 cm为腰时,底边长为8 cm,另两边的长为6 cm,8 cm。
1.下列两种图示均表示三角形的分类,则正确的是( )
A.①对,②不对 B.②对,①不对
C.①,②都不对 D.①,②都对
B
2.(2025佛山月考)三角形三条边长度之间存在一定的关系,以下列长度的各组线段为边,能组成三角形的是( )
A.2,3,5 B.5,6,10
C.1,1,3 D.3,4,9
3.(2025深圳期中改编)如图所示,为估计池塘岸边A,B两点的距离,小方在池塘的一侧选取一点O,测得OA=15 m,OB=10 m,则A,B间的距离不可能是( )
A.5 m B.10 m
C.15 m D.20 m
B
A
4.如图所示,在下面的四个盒子中,每个盒子里都有两根小棒,把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段,这两段小棒再与另一根小棒首尾相接,能够围成一个三角形的是( )
5.两根木棒分别长4 cm,6 cm,第三根木棒与这两根木棒首尾顺次相接构成三角形。已知第三根木棒的长为奇数(单位:cm),则一共可以构成　 　个不同的三角形。
A
4
6.(2025江门月考)已知三角形的三条边长分别为3,8和x。
(1)x的取值范围为　　　　　;
(2)当该三角形为等腰三角形时,求它的周长。
解:(1)5(2)当x=3时,3+3<8,不能组成三角形;
当x=8时,周长为3+8+8=19。
7.平面内,将长分别为1,1,3,x(x为整数)的线段,首尾顺次相接组成凸四边形(如图所示),x可能是( )
A.1 B.3
C.5 D.7
B
8.等腰三角形中有两边的比为3∶5,第三边长为15 cm,求这个等腰三角形的周长。
解:当腰长为15 cm时,
若腰与底之比为3∶5,则底边长为25 cm,
周长为15+15+25=55(cm);
若腰与底之比为5∶3,则底边长为9 cm,
周长为15+15+9=39(cm)。
当底边长为15 cm时,
若腰与底之比为3∶5,则腰长为9 cm,
周长为9+9+15=33(cm);
若腰与底之比为5∶3,则腰长为25 cm,
周长为25+25+15=65(cm)。
所以可能的周长为55 cm或39 cm或33 cm或65 cm。
9.已知a,b,c是△ABC的三条边的长,b,c满足(b-2)2+|c-3|=0,a为方程|a-4|=2的解,求出该三角形的周长,并判断△ABC的形状。
解:因为(b-2)2+|c-3|=0,
所以b-2=0,c-3=0,解得b=2,c=3。
因为a为方程|a-4|=2的解,
所以a-4=±2,解得a=6或a=2。
因为a,b,c为△ABC的三边的长,b+c<6,
所以a=6不符合题意,舍去。所以a=2。
所以△ABC的周长为2+2+3=7,
△ABC是等腰三角形。
10.小刚准备用一段长50 m的篱笆围成一个三角形形状的场地,用于饲养鸡,已知第一条边长为 x m,由于条件限制第二条边长只能比第一条边长的2倍少2 m。
(1)用含x的式子表示第三条边长。
解:(1)由题意,得第二条边长为(2x-2)m,
所以第三条边长为
50-x-(2x-2)=(52-3x)m。
(2)第一条边长能否为5 m 为什么
(3)能否围成等腰三角形场地 若能,请求出x的值;若不能,请说明理由。
解:(2)不能。原因:当x=5时,三边长分别为5 m,8 m,37 m,
由于5+8<37,所以不能构成三角形,
即第一条边长不能为5 m。
(3)能。当x=2x-2时,x=2,三边为2 m,2 m,46 m,不符合题意,舍掉;
当x=52-3x时,x=13,三边为13 m,24 m,13 m,符合题意;
当52-3x=2x-2时,x=10.8,三边为10.8 m,19.6 m,19.6 m,符合题意。
所以能围成等腰三角形场地,x的值为13或10.8。(共4张PPT)
利用特殊化法解决几何图形问题
1.如图所示,已知△ABC是等边三角形,点O是BC上任意一点,OE,OF分别与两边垂直,等边三角形的高为1,则OE+OF的值为( )
☆问题解决策略:特殊化
B
2.如图所示,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,而且这两个正方形的边长都为2,无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积均为定值　 　。
3.如图所示,三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1,O2是其中两个正方形的中心,则阴影部分的面积是　 　。
1
2
4.[综合与探究] 【材料阅读】三边都相等的三角形叫作等边三角形;等边三角形的边长相等,三个内角相等,且都等于60°。
【问题探究】 已知,在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC。
小星的思路是:
(1)【特例分析】 如图(1)所示,当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE　　　　　DB(选填“>”“<”或“=”);
解:(1)=
(2)【特例启发,解答题目】 如图(2)所示,当点E为AB边上任意一点时,探究线段AE与DB的大小关系。
解:(2)过点E作EF∥BC,交AC于点F,如图所示。
因为△ABC为等边三角形,所以∠ABC=∠A=60°,AB=AC。
因为EF∥BC,所以∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°。
所以△AEF为等边三角形。
所以AE=EF=AF。所以AB-AE=AC-AF,即BE=CF。
因为ED=EC,所以∠D=∠ECD。所以∠DEB=60°-∠D,∠ECF=60°-∠ECD,
所以∠DEB=∠ECF。
又因为ED=EC,EB=CF,所以△DBE≌△EFC(SAS)。所以DB=EF,则AE=DB。(共19张PPT)
1.全等三角形的概念
(1)能够　 　的两个三角形叫作全等三角形;
(2)△ABC与△DEF全等,记作△ABC　 　△DEF。记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在　 　上。
2.全等三角形的性质
(1)全等三角形的对应边　 　、对应角　 　;
(2)全等三角形的对应边的高　 　,对应边的中线　 　,对应的角平分线相等。
第4课时　全等三角形
完全重合
≌
对应的位置
相等
相等
相等
相等
探究点1　全等三角形
例1　两个全等三角形如图所示放置,完成下列填空:
(1)如图(1)所示,AD的对应边是　 　,∠E的对应角是　 　;
(2)如图(2)所示,ED的对应边是　 　,∠DAE的对应角是　 　;
(3)如图(3)所示,EF的对应边是　 　,∠D的对应角是　 　;
(4)如图(4)所示,AD的对应边是　 　,∠ACD的对应角是　 　。
CB
∠BAC
CB
∠BAC
CA
∠B
CB
∠CAB
1.如图所示,将△ABC沿AC翻折,点B与点E重合,则全等的三角形有( )
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
2.已知△ABC的三边长分别为3,5,7,△DEF的三边长分别为3,3x-2,2x-1,若这两个三角形全等,则x等于　 　。
C
3
探究点2　全等三角形的性质
例2　如图所示,已知△ABC≌△DBE。
(1)若∠ABC=80°,∠DBC=30°,则∠CBE=　　　　°;
(2)若△ABC的面积为6,则△DBE的面积为　　　　;
(3)若△ABC的周长为20,AB=9,BC=4,求DE的长。
解:(1)50
(2)6
(3)因为△ABC的周长为20,AB=9,BC=4,
所以AC=20-9-4=7。
因为△ABC≌△DBE,
所以DE=AC=7。
3.如图所示,已知△ABC≌△DEF,点B,E,C,F依次在同一条直线上。若BC=8,CE=5,则CF的长为　 　。
3
4.如图所示,已知△ABC≌△EDF,点F,A,D在同一条直线上,AD是∠BAC的平分线,∠EDA=
20°,∠F=60°,则∠DAC的度数是　 　。
50°
1.如图所示,已知△ABD≌△ACE,B,D,E,C四点共线,下列结论中,不正确的是( )
A.∠1=∠2
B.BE=CD
C.∠BAE=∠CAD
D.AB=AE
D
2.(2025东莞期末)如图所示,△ABC≌△A′B′C,∠ACB=90°,∠A′CB=20°,则∠BCB′的度数为( )
A.20° B.40°
C.70° D.90°
3.一个三角形的三边长为x,5,7,另一个与它全等的三角形的三边长为3,y,5,那么以x,y为两边长的等腰三角形的周长等于　 　。
C
17
4.如图所示,已知AD⊥BC于点D,△ABD≌△CFD。
(1)若BC=10,AD=7,求BD的长;
解:(1)因为△ABD≌△CFD,
所以CD=AD=7。
因为BC=10,所以BD=BC-CD=10-7=3。
所以BD的长为3。
(2)试说明:CE⊥AB。
解:(2)因为AD⊥BC,所以∠ADB=90°。
所以∠B+∠BAD=90°。
因为△ABD≌△CFD,
所以∠BAD=∠FCD。
所以∠B+∠FCD=90°。
所以∠CEB=180°-(∠B+∠FCD)=90°。
所以CE⊥AB。
1.(2025东莞月考)下列说法正确的是( )
A.全等三角形是指形状相同的两个三角形
B.全等三角形的周长和面积分别相等
C.面积相等的两个三角形是全等三角形
D.所有的等边三角形都是全等三角形
B
2.如图所示,△ABC沿边BC所在直线向右平移得到△DEF,则下列结论不一定正确的是( )
A.△ABC≌△DEF B.∠A=∠D
C.AB∥DE D.EC=FC
3.如图所示,若△ADB≌△AEC,∠1=∠2,则∠ADB+∠BCE的度数为( )
A.160° B.180°
C.200° D.220°
D
B
4.(2025白云区月考)如图所示,△ABC≌△DBE,请写出图中的对应角、对应边。
(1)∠B的对应角:　 　;
(2)∠C的对应角:　 　;
(3)∠BAC的对应角:　 　;
(4)AB的对应边:　 　;
(5)AC的对应边:　 　;
(6)BC的对应边:　 　。
5.若△ABC≌△DEF,且△ABC的周长为20,AB=5,BC=9,则DF的长为　 　。
∠B
∠E
∠BDE
DB
DE
BE
6
6.如图所示,△ADF≌△CBE,点E,B,D,F在同一条直线上。
(1)线段AD与BC之间的数量关系是　　　　,其数学根据是　　　　　　　　　　　　;
(2)判断AD与BC之间的位置关系,并说明理由。
解:(1)AD=BC　全等三角形的对应边相等
(2)结论:AD∥BC.理由如下:
因为△ADF≌△CBE,
所以∠ADF=∠CBE。
所以∠ADB=∠CBD。所以AD∥BC。
7.如图所示,已知△ABC≌△DEB,点E在AB上,DE与AC相交于点F,若DE=10,∠D=30°,
∠C=70°。
(1)求线段AB的长;
解:(1)因为△ABC≌△DEB,DE=10,
所以AB=DE=10。
(2)求∠DBC的度数。
解:(2)因为△ABC≌△DEB,∠D=30°,∠C=70°,
所以∠A=∠D=30°,∠DBE=∠C=70°。
因为∠A+∠ABC+∠C=180°,
所以∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-30°-70°=80°。
所以∠DBC=∠ABC-∠DBE=10°。
8.如图所示,CA⊥AB于点A,AB=8,AC=4,射线BM⊥AB于点B,一动点E从A点出发以2个单位长度/s的速度沿射线AN运动,点D为射线BM上一动点,随着E点运动而运动,且始终保持ED=CB。若经过t s(t>0),△DEB与△BCA全等,则t的值为　 　。
2或6或8
9.如图所示,在△ABC中,CD⊥AB于点D,E是CD上一点,若△BDE≌△CDA,AB=14,AC=10,则△BDE的周长为　 　。
24
10.如图所示,A,D,E三点在同一直线上,且△BAD≌△ACE。
(1)试说明:BD=DE+CE。
解:(1)因为△BAD≌△ACE,
所以BD=AE,AD=CE。
又因为AE=AD+DE,
所以BD=DE+CE。
(2)△ABD满足什么条件时,BD∥CE
解:(2)△ABD满足∠ADB=90°时,BD∥CE。
因为∠ADB=90°,
所以∠BDE=180°-90°=90°。
又因为△BAD≌△ACE,
所以∠CEA=∠ADB=90°。
所以∠CEA=∠BDE。
所以BD∥CE。(共21张PPT)
1.全等三角形的判定——边角边
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,简写为“　 　”或“　 　”。
2.全等三角形的判定方法
全等三角形的判定方法:“SSS”“ASA”“　 　”“　 　”。
第7课时　边角边(SAS)
边角边
SAS
AAS
SAS
探究点1　根据“SAS”说明两个三角形全等
例1　如图所示,点B在CD上,OB=OD,AB=CD,∠OBA=∠D。
(1)试说明:△ABO≌△CDO;
解:(1)在△ABO和△CDO中,
因为OB=OD,∠OBA=∠D,AB=CD,
所以△ABO≌△CDO(SAS)。
(2)当AO∥CD,∠BOD=30°时,求∠A的度数。
解:(2)因为△ABO≌△CDO,
所以∠AOB=∠COD,∠A=∠C。
所以∠AOB-∠COB=∠COD-∠COB。
所以∠AOC=∠BOD=30°。
因为OA∥CD,所以∠C=∠AOC=30°。
所以∠A=∠C=30°。
1.如图所示,BF=CE,∠B=∠E,AB=DE。试说明:△ABC≌△DEF。
探究点2　已知三角形的两边及其夹角,用尺规作三角形
例2　已知:线段a,∠α如图所示。
求作:△ABC,使AB=a,AC=2a,∠A=∠α(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)。
解:如图所示,△ABC为所求作的三角形。
2.(2024佛山期末)如图所示,已知△ABC。请根据“SAS”作△BCD,使△DCB≌△ABC,其中点D在BC右侧,且DC=AB(要求:尺规作图,只保留作图痕迹,不要求写出作法)。
解:如图所示,△BCD即为所求。
探究点3　三角形全等条件的综合应用
例3　如图所示,在△ABC与△ADC中,已知AD=AB。
(1)在不添加任何辅助线的前提下,以下条件中,能使△ABC≌△ADC的条件有　　　　(填序号)。
①DC=BC;②∠D=∠B;③∠DAC=∠BAC;④∠DCA=∠BCA。
解:(1)①③
(2)分别在(1)中添加条件的情况下说明△ABC≌△ADC,并指出两个三角形全等的判定依据。
解:(2)当添加①DC=BC时,在△ABC和△ADC中,因为AB=AD,AC=AC,BC=DC,
所以△ABC≌△ADC(SSS)。当添加③∠DAC=∠BAC时,在△ABC和△ADC中,
因为AB=AD,∠BAC=∠DAC,AC=AC,所以△ABC≌△ADC(SAS)。
3.如图所示,∠ABC=∠BAD,请你添加一个条件:　 　,使△ABC≌△BAD
(只添一个即可)。
BC=AD(答案不唯一)
探究点4　三角形全等判定与性质的综合应用
例4　 如图所示,在△ABC中,点D是AC上一点,AD=AB,过点D作DE∥AB,且DE=AC。
(1)试说明:△ABC≌△DAE;
(2)若点D是AC的中点,△ABC的面积是20,求△AEC的面积。
解:(1)因为DE∥AB,所以∠BAC=∠ADE。
在△ABC和△DAE中,因为AB=DA,∠BAC=∠ADE,AC=DE,所以△ABC≌△DAE(SAS)。
(2)因为△ABC≌△DAE,
所以S△DAE=S△ABC=20。
因为点D是AC的中点,
所以S△AEC=2S△DAE=2×20=40。
4.如图所示,A,B,C,D是四个村庄,其中B,D,C在一条直线上,BD=DC,且AD⊥BC,村庄A,B之间有一个小湖EF。为方便通行,现要在湖面上建一座桥,测得AE=1.2 km,BF=0.7 km,AC=
4 km,则建造的桥长至少为( )
A.1.1 km
B.2.1 km
C.4 km
D.5 km
B
1.如图所示,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,ADA.△ABD≌△ACE B.BD=CE
C.BD⊥CD D.DE=CE
2.如图所示,在△ABC中,CD⊥AB于点D,BE⊥BC交CD的延长线于点E,若EC=AB,△ABC的面积是8,则BC=　 　。
D
4
3.如图所示,已知BE,CF是△ABC的边AC和AB上的高,Q为CF的延长线上一点,P为BE上一点,且QC=AB,BP=CA。请写出AP与QA的关系,并说明理由(提示:从数量关系和位置关系方面
解答)。
1.如图所示,在△ABC中,点D在AC上,点E在BC上,连接BD,DE。若AB=EB,AD=ED,∠A=80°,
∠BDC=110°,则∠C的度数为( )
A.30° B.40°
C.45° D.50°
B
2.如图所示,在△ACD中,∠CAD=90°,AC=6,AD=8,AB∥CD,点E是CD上一点,BE交AD于点F,若AB=DE,则图中阴影部分的面积为( )
A.24 B.30
C.42 D.48
3.如图所示,AD=AE,AB=AC,∠BAC=∠DAE,B,D,E在同一直线上,∠1=28°,∠2=26°,则∠3=　 　。
A
54°
4.(2025珠海期末改编)如图所示,点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AB的两侧,且AE=BF,∠A=∠B,∠ACE=∠BDF。试说明△ADE≌△BCF。
解:在△ACE和△BDF中,
因为∠A=∠B,∠ACE=∠BDF,AE=BF,
所以△ACE≌△BDF(AAS)。
所以AC=BD。
所以AC+CD=BD+CD,
即AD=BC。
在△ADE和△BCF中,
因为AD=BC,∠A=∠B,AE=BF,
所以△ADE≌△BCF(SAS)。
5.如图所示,已知AB=AC,AE=AF,BE与CF交于点D,有下列结论:①△ABE≌△ACF;②
△BDF≌△CDE;③点D在∠BAC的平分线上。其中正确的是( )
A.① B.②
C.①和② D.①②③
D
12
7.如图所示,锐角三角形ABC的面积为10,AC=5,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是　 　。
4
8.如图所示,已知A,D,E三点共线,C,B,F三点共线,AB=CD,AD=CB,DE=BF,那么BE与DF之间有什么数量关系 请说明理由。
解:BE=DF。理由如下:
如图所示,连接BD。
在△ABD和△CDB中,
因为AB=CD,AD=CB,
BD=DB,所以△ABD≌△CDB(SSS)。
所以∠A=∠C。
因为AD=CB,DE=BF,所以AD+DE=CB+BF。所以AE=CF。
在△ABE和△CDF中,因为AE=CF,∠A=∠C,AB=CD,所以△ABE≌△CDF(SAS)。
所以BE=DF。

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