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(共8张PPT)
一、转化思想解决最短距离问题
1.小刚今天准备去河里打一桶水送去王奶奶家,如图所示,小刚的家在A处,王奶奶的家在B处,A,B到河岸的距离分别为AC和BD,且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为
1 000 m,则小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是多少
☆问题解决策略:转化
解:如图所示,作点A关于CD的对称点A′,连接A′B与CD相交于点M,连接AM。
则A′B的长即为小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离。
由题意,得CM=DM,AM=1 000 m。
由作图可知∠A′MC=∠BMD,∠A′CM=∠BDM=90°,AC=BD=A′C,
所以△A′CM≌△BDM(AAS)。所以A′M=BM。
又由轴对称的性质知,AM=A′M,所以A′M=BM=1 000 m。
所以A′B=2 000 m。
2.如图所示,已知牧马营地在M处,每天牧马人要赶马群先到河边饮水,再到草地上吃草,最后回到营地,请你为牧马人设计出最短的牧马路线(保留画图痕迹,不写画法步骤)。
解:如图所示,最短路线为M→C→D→M。
二、转化在求面积方面的应用
3.如图所示是一个边长为4 cm的正方形,则阴影部分的面积是　 　cm2(π取3.14)。
10.28
三、转化在智力游戏中的应用
5.假设排列着100个乒乓球,由两个人轮流拿球装入口袋,能拿到第100个乒乓球的人为胜利者。条件是:每次拿球者至少要拿1个,但最多不能超过5个,问:如果你是最先拿球的
人,你该拿几个 以后怎么拿就能保证你能拿到第100个乒乓球
解:先拿4个,然后对方如果拿1到5个,那么我就拿5到1个,即拿的球数要与对方拿的球数之和为6。于是无论如何剩下的球数为6n,n逐次少1,最后剩6个的时候恰好是我拿到第100个乒乓球。
6.两人轮番在下面的方格中画对号,最少画一个,最多画三个,谁画到最后一个格谁获胜,你认为获胜的策略是什么
解:给对方始终剩下4的倍数个小方格。
7.有两堆棋子,甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取,多取不限,但不能不取。谁取到了最后一枚棋子为胜,你认为甲取胜的策略是什么
解:分情况讨论:
(1)两堆棋子的枚数相等,让乙先取,甲则在另一堆棋子中取与乙相同的数量,由于两堆棋子的数量相同,则甲始终能够取到最后一枚棋子,从而取胜。
(2)两堆棋子数量不相等,甲只要先取出较多一堆里比另一堆多的枚数,使得两堆棋子枚数相等,就可以转化为前一种情况。(共20张PPT)
1.等腰三角形的性质
(1)等腰三角形是　 　图形;
(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高　 　(也称“三线合一”),它们所在的直线是等腰三角形的对称轴;
(3)等腰三角形的两个底角　 　。
2.等边三角形的性质
等边三角形是轴对称图形,有　 　条对称轴,三个内角都是　 　。
第2课时　等腰三角形及其性质
轴对称
重合
相等
三
60°
探究点1　等腰三角形的性质
例1　如图所示,在△ABC中,AB=AC。
(1)若AD⊥BC于点D,BD=3,求CD的长;
(2)若点D是BC的中点,则∠ADB的度数为　　　　　;
解:(1)因为AB=AC,AD⊥BC,根据等腰三角形三线合一的性质,可知AD也是BC边上的中线,所以BD=CD。
因为BD=3,所以CD=3。
(2)90°
(3)若AD平分∠BAC,求S△ABD与S△ACD的大小关系。
1.(2025肇庆期末改编)等腰三角形的一个内角是70°,则它的一个底角的度数是( )
A.110° B.70°
C.55° D.55°或70°
2.如图所示,在△ABC中,若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°,则∠C的度数为　 　。
D
52°
3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,E,F分别是AB,AC上的点,且AE=AF,试说明:
DE=DF。
解:连接AD(图略)。
因为AB=AC,D是BC的中点,
所以∠EAD=∠FAD。
在△AED和△AFD中,
因为AE=AF,∠EAD=∠FAD,AD=AD,
所以△AED≌△AFD(SAS)。所以DE=DF。
探究点2　等边三角形的性质
例2　如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为边作等边三角形ABD(点C,D在边AB的同侧),连接CD。若∠BAC=30°,求∠BDC的度数。
解:因为△ABD是等边三角形,
所以∠BAD=∠ADB=60°,AB=AD。
因为∠BAC=30°,所以∠DAC=60°-30°=30°。
在△CBA和△CDA中,
因为AB=AD,∠BAC=∠DAC,AC=AC,
所以△CBA≌△CDA(SAS)。
所以∠ADC=∠ABC=90°。
所以∠BDC=∠ADC-∠ADB=90°-60°=30°。
4.如图所示,l1∥l2,等边三角形ABC的顶点B,C分别在l1,l2上,当∠1=20°时,∠2的大小为( )
A.35° B.40°
C.45° D.50°
B
5.如图所示,已知AB∥CD,△ACE是等边三角形,∠DCE=40°,求∠EAB的度数。
解:因为△ACE是等边三角形,
所以∠ACE=∠CAE=60°。
因为CD∥AB,所以∠DCE+∠ACE+∠CAE+∠EAB=180°。
因为∠DCE=40°,
所以∠EAB=20°。
1.在△ABC中,AB=AC=BC,则∠A的度数是( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
2.如图所示,点D为等边三角形ABC内部一点,且∠ABD=∠BCD,则∠BDC的度数为　 　。
C
120°
3.如图所示,在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,点E是AD延长线上一点,若AE=AC,则∠AEC的度数为　 　。
75°
4.(2025厦门期末)如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D,E在边BC上,∠BAD=∠CAE。试说明:
BD=CE。
解:因为AB=AC,
所以∠B=∠C。
在△ABD和△ACE中,∠BAD=∠CAE,AB=AC,∠B=∠C,
所以△ABD≌△ACE(ASA),
所以BD=CE。
5.如图所示,△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠BAC=72°,点D是BC的中点。
(1)求∠C的度数;
(2)求∠CAD的度数;
(3)E是AC上一点,连接DE,若EA=ED,试说明:ED∥AB。
解:(3)因为AB=AC,点D是BC的中点,
所以AD⊥BC。
所以∠ADC=90°。
因为AE=DE,
所以∠ADE=∠DAE=36°。
所以∠EDC=90°-36°=54°。
因为∠B=54°,
所以∠B=∠CDE。
所以ED∥AB。
1.下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是( )
A.等腰三角形两底角相等
B.等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线相互重合
C.等腰三角形是轴对称图形,其对称轴是底边上的高
D.等腰三角形的底角一定是锐角
2.一个等腰三角形的顶角是底角的3倍,则这个等腰三角形的底角度数是( )
A.24° B.36° C.72° D.108°
C
B
3.如图所示,△ABC的周长是14,AB=AC=5,AD⊥BC,则BD的长为　 　。
2
4.(2025梅州期中改编)如图所示,在等边三角形ABC中,BD平分∠ABC,点E是BC延长线上一点,且CE=CD,连接DE,则∠BDE=　 　。
120°
5.如图所示,AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线,P是AD上任意一点。试说明:∠ABP=
∠ACP。
解:因为在△ABC中,AB=AC,AD为BC边的中线,
所以AD是角平分线。
所以∠BAP=∠CAP。
在△ABP与△ACP中,AB=AC,∠BAP=∠CAP,AP=AP,
所以△ABP≌△ACP(SAS)。
所以∠ABP=∠ACP。
6.如图所示,O是△ABC内一点,OA=OB=OC。若∠BOC=126°,则∠BAC=　 　。
7.等腰三角形一腰上的中线把它的周长分成了12∶9两部分,等腰三角形的周长为21,则它的腰长为　 　。
63°
6或8
8.[新定义] 如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形,那么称这条线段为这个三角形的特异线,称这个三角形为特异三角形。如图所示,△ABC是一个等腰锐角三角形,AB=AC,且它是特异三角形,请求出∠A的度数。
解:当△ABC是一个等腰锐角三角形,且它是特异三角形时,有两种情形:
如图①所示,因为AB=AC,
AD=BD=BC,
所以∠ABC=∠C=∠BDC,
∠A=∠ABD。
∠BDC=∠C=180°-∠ADB=
180°-[180°-(∠A+∠ABD)]=∠A+∠ABD。
设∠A=x,则x+2x+2x=180°,
解得x=36°,所以∠A=36°。(共18张PPT)
1.线段垂直平分线的概念
垂直于一条线段,并且　 　这条线段的直线,叫作这条线段的垂直平分线。简称中垂线。
2.线段是轴对称图形,垂直并且平分线段的　 　是它的一条对称轴。
3.线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离　 　。
第3课时　线段的垂直平分线
平分
直线
相等
探究点1　线段的垂直平分线的性质
例1　如图所示,在△ABC中,直线EF是AC的垂直平分线,AD⊥BC于点D,D是BE的中点。
(1)试说明:AB=CE;
(2)若∠C=32°,求∠BAC的度数。
解:(1)因为AD⊥BC,且D是线段BE的中点,
所以∠ADB=∠ADE=90°,BD=ED。
在△ADB和△ADE中,
因为BD=ED,∠ADB=∠ADE,AD=AD,
所以△ADB≌△ADE(SAS)。
所以AB=AE。
因为EF垂直平分AC,
所以AE=CE。所以AB=CE。
(2)∠BAC=84°。
1.(2025河源期中改编)如图所示,在△ABC中,AC=5,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点E,D,连接BD。若△BCD的周长为8,则BC的长为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
C
2.(2025无锡月考)如图所示,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E,AC=8,AE∶EC=3∶1,连接BE,则点B到点E的距离是　 　。
6
探究点2　线段的垂直平分线的作法及应用
例2　如图所示,在直线l上求作一点P,使得点P到A,B两点的距离相等。
解:如图所示,点P即为所求。
56°
1.如图所示,在△ABC中,BD平分∠ABC,BC的中垂线交BC于点E,交BD于点F,连接CF。若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF=　 　。
48°
2.如图所示,在△ABC中,∠BAC=100°,DG,EF分别垂直平分AB,AC,垂足分别为G,F,求∠DAE的度数。
解:因为DG,EF分别垂直平分AB,AC,
所以AD=BD,AE=CE。
所以∠B=∠BAD,∠C=∠CAE。
因为∠BAC=100°,∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE,
所以∠B+∠DAE+∠C=100°,
∠B+∠C=180°-100°=80°。
所以∠DAE=100°-80°=20°。
1.如图所示,已知直线PC是线段AB的垂直平分线,∠APC=50°,则∠B的度数为( )
A.40° B.50°
C.55° D.60°
A
2.(2025深圳期中改编)如图所示,在△ABC中,∠BAC=72°,AB=AC,根据尺规作图痕迹,下列结论不正确的是( )
A.AD=BD
B.∠B+∠BDE=90°
C.AE=CD
D.∠BDE=36°
3.在△ABC中,∠B=60°,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E,若AE=BC,则∠A的度数为
　 　。
C
40°
4.如图所示,线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O,连接AO,CO。试说明:AO=CO。
解:如图所示,连接OB。
因为线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O,
所以OB=OA,OB=OC。
所以AO=CO。
5.如图所示,在△ABC中,AC的垂直平分线交AC于点D,与BC的延长线交于点E,连接AE,如果∠B=48°,∠BAC=19°,求∠CAE的度数。
解:因为∠B=48°,∠BAC=19°,
所以∠ACE=180°-∠ACB=180°-[180°-(∠B+∠BAC)]=∠B+∠BAC=48°+19°=67°。
又因为ED垂直平分AC,所以AE=CE。
所以∠CAE=∠ACE=67°。
6.如图所示,在△ABC中,AB=AC=16 cm。
(1)作线段AB的垂直平分线DE,交AB于点E,交AC于点D(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在(1)的条件下,连接BD,若BC=10 cm,求△BCD的周长。
解:(1)如图所示。
(2)如图所示,连接BD,因为DE是AB的垂直平分线,所以AD=BD,所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=16+10=26(cm)。
7.如图所示,点P为△ABC内一点,过点P的线段MN分别交AB,BC于点M,N,且M,N分别在PA,PC的垂直平分线上。若∠APC=142°,则∠ABC的度数为( )
A.76° B.104°
C.130° D.140°
8.(2025汕头模拟改编)如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,点E是线段BC延长线上一点,连接AE,点C在AE的垂直平分线上,若DE=10 cm,则AB+BD=　 　cm。
B
10
16
10.在△ABC中,AB的垂直平分线分别交线段AB,BC于点M,P,AC的垂直平分线分别交线段AC,BC于点N,Q。当∠PAQ=40°时,求∠BAC的度数。
解:因为MP,NQ分别是AB,AC的垂直平分线,所以AP=BP,AQ=CQ。
所以∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C。
所以∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C。
当P点在Q点右侧时,
因为∠BAP+∠CAQ=∠BAC+∠PAQ,∠PAQ=40°,
所以∠B+∠C=∠BAC+40°。
因为∠B+∠C+∠BAC=180°,
所以∠BAC=70°。
当P点在Q点左侧时,
因为∠BAP+∠CAQ+∠PAQ=∠BAC,∠PAQ=40°,
所以∠B+∠C=∠BAC-40°。
因为∠B+∠C+∠BAC=180°,
所以∠BAC=110°。
综上,∠BAC=70°或110°。(共12张PPT)
单元综合回顾
1.(2025重庆中考)下列图案中,是轴对称图形的是( )
B
轴对称及轴对称图形
2.(2024甘肃中考)围棋起源于中国,古代称为“弈”。如图所示是两位同学的部分对弈图,轮到白方落子,观察棋盘,白方如果落子于点　 　的位置,则所得的对弈图是轴对称图形(填写A,B,C,D中的一处即可,A,B,C,D位于棋盘的格点上)。
A(或C)
3.(2025深圳期中改编)在△ABC中,将∠B和∠C按如图所示的方式折叠,点B,C均落于边BC上一点G处,线段MN,EF为折痕。若∠A=94°,则∠MGE=　 　。
94°
4.(2025揭阳期末)等腰三角形的周长是30 cm,其中一条边长为6 cm,则等腰三角形的腰长为( )
A.18 cm B.6 cm或12 cm
C.12 cm D.6 cm
C
等腰三角形的性质
5.(2025佛山月考改编)如图所示,某校实践小组为了让旗杆垂直于地面,采取以下的操作方法:从旗杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC,当固定点B,C到旗杆脚E的距离相等,且B,E,C三点在同一直线上时,旗杆DE⊥BC。这种操作方法的依据是( )
A.等腰三角形的两个底角相等
B.垂线段最短
C.等腰三角形“三线合一”
D.三角形两边的和大于第三边
6.(2024湖南中考)若等腰三角形的一个底角的度数为40°,则它的顶角的度数为　 　°。
C
100
7.(2024广东模拟)如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AB上,BE=BD,
∠BAC=80°。求:
(1)∠BDE的度数;
(2)∠ADE的度数。
(2)因为AB=AC,点D是BC的中点,
所以AD⊥BC。
所以∠ADB=90°。
所以∠ADE=∠ADB-∠BDE=25°。
8.(2025连云港中考)如图所示,在△ABC中,BC=7,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,
AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,则△AEG的周长为( )
A.5 B.6
C.7 D.8
9.(2024 佛山月考)如图所示,在长方形ABCD中,已知∠ACB=68°,请依据尺规作图的痕迹,求出∠α等于　 　。
C
线段的垂直平分线的性质
56°
10.如图所示,已知甲村和乙村靠近公路a,b,为了发展经济,甲、乙两村准备合建一个工厂,经协商,工厂必须满足以下要求:①到两村的距离相等;②到两条公路的距离相等。你能帮忙确定工厂的位置吗
解:如图所示,点H或H′即为工厂的位置。
11.如图所示,在四边形 ABCD 中,BD平分∠ABC,∠BCD=90°,AB=4,DC=6,BC=8,则四边形ABCD的面积为　 　。
36
角平分线的性质
a-10(共14张PPT)
1.角是轴对称图形,　 　所在的直线是它的对称轴。
2.角平分线的性质
角平分线上的点到这个角的两边的距离　 　。
第4课时　角平分线
角平分线
相等
探究点1　角平分线的性质
例1 　如图所示,在△ABC中,O为∠ABC,∠ACB的平分线的交点,OD⊥AB,OE⊥AC,OF⊥BC,垂足分别为D,E,F。
(1)OD与OE是否相等,请说明理由;
解:(1)OD=OE。理由如下:
因为BO平分∠ABC,OD⊥AB,OF⊥BC,
所以OD=OF。同理OE=OF,所以OD=OE。
(2)若△ABC的周长是30,且OF=4,求△ABC的面积。
1.如图所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,AB=8,AC=6,若S△ACD=12,则△ABC的面积为( )
A.24 B.28
C.32 D.48
B
探究点2　角平分线的作法及应用
例2　如图所示,求作一点P,使它到公路AB,AC的距离相等,并且到村庄D和村庄E的距离相等(保留作图痕迹,不写作法)。
解:如图所示,点P就是所求作的点。
2.(2025湛江月考)如图是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在( )
A.△ABC三条中线的交点
B.△ABC内任意一点
C.△ABC三条高所在直线的交点
D.△ABC三条角平分线的交点
D
1.如图所示,已知AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,AE=12,DF=5,
AD=13,则点E到直线AD的距离为　　 。
2.如图所示,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PD=6 cm,点E是射线OB上的动点,则PE的最小值为　 　。
6 cm
1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,若BC=10 cm,BD=6 cm,则点D到AB的距离是( )
A.6 cm B.5 cm
C.4 cm D.3 cm
C
2.如图所示,平面内三条直线a,b,c两两相交,在平面内找出一点P,使得点P到三条直线的距离相等,那么符合条件的点P有　 　处。
4
3.如图所示,已知BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于点M,PN⊥CD于点N,试说明:PM=PN。
解:因为BD是∠ABC的平分线,
所以∠ABD=∠CBD。
在△ABD和△CBD中,
因为AB=BC,∠ABD=∠CBD,BD=BD,
所以△ABD≌△CBD(SAS)。
所以∠ADB=∠CDB。
因为点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,
所以PM=PN。
4.如图所示,已知△ABC的面积是36,周长是18,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,则OD的长是( )
A.2 B.4
C.5 D.6
5.如图所示,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直,若AD=8,则点P到BC的距离是　 　。
B
4
6.[综合与探究] 如图(1)所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,P是AD上一点,PE∥AB交BC于点E,PF∥AC交BC于点F。
(1)点D到PE的距离与点D到PF的距离相等吗 (直接写出结论)
解:(1)相等。
(2)如图(2)所示,若点P在AD的延长线上,其他条件不变,试猜想(1)中的结论还成立吗 请说明你猜想的理由。
解:(2)若点P在AD的延长线上,其他条件不变,(1)中的结论还成立。
理由如下:
因为PE∥AB,PF∥AC,
所以∠EPD=∠BAD,∠FPD=∠CAD。
因为AD平分∠BAC,
所以∠BAD=∠CAD。
所以∠EPD=∠DPF,
即PD平分∠EPF。
所以点D到PE的距离与点D到PF的距离相等。(共18张PPT)
第五章 　图形的轴对称
1.轴对称图形的概念
如果一个平面图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相　 　,那么这个图形叫作轴对称图形,这条直线叫作　 　。
2.成轴对称的概念
如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全　 　,那么称这两个图形成轴对称,这条直线叫作这两个图形的　 　。
3.轴对称的性质
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中,对应点所连的线段被对称轴　 　,对应线段相等,对应角　 　。
第1课时　轴对称及其性质
重合
对称轴
重合
对称轴
垂直平分
相等
探究点1　轴对称图形及两个图形成轴对称
例1　下列图形是轴对称图形吗 如果是,画出它们的对称轴。
解:四个图形都是轴对称图形,对称轴如图所示。
1.下列四个图形中,是轴对称图形,且有2条对称轴的图形有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列说法:①轴对称图形只有一条对称轴;②轴对称图形的对称轴是一条线段;③两个图形成轴对称,这两个图形是全等图形;④轴对称图形是指一个图形,而轴对称是对两个图形而言。其中正确的是　 　(填序号)。
C
③④
探究点2　轴对称的性质
例2　如图所示,△ABC和△ADE关于直线MN对称,BC与DE的交点F在直线MN上。
(1)图中点C的对应点是点　　　　,∠B的对应角是　 ;
(2)若DE=5,BF=2,则CF的长为　　;
(3)若∠BAC=108°,∠BAE=30°,求∠EAF的度数。
解:(1)E　∠D　(2)3
3.(2024河北中考)如图所示,AD与BC交于点O,△ABO和△CDO关于直线PQ对称,点A,B的对称点分别是点C,D。下列不一定正确的是( )
A.AD⊥BC 　　 B.AC⊥PQ
C.△ABO≌△CDO 　 D.AC∥BD
A
4.(2025深圳期中改编)折纸不仅是一门古老而有趣的艺术,还涉及了很多数学问题。如图所示,小明在课余时间把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠,∠1=65°,则∠2=　 　。
50°
探究点3　轴对称作图
例3　如图所示,在正方形网格中有一个△ABC,请画出△ABC关于直线MN的对称图形△DEF
(不写画法)。
解:如图所示,△DEF即为所求。
5.如图所示,正方形再任意涂黑一个,则所得黑色图案是轴对称图形的情况有　 　种。
6.画出下列图形关于直线l的轴对称图形。
4
解:如图所示。
1.如图所示,若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称,BB′交MN于点O,则下列说法不一定正确的是( )
A.AC=A′C′ B.AB∥B′C′
C.AA′⊥MN D.BO=B′O
B
2.在如图所示的方格纸上画有2条线段,再画1条线段,使图中的3条线段组成一个轴对称图形,这样线段的添法有( )
A.5种 B.4种
C.3种 D.2种
3.如图所示,△ABC沿AC边所在的直线翻折得到△ADC,AB+BC=12 cm,AC=6 cm,则△ACD的周长是　 　cm。
B
18
4.如图所示,已知∠AOB=45°,P为∠AOB内任一点,且OP=6,点P关于OA,OB的对称点分别为P1,P2,连接P1O,P2O,P1P2,则△OP1P2的面积为　 　。
18
1.如图所示,图形成轴对称的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.如图所示,从标有数字1,2,3,4的四个小正方形中拿走一个,成为一个轴对称图形,则应该拿走的小正方形的标号是　 　。
A
2
3.如图所示,△ABC与△DEF关于直线MN对称,其中∠C=90°,AC=4 cm,DE=5 cm,BC=3 cm。
(1)点A与点D有何位置关系 连接AD,则线段AD与直线MN有何关系
(2)∠F的度数为　　　　　。
(3)求△DEF的周长。
解:(1)点A与点D关于直线MN成轴对称,线段AD被直线MN垂直平分。
(2)90°
(3)因为△ABC与△DEF关于直线MN对称,
所以DF=AC=4 cm,EF=BC=3 cm。
所以△DEF的周长为
DF+DE+EF=4+5+3=12(cm)。
4.四边形ABCD的边长如图所示,∠BAD=90°,∠ABC=120°,E为边AD上一动点(不与A,D两点重合),连接BE,将△ABE沿直线BE折叠,点A的对应点为点F,则点C与点F之间的距离不可能是( )
A.3 B.4
C.5 D.8
D
5.画出下列正多边形的所有对称轴,并完成表格。
正多边形的边数 3 4 5 6 …
对称轴的条数 …
根据表格,猜想正n边形有多少条对称轴
解:所画对称轴如图所示。
表格如表所示。
正多边形的边数 3 4 5 6 …
对称轴的条数 3 4 5 6 …
猜想正n边形有n条对称轴。(共6张PPT)
类型解读:等腰三角形中的分类讨论主要涉及角、边的分类讨论以及特殊情况下的分类讨论。角的分类讨论主要包括顶角和底角的分类;边的分类讨论主要涉及底边和腰的分类;特殊情况下的分类讨论,如等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则需要分类讨论该等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形。
专题聚焦(四)【培优】等腰三角形问题中的分类讨论思想
类型1　腰和底不确定时分类讨论
1.一个等腰三角形的两边分别是3 cm和 4 cm,则它的周长为　 　。
2.已知等腰三角形的一边长是5,周长是18,则它的腰长为　 　。
3.已知△ABC的三边长分别为10-a,5,6,当△ABC为等腰三角形时,则a的值为　 　。
类型2　顶角和底角不确定时分类讨论
4.等腰三角形一内角为38°,则顶角的度数为　 　。
5.在△ABC中,AB=AC,∠B=35°,D是BC边上的动点,连接AD,若△ABD为直角三角形,则
∠DAC的度数为　 　。
10 cm或11 cm
5或6.5
4或5
38°或 104°
20°或55°
类型3　遇中线分类讨论
6.在等腰三角形ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分,这个等腰三角形的腰长为　 　。
7.在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD将△ABC的周长分成2∶3两部分,若△ABC的周长为20 cm,则BC的长为　 　。
类型4　遇不定点分类讨论
8.在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,BD⊥AC,垂足为D,点E在直线BC上,若CD=CE,则∠BDE的度数为　 　。
9.已知∠AOB=60°,OC平分∠AOB,如果点P在射线OC上,射线OA上的点E满足△OPE是等腰三角形,那么∠OEP的度数为　 　。
10 cm
35°或125°
120°,75°或30°
类型5　遇高分类讨论
10.在△ABC中,∠A=∠B,过点A作AD⊥CB交直线BC于点D,∠DAC=36°,则∠C的度数为
　 　。
11.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°,求该等腰三角形顶角的度数。
54°或126°
解:若三角形为锐角三角形时,如图①所示,
AB=AC,∠ACD=50°,CD为高,即∠ADC=90°,
此时∠A+∠ACD+∠ADC=180°,
所以∠A=180°-90°-50°=40°,此时该等腰三角形顶角的度数为40°。
若三角形为钝角三角形时,如图②所示,
AB=AC,∠ACD=50°,CD为高,即∠ADC=90°,
此时∠BAC=180°-∠CAD=180°-[180°(∠ADC+∠ACD)]=∠ADC+∠ACD=90°+50°=140°。
综上,该等腰三角形顶角的度数为40°或140°。
类型6　遇垂直平分线分类讨论
12.在等腰三角形ABC中,AB=AC,AB边上的垂直平分线与AC所在直线相交于点D,若∠DBC=
36°,则等腰三角形ABC的底角度数是　 　。
13.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交直线AC于点E,∠AEB=80°,则∠EBC的度数为　 　。
12°,48°或72°
15°或75°

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