资源简介

(共12张PPT)
单元综合回顾
1.(2025深圳中考)下列计算正确的是( )
A.a2+a4=a6
B.a3·a3=a6
C.(a2)3=a5
D.(a+b)2=a2+b2
幂的运算
B
2.(2025河南中考)通电瞬间,导线中的电流以接近光速形成,但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000 074 m/s,比蜗牛爬行的速度还慢。数据“0.000 074”用科学记数法表示为( )
A.0.74×10-4 B.7.4×10-4
C.7.4×10-5 D.74×10-6
3.(2024深圳月考)已知23×8=4n,则n=　 　。
C
3
(2)(-3a)3+(-2a4)2÷(-a)5
=-27a3+4a8÷(-a5)
=-27a3-4a3
=-31a3。
5.按要求计算下面各题:
(1)已知3a+2b=4,求27a·9b的值;
(2)已知2m=x,8n=y,求22m+3n+1的值(结果用含x,y的式子表示)。
解:(2)22m+3n+1
=(2m)2·23n·2
=(2m)2·8n·2
=2x2y。
6.(2024上海中考)计算:(a+b)(b-a)=　 　。
7.若m2-n2=-8,m-n=-2,则代数式m+n的值是　 　。
8.已知a-b=3,ab=10,则a2+b2=　 　。
乘法公式
b2-a2
4
29
9.计算:
(1)899×901+1;
(2)(a+2b+1)(a+2b-1)。
解:(1)899×901+1
=(900-1)×(900+1)+1
=810 000-1+1
=810 000。
(2)(a+2b+1)(a+2b-1)
=(a+2b)2-12
=a2+4ab+4b2-1。
10.(2025济南中考)下列运算正确的是( )
A.m2·m3=m5
B.m6÷m2=m3
C.2m+3n=5mn
D.(m2)3=m5
11.式子(4×106)×(-8×108)的计算结果用科学记数法表示为( )
A.32×1014 B.3.2×1015
C.-3.2×1015 D.-32×1014
12.计算:a3·a·a4+(-2a4)2+(a2)4=　 　。
整式的运算
A
C
6a8
解:(1)(3x6y)·(-4xy2)2÷(0.5x2y)
=3x6y·16x2y4÷(0.5x2y)
=96x6y4。
14.先化简,再求值:(2a-1)2+6a(a+1)-(3a+2)(3a-2),其中a2+2a-2 025=0。
整式的化简求值
解:(2a-1)2+6a(a+1)-(3a+2)(3a-2)
=4a2-4a+1+6a2+6a-9a2+4
=a2+2a+5,
因为a2+2a-2 025=0,
所以a2+2a=2 025,代入上式,得
原式=2 025+5=2 030。(共7张PPT)
类型1　整式乘法中的整体代入思想
类型解读:整体代入思想方法是一种在数学中常用的技巧,特别是在代数式运算中。当给出的条件不是字母的具体值,而是以某种式子的形式出现时,我们可以将这个式子(或变形后与需要求值的式子相关)看作一个整体,直接代入到需要求解的式子中进行计算,从而简化问题,快速得到答案。
专题聚焦(一)【培优】数学思想在整式乘法中的应用
角度1　整体思想在幂的运算中的应用
1.若m,n均为正整数且2m·2n=32,(2m)n=64,则mn+m+n的值为( )
A.10 B.11 C.12 D.13
2.已知2x+3y-3=0,求3·9x·27y的值。
B
角度2　整体思想在整式乘法中的应用
3.已知m+n=3,mn=-6,则(1-m)(1-n)的值为　 　。
4.阅读下列文字,并解决问题。
已知x2y=3,求2xy(x5y2-3x3y-4x)的值。
分析:考虑到满足x2y=3的x,y的可能值较多,不可以逐一代入求解,故考虑整体思想,将x2y=3整体代入。
解:2xy(x5y2-3x3y-4x)=2x6y3-6x4y2-8x2y=2(x2y)3-6(x2y)2-8x2y=2×33-6×32-8×3=-24。
请你用上述方法解决问题:
已知ab=3,求(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)的值。
-8
解:因为ab=3,
所以(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)
=-4a3b3+6a2b2-8ab
=-4(ab)3+6(ab)2-8ab
=-4×33+6×32-8×3
=-78。
角度3　整体思想在乘法公式中的应用
5.阅读例题的解答过程,并解答(1)(2)两个问题。
例:计算(a-2b+3)(a+2b-3)。
原式=[a-(2b-3)][a+(2b-3)] ①
=a2-(2b-3)2 ②
=a2-4b2+12b-9。 ③
(1)例题求解过程中,利用了整体思想,其中①→②的变形依据是　 　,②→③的变形依据是　 　(填整式乘法公式的名称);
平方差公式
完全平方公式
(2)用此方法计算(a+2x-y-b)(a-2x+y-b)的值。
解:(2)(a+2x-y-b)(a-2x+y-b)
=[(a-b)+(2x-y)][(a-b)-(2x-y)]
=(a-b)2-(2x-y)2
=(a2-2ab+b2)-(4x2-4xy+y2)
=a2-2ab+b2-4x2+4xy-y2。
类型2　整式乘法中的换元思想
类型解读:整式乘法中的换元思想方法的实质是“转化”的数学思想,主要体现在将复杂的整式看作一个整体,用一个新变量代替,从而简化计算过程。这种方法在处理复杂的整式运算时非常有效,能够显著降低问题的复杂性。
6.已知(2 024-a)(2 026-a)=2 025,求 (2 024-a)2+(2 026-a)2的值。
解:设2 024-a=x,2 026-a=y,
则xy=2 025,x-y=-2,
所以(2 024-a)2+(2 026-a)2
=x2+y2=(x-y)2+2xy
=(-2)2+2×2 025
=4+4 050=4 054。(共15张PPT)
1.幂的乘方法则
幂的乘方,底数不变,指数　 　,即(am)n=　 　(m,n都是正整数)。
2.幂的乘方法则的逆用
amn=　 =(an)m(m,n都是正整数)。
第2课时　幂的乘方
相乘
amn
(am)n
探究点1　幂的乘方法则
例1　计算:
(1)-(x5)3;
(2)[(a-b)2]5;
解:(1)-(x5)3=-x5×3=-x15。
(2)[(a-b)2]5=(a-b)2×5=(a-b)10。
(3)(-a2)3·a2;
(4)(a4)5-(-a2)10。
解:(3)(-a2)3·a2=-a2×3·a2=-a6·a2=-a8。
(4)(a4)5-(-a2)10=a4×5-a2×10=a20-a20=0。
1.计算(-x7)2的结果是( )
A.x14 B.x9
C.x49 D.-x14
A
2.计算:
(1)-(22)3;
(2)(-a)2(a2)2;
(3)[(z-y)2]3;
(4)2(x3)5-(x5)3。
解:(1)-(22)3=-22×3=-26。
(2)(-a)2(a2)2=a2·a2×2=a6。
(3)[(z-y)2]3=(z-y)2×3=(z-y)6。
(4)2(x3)5-(x5)3=2x3×5-x5×3=x15。
探究点2　幂的乘方法则的逆用
例2　已知am=3,an=2。
(1)求am+n的值;
(2)求(a3)n的值;
(3)求a2m+3n的值。
解:(1)因为am=3,an=2,
所以am+n=am·an=3×2=6。
(2)因为an=2,
所以(a3)n=a3n=(an)3=23=8。
(3)因为am=3,an=2,
所以a2m+3n=a2m·a3n=(am)2·(an)3=32×23=72。
3.若ax=1,ay=2,则ax+2y的值为　 　。
4.已知10a=5,10b=6。
(1)求102a+103b的值;
4
解:(1)102a+103b
=(10a)2+(10b)3
=52+63
=241。
(2)求102a+3b的值。
解:(2)102a+3b
=(10a)2·(10b)3
=52×63
=5 400。
1.若33·9m=311,则m的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.若2x+y-3=0,则9x·3y=　 　。
3.比较大小:433　 　344(选填“>”“<”或“=”)。
C
27
<
4.计算:
(1)-(a3-m)2;
(2)(x3)3·x3。
解:(1)-(a3-m)2=-a6-2m。
(2)(x3)3·x3=x3×3·x3=x9·x3=x12。
1.下列运算正确的是( )
A.(-a2)3=a6
B.(a3)3=a6
C.(-x3)4=-x12
D.(m2)5=(m5)2
2.(2025河源月考)x2m=2,则x6m等于( )
A.6 B.8 C.9 D.12
D
B
3.若2·8x=27,则x的值为　 　。
4.已知一个正方体的棱长是103 cm,则这个正方体的表面积和体积分别是　 　cm2,
　 　cm3。
5.(2025中山)已知4·8m·16m=216,则m的值是　 　。
2
6×106
109
2
6.计算:
(1)-(a4)2·(a2)3;
解:(1)-(a4)2·(a2)3
=-a4×2·a2×3
=-a8·a6
=-a14。
(2)[(x+y)3]6+[(x+y)9]2。
解:(2)[(x+y)3]6+[(x+y)9]2
=(x+y)3×6+(x+y)9×2
=(x+y)18+(x+y)18
=2(x+y)18。
7.若2n=3,则4n等于( )
A.6 B.9 C.5 D.12
8.已知2x+4y-3=0,则4x·16y-8的值为( )
A.3 B.8 C.0 D.4
9.(2025珠海)(1)已知n为正整数,x2n=4,求(x3n)2-2(x2)2n的值;
B
C
解:(1)(x3n)2-2(x2)2n
=(x2n)3-2(x2n)2
=43-2×42
=64-32
=32。
(2)已知2m=a,32n=b,m,n为正整数,求23m+10n的值。
10.已知a=214,b=275,c=97,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.ac>a
D(共18张PPT)
1.平方差公式:(a+b)(a-b)=　 　。即两数和与这两数差的积,等于它们的　 　。
2.平方差公式的结构特点
(1)公式的左边是两个二项式的积,并且这两个二项式中一项相同,另一项互为相反
数(式);
(2)公式右边是左边括号内相同项的平方减去相反项的平方;
(3)公式中的a和b可以代表数,也可以是代数式。
第8课时　平方差公式
a2-b2
平方差
探究点1　平方差公式
例1　判断下列式子能否运用平方差公式进行计算,能用的进行计算,不能用的说出原因:
(1)(a+b)(a-c);
(2)(a+b)(-b-a);
解:(1)不能,因为没有互为相反数的项,所以不能运用平方差公式进行计算。
(2)不能,因为没有相同的项,
所以不能运用平方差公式进行计算。
(3)(-a+b)(a-b);
(4)(-a+b)(a+b);
(5)(a+b)(b-a);
(6)(-2a+b)(-2a-b)。
解:(3)不能,因为没有相同的项,
所以不能运用平方差公式进行计算。
(4)能,(-a+b)(a+b)=b2-a2。
(5)能,(a+b)(b-a)=b2-a2。
(6)能,(-2a+b)(-2a-b)=4a2-b2。
2a
2a
探究点2　利用平方差公式计算
例2　计算:
(1)(2a+2b)(2a-2b);
(2)(m+n)(m-n)(m2+n2);
解:(1)(2a+2b)(2a-2b)
=(2a)2-(2b)2
=4a2-4b2。
(2)(m+n)(m-n)(m2+n2)
=(m2-n2)(m2+n2)
=m4-n4。
(3)198×202。
解:(3)198×202
=(200-2)×(200+2)
=2002-22
=40 000-4
=39 996。
D
2.下列计算正确的是( )
A.(x2+3)(x2-3)=x2-9
B.(x+3)(x-2)=x2-6
C.(3x+2)(3x-2)=3x2-4
D.(-x+y)(-x-y)=x2-y2
探究点3　用图形验证平方差公式
例3　在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),如图(1)所示,把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形,如图(2)所示。
(1)图(2)中阴影部分的长是　 　,宽是　 　,这个长方形的面积为　 　;
(2)图(1)中阴影部分的面积是　 　;
(3)比较问题(1)与问题(2)的结果,可验证的公式是　 　。
a+b
a-b
(a+b)(a-b)
a2-b2
(a+b)(a-b)=a2-b2
3.小明把L形的纸片进行如图所示的剪拼,改造成了一个长方形纸片,结合该图形验证平方差公式。请进行具体说理。
解:由题图,知长方形纸片的面积为
S长方形=(a+b)(a-b),
L形纸片的面积为SL形=a2-b2。
因为S长方形=SL形,
所以(a+b)(a-b)=a2-b2。
1.如果计算(x+my)(x+ny)时能使用平方差公式,那么m,n应满足( )
A.m,n同号
B.m,n异号
C.m+n=0
D.mn=1
2.等式(-a-1)(　　)=a2-1中,括号内应填入( )
A.a+1 B.-1-a
C.1-a D.a-1
3.已知实数a,b满足a-b=-3,a+b=2,则代数式a2-b2的值为　 　。
C
C
-6
4.先化简,再求值:(2m+3)(2m-3)-(m-1)·(m+5),其中m=-1。
解:原式=3m2-4m-4。
当m=-1时,
原式=3×(-1)2-4×(-1)-4
=3+4-4
=3。
5.(2025南海区月考改编)用乘法公式计算:2 0252-2 026×2 024。
解:2 0252-2 026×2 024
=2 0252-(2 025+1)×(2 025-1)
=2 0252-2 0252+1
=1。
D
6
6
(2)(-1+5a)(-1-5a)
=(-1)2-(5a)2
=1-25a2。
(3)1012-1。
解:(3)1012-1
=1012-12
=(101+1)(101-1)
=102×100
=10 200。
5.若m2-n2=3,则(m+n)2(m-n)2的值是( )
A.3 B.6
C.9 D.18
6.三个连续偶数,若中间一个是n,则它们的积为　 　。
C
n3-4n
7.如图(1)所示,从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形,再沿着线段AB剪开,把剪成的两张纸片拼成如图(2)所示的等腰梯形。
(1)设图(1)中阴影部分面积为S1,图(2)中阴影部分面积为S2,请直接用含a,b的代数式表示S1,S2;
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式。
(2)(a+b)(a-b)=a2-b2。
8.[代数推理]试说明:对于任意整数n,整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值都能被10整除。
解:原式=10(n2-1)。
因为n为整数,所以10(n2-1)能被10整除,
所以对于任意整数n,
整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值都能被10整除。(共18张PPT)
第一章 　整式的乘除
1.同底数幂的乘法法则
同底数幂相乘,底数不变,指数　 　,即am·an=　 　(m,n都是正整数)。
推广:am·an·ap=am+n+p。
2.同底数幂的乘法法则的逆用
am+n=　 　(m,n为正整数)。
第1课时　同底数幂的乘法
相加
am+n
am·an
探究点1　同底数幂的乘法法则
例1　计算:
(1)104×10;
(2)2n·2n+3;
解:(1)104×10=104+1=105。
(2)2n·2n+3=2n+n+3=22n+3。
(3)-a2·a6;
(4)(x-y)(x-y)n-3。
解:(3)-a2·a6=-a2+6=-a8。
(4)(x-y)(x-y)n-3
=(x-y)1+n-3
=(x-y)n-2。
1.(2025罗湖区期末)37×37的值是( )
A.39 B.314
C.35 D.311
2.填空:
(1)(a+b)3m·(b+a)m+n=　 　;
(2)-x3·(-x)3·(-x)4=　 　;
(3)(x-y)6·(y-x)6=　 　。
B
(a+b)4m+n
x10
(x-y)12
探究点2　同底数幂的乘法法则的逆用
例2　已知am=4,an=16,求am+n的值。
解:am+n
=am·an
=4×16
=64。
3.已知3m=x,3n=y,其中m,n为正整数,则3m+n的结果为( )
A.xy B.x+y
C.3xy D.3x+3y
4.若am=3,am+n=9,则an的值为　 　。
A
3
1.若2n×2m=26,则m+n等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.已知xa+b·x2b-a=x9,求(-3)b+(-3)3的值。
D
解:因为xa+b·x2b-a=x9,
所以a+b+2b-a=9,
解得b=3,
所以(-3)b+(-3)3
=(-3)3+(-3)3
=-27-27
=-54。
3.已知2x+2=y,求2x+5的值。
解:当2x+2=y时,
2x+5=2x+2+3=2x+2·23=y·8=8y。
1.下列计算,正确的是( )
A.b4·b4=2b4
B.a3·a2=a6
C.x5·x5=x10
D.y2·y·y8=y10
2.化简(-x)3·(-x)2的结果为( )
A.-x6 B.x6
C.x5 D.-x5
C
D
3.(2025佛山月考)已知2m=4,2n=8,则2m+n等于( )
A.12 B.-4
C.32 D.48
4.已知x+y-3=0,则2x·2y的值为( )
A.64 B.8
C.6 D.12
5.一个长方体的长、宽、高分别为a2,a,a3,则这个长方体的体积是　 　。
C
B
a6
6.计算:
(1)-x5·x2·x10;
(2)(-2)9×(-2)8×(-2)3。
解:(1)-x5·x2·x10
=-x5+2+10
=-x17。
(2)(-2)9×(-2)8×(-2)3
=(-2)9+8+3
=(-2)20
=220。
7.(2025清远期末)下列计算正确的是( )
A.(-a)2·(-a)=a2
B.(-a)·(-a)=a2
C.(-a)2·(-a)=a3
D.(-a)2·(-a)2=-a4
8.(2025梅州月考)在等式x2·(-x)·(　　)=x11中,括号内的代数式为( )
A.x8 B.(-x)8
C.-x9 D.-x8
B
D
9.已知2x=5,则2x+3的值是( )
A.8 B.15 C.40 D.125
10.若a·a3=a□,则□中的数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.(2025茂名期中)计算:a5·(-a)2=　 　。
12.若m+2=3,则2m·22=　 　。
13.计算:(x-y)3·(y-x)2=　 　(结果用幂的形式表示)。
14.若2n+2n+2n+2n=212,则n=　 　。
C
D
a7
8
(x-y)5
10
15.(2025东莞模拟改编)规定a*b=3a·3b。
(1)求1*2的值;
(2)若2*(x+1)=34,求x的值。
解:(1)因为a*b=3a×3b,
所以1*2=31×32=3×9=27。
(2)因为2*(x+1)=34,
所以32×3x+1=34,则2+x+1=4,
解得x=1。
16.若a,b是正整数,且满足3a×3a×3a=3b+3b+3b,则下列a与b关系正确的是( )
A.a+b=3 B.2a+b=3
C.3a-b=1 D.3a-2b=1
17.(2025顺德区段考)设5m=x,5n=y,则5m+n+3等于( )
A.125xy B.x+y+15
C.x+y+125 D.15xy
C
A
18.[新定义]定义:如果ac=b,那么c为(a,b)的“幸福指数”,记为L(a,b)=c。例如 32=9,那么2为(3,9)的“幸福指数”,记为L(3,9)=2。
(1)填空:L(2,8)=　　　　;
(2)若(-3,x)的“幸福指数”为3,(y,-8)的“幸福指数”也为3,求x+y的值。
解:(1)3
(2)因为(-3,x)的“幸福指数”为3,
所以x=(-3)3=-27。
因为(y,-8)的“幸福指数”也为3,
所以y3=-8。
所以y=-2。
所以x+y=-27+(-2)=-29。(共19张PPT)
1.积的乘方法则
积的乘方等于把积的每一个因式分别　 　,再把所得的幂　 ,即(ab)n=
　 　(n是正整数)。
2.积的乘方法则的逆用
anbn=　 　(n是正整数)。
第3课时　积的乘方
乘方
相乘
anbn
(ab)n
探究点1　积的乘方法则
例1　计算:
(1)(2x)2;
(2)(-2a)3;　
解:(1)(2x)2=22x2=4x2。
(2)(-2a)3=(-2)3a3=-8a3。
(3)(-xy2)4;
(4)(2a2)n(n为正整数)。
解:(3)(-xy2)4=(-x)4(y2)4=x4y8。
(4)(2a2)n=2n(a2)n=2na2n。
积的乘方运算时的“四点”注意
(1)当底数为多个因式时,不能漏掉某些因式的乘方;
(2)进行积的乘方时,不能忽略“-”号;
(3)进行积的乘方时,系数不能与幂指数相乘;
(4)注意运算顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减。
1.若am=4,bm=9(m是正整数),则(ab)m的值为　 　。
36
(2)-(-3a2b3)4=-81a8b12。
探究点2　积的乘方法则的逆用
例2　小明使用比较简便的方法完成了一道作业题,如下:
小明的作业
计算:85×(-0.125)5。
解:85×(-0.125)5=(-8×0.125)5=(-1)5=-1。
请你参考小明的方法解答下列问题。
计算:
(1)42 025×(-0.25)2 025;
解:(1)42 025×(-0.25)2 025
=(-4×0.25)2 025
=(-1)2 025
=-1。
3.若mn2=3,则m2n4的值为　 　。
9
D
2.计算:
(1)(-x3y2)5;
解:(1)(-x3y2)5
=-x3×5y2×5
=-x15y10。
(2)(2×102)3。
解:(2)(2×102)3
=23×102×3
=8×106。
3.某养鸡场需采购一批棱长为3×102 mm的正方体鸡蛋包装箱(包装箱的厚度忽略不计),求一个这样的包装箱的容积(结果用科学记数法表示)。
解:(3×102)3
=33×(102)3
=27×106
=2.7×107(mm3)。
所以一个这样的包装箱的容积是2.7×107 mm3。
1.计算(-2a3)2的结果是( )
A.4a6 B.2a6
C.4a5 D.2a5
2.下列各式计算正确的是( )
A.(xy2)3=xy6
B.(3ab)2=6a2b2
C.(-2x2)2=-4x4
D.(a2b3)m=a2mb3m
A
D
3.下列各图中,能直观解释“(3a)2=9a2”的是( )
4.若(a4bn)2=a8b6,则n的值是( )
A.6 B.4 C.3 D.5
5.若一个正方体的棱长是3a2b3 cm,则这个正方体的体积是　 　cm3。
C
C
27a6b9
6.计算:
(1)(xy4)m;
(2)-(p2q)n;
(3)(-3x3)2-[(2x)2]3。
解:(1)(xy4)m=xmy4m。
(2)-(p2q)n=-p2nqn。
(3)(-3x3)2-[(2x)2]3
=9x6-64x6
=-55x6。
20
72
9.计算:
(1)45×(-0.25)5;
解:(1)45×(-0.25)5
=(-4×0.25)5
=(-1)5
=-1。
(2)810×(-0.125)10。
解:(2)810×(-0.125)10
=(-0.125×8)10
=(-1)10
=1。
10.(2025南海区月考)32a=2b,6b=81,则2a+b等于( )
A.4 B.6 C.8 D.-8
11.(1)已知2x+3·3x+3=36x-2,求x的值;
A
解:(1)2x+3·3x+3=6x+3,36x-2=62(x-2)。
因为2x+3·3x+3=36x-2,
所以x+3=2(x-2)。
所以x=7。
(2)已知3·2x+1·4x+1=192,求x的值。
解:(2)3×2x+1×4x+1
=3×2x+1×22x+2
=3×23x+3。
因为3×2x+1×4x+1=192,
所以23x+3=64。
所以23x+3=26。
所以3x+3=6。
所以x=1。(共19张PPT)
1.单项式除以单项式法则
单项式相除,把系数、　 　　分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。
2.多项式除以单项式法则
多项式除以单项式,先把这个多项式的　 　分别除以单项式,再把所得的商
　 　。
第10课时　整式的除法
同底数幂
每一项
相加
探究点1　单项式除以单项式的法则
例1　计算:
(1)3a3b·(-2ab)÷6a2b;
解:(1)3a3b·(-2ab)÷6a2b
=-6a4b2÷6a2b
=-a2b。
(2)3x6y3÷14x4y3·(-7xy2)。
1.计算:
(1)(5x2y3)2÷25x4y5;
(2)(-3x2y)2·6xy3÷9x3y4。
解:(1)(5x2y3)2÷25x4y5
=25x4y6÷25x4y5
=y。
(2)(-3x2y)2·6xy3÷9x3y4
=9x4y2·6xy3÷9x3y4
=54x5y5÷9x3y4
=6x2y。
2.某中学新建了一栋科技楼,为了给该楼一间科技陈列室的顶棚装修,计划用宽为x m、长为30x m的塑料扣板,已知这间科技陈列室的长为5ax m、宽为3ax m,如果你是该校的采购人员,应该至少购买多少块这样的塑料扣板 当a=4时,求出具体的扣板数。
探究点2　多项式除以单项式的法则
例2　计算:
(1)(24x3+12x2-4x)÷6x;
(2)(15x4y2-12x2y3-3x2)÷(-3x2)。
(2)(15x4y2-12x2y3-3x2)÷(-3x2)
=15x4y2÷(-3x2)-12x2y3÷(-3x2)-3x2÷(-3x2)
=-5x2y2+4y3+1。
3.计算:
(1)(6a3b-9a2c)÷3a2;
(2)(8x4+4x3-x2)÷(-2x)2。
解:(1)(6a3b-9a2c)÷3a2
=6a3b÷3a2-9a2c÷3a2
=2ab-3c。
4.已知一个三角形的面积为8x3y2-4x2y3,一条边长为8x2y2,求这条边上的高。
解:根据题意,知这条边上的高为
2(8x3y2-4x2y3)÷(8x2y2)
=(16x3y2-8x2y3)÷(8x2y2)
=2x-y。
探究点3　整式的混合运算
1.(2024 中山模拟)下列计算正确的是( )
A.(a2-ab)÷a=a-ab
B.3a2·a=3a3
C.(a-b)2=a2-b2
D.=a5
2.有一个圆柱形的塑料桶,体积是3πx3+6πx2,底面半径为x,则这个塑料桶的高为( )
A.3x+6 B.3πx+6
C.3πx2+6πx D.3πx+6π
3.与单项式3a的积是18a3-6a2+3a的多项式是　 　。
B
A
6a2-2a+1
1.计算12a4b3c÷(-4a3b2)的结果是( )
A.3a2bc B.-3a2bc
C.-3abc D.3abc
2.一个长方形的面积为6x2y-9xy3+3xy,长为3xy,则这个长方形的宽是　 　。
C
2x-3y2+1
3.计算:
(1)6a2b÷(-2ab);
(2)(3x2)3·(-4y3)2÷(6x2y)3。
解:(1)6a2b·÷(-2ab)
=6÷(-2)a2-1b1-1
=-3a。
(2)(3x2)3·(-4y3)2÷(6x2y)3
=27x6·16y6÷216x6y3
=2x6-6y6-3
=2y3。
4.(2025深圳开学)化简求值:[(x-y)2-x(3x-2y)+(x+y)(x-y)]÷2x,其中x=1,y=-2。
B
6.[教材P28习题T3改编]图(1)的瓶子中盛满了水,如果将这个瓶子中的水全部倒入图(2)的杯子中,请回答以下问题(单位: cm)。
(1)求杯子的容积(用含a的代数式表示)。
图(1)　　 图(2)
(2)当H=1,h=2时,一共需要多少个这样的杯子
7.如图所示,淇淇和嘉嘉做数学游戏。请根据图中所给的信息求淇淇猜中的数字是多少。
解:设嘉嘉抽中的牌的点数为x,
则(2x+6)÷2-x=x+3-x=3。
所以淇淇猜中的数字是3。(共19张PPT)
多项式乘多项式
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的　 　,再把所得的积相　 　,即(m+n)(a+b)=　 　。
第7课时　多项式乘多项式
每一项
加
ma+mb+na+nb
探究点1　多项式乘多项式
例1　对于多项式乘多项式(a+b)(m+n)。
(1)若把(a+b)看作一个整体,则(a+b)(m+n)=(a+b)m+　 　 =　 　,运用了　 　律;
(2)若把(m+n)看作一个整体,则(a+b)·(m+n)=(m+n)a+　 =　 　。
结论:(a+b)(m+n)=　 　。
(a+b)n
am+bm+an+bn
乘法分配
(m+n)b
am+an+bm+bn
am+bm+an+bn
1.下列多项式相乘的结果为x2-4x-12的是( )
A.(x+3)(x-4) B.(x+2)(x-6)
C.(x-3)(x+4) D.(x+6)(x-2)
2.计算:
(1)(3x-2)(x-1);
B
解:(1)(3x-2)(x-1)
=3x·x-3x·1-2x+2
=3x2-3x-2x+2
=3x2-5x+2。
(2)(x2+1)(2-x2);
(3)(3+2y)(9-6y+4y2)。
解:(2)(x2+1)(2-x2)
=2x2-x2·x2+1×2-1·x2
=2x2-x4+2-x2
=-x4+x2+2。
(3)(3+2y)(9-6y+4y2)
=3×9-3·6y+3·4y2+2y·9-2y·6y+2y·4y2
=27-18y+12y2+18y-12y2+8y3
=8y3+27。
探究点2　多项式乘多项式的实际应用
例2　为了更好地开展劳动教育,某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造,已知该地块(如图所示)是长为(a+4b)m,宽为(a+3b)m的长方形地块,学校准备在该地块内修一条平行四边形小路,小路的底边宽为a m,并计划将阴影部分改造为种植区。
(1)用含有a,b的式子分别表示出小路面积S1和种植区的总面积S2(结果化为最简);
(2)若a=2,b=4,求出此时种植区的总面积S2。
解:(1)由题意可得
S1=a(a+4b)=(a2+4ab)(m2),
S2=(a+3b)(a+4b)-(a2+4ab)
=a2+4ab+3ab+12b2-a2-4ab
=(3ab+12b2)(m2)。
(2)当a=2,b=4时,
S2=3ab+12b2=3×2×4+12×42
=24+192
=216(m2)。
B
4.为了提高业主的宜居环境,小区准备在一个长为(6a+5b)m,宽为(5b-a)m的长方形草坪上修建一横一竖互相垂直且宽度均为a m的通道(如图所示)。请用含a,b的式子表示剩余草坪的面积。
解:由题意,得剩余草坪的面积为
(5b-a-a)(6a+5b-a)
=(5b-2a)(5a+5b)
=(25b2-10a2+15ab)m2。
答:剩余草坪的面积为(25b2-10a2+15ab)m2。
1.若(x+3)(x-9)=x2+mx-27,则m的值是( )
A.6 B.-6 C.12 D.-12
2.(2025揭阳期末)已知a2+a=3,则(2a-4)·(a+3)的值是　 　。
3.化简求值:
(3a+1)(2a-3)-(4a-5)(a-4),其中a=-2。
B
-6
解:(3a+1)(2a-3)-(4a-5)(a-4)
=6a2-9a+2a-3-4a2+16a+5a-20
=2a2+14a-23。
当a=-2时,原式=2×(-2)2+14×(-2)-23=-43。
4.已知多项式(x2+px+q)(x2-3x+2)的结果中不含x3项和x2项,求p和q的值。
解:因为(x2+px+q)(x2-3x+2)=x4-3x3+2x2+px3-3px2+2px+qx2-3qx+2q
=x4-(3-p)x3+(2-3p+q)x2+2px-3qx+2q,
由多项式(x2+px+q)(x2-3x+2)的结果中不含x3项和x2项,所以3-p=0,2-3p+q=0。
解得p=3,q=7。
1.观察图(1)中多项式乘多项式的运算规律,将之迁移到如图(2)所示的运算中,可得
m,n(mA.-5,-2 B.-5,2
C.-2,5 D.5,2
B
2.若x+y=3且xy=2,则代数式(3-x)(3-y)的值等于( )
A.2 B.1
C.-2 D.0
3.(2025东莞模拟)公园里有一个长方形花坛,原来长为2x,宽为x,现在要把花坛四周均向外扩展2y,扩展后的长方形花坛的长为2x+2y,宽为x+2y,则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加　 　。
A
6xy+4y2
解:(1)(x+5)(x+7)
=x2+7x+5x+35
=x2+12x+35。
(3)(-a-3)(-a+5)。
解:(3)(-a-3)(-a+5)
=a2-5a+3a-15
=a2-2a-15。
5.(2025南海区期末节选)已知有甲、乙两个长方形,它们的边长如图所示(m为正整数),面积分别为S1,S2。
请分别用含m的式子表示出S1,S2,并判断S1与S2的大小关系。
解:由题意,得
S1=(m+7)(2m+2)=2m2+16m+14,
S2=(2m+5)(m+3)=2m2+11m+15,
所以S1-S2=(2m2+16m+14)-(2m2+11m+15)=2m2+16m+14-2m2-11m-15=5m-1。
因为m为正整数,所以5m-1>0。所以S1>S2。
6.[代数推理]李老伯把一块长为a m,宽为b m(a>b>100)的长方形土地租给租户张老伯,第二年,他对张老伯说:“我把这块地的长增加10 m,宽减少10 m,继续租给你,租金不变,你也没有吃亏,你看如何 ”你觉得张老伯的租地面积会( )
A.变小 B.变大
C.没有变化 D.无法确定
7.(2025梅州月考)如图所示,正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类若干张,如果要拼一个长为(a+2b),宽为(a+b)的大长方形,则需要C类卡片　 　张。
A
3
8.在计算(3x+a)(x+b)时,甲错把b看成了6,得到的结果是3x2+9x-54;乙错把a看成了-a,得到的结果是3x2+21x+36,求a+b的值。
解:因为甲错把b看成了6,得到结果是3x2+9x-54,
所以(3x+a)(x+6)=3x2+(a+18)x+6a=3x2+9x-54。
因为乙错把a看成了-a,得到结果3x2+21x+36,所以(3x-a)(x+b)=3x2+(-a+3b)x-ab=3x2+21x+36。
所以a+18=9,-a+3b=21。
解得a=-9,b=4,
所以a+b=-9+4=-5。
9.先观察下列各式,再解答后面问题:(x+5)(x+6)=x2+11x+30;(x-5)(x-6)=x2-11x+30;(x-5)(x+6)=x2+x-30。
(1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系
(2)根据以上各式呈现的规律,用公式表示出来。
解:(1)两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数,常数项的积等于乘积中的常数项。
(2)(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab。
(3)试用你写的公式,直接写出下列两式的结果:
①(a+99)(a-100)=　　　　　　　　;
②(y-500)(y-81)=　　　　　　　　。
解:(3)①a2-a-9 900　②y2-581y+40 500(共19张PPT)
1.完全平方公式:
(a+b)2=　 　,(a-b)2=　 　。即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。
2.结构特点
(1)左边是两数和(差)的平方;(2)右边是这两数的平方和加上(减去)这两数积的两倍。
即“首平方,尾平方,首尾2倍放中央,符号看前方”。
第9课时　完全平方公式
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
探究点1　完全平方公式
例1　利用完全平方公式计算:
(1)(3x+1)2;
解:(1)(3x+1)2
=(3x)2+2·3x·1+12
=9x2+6x+1。
解:(2)(-x+4)2
=(-x)2+2·(-x)·4+42
=x2-8x+16。
-6
(3)952+10×95+52。
解:(3)952+10×95+52
=952+2×95×5+52
=(95+5)2
=10 000。
探究点2　用图形验证完全平方公式
例2　利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式,根据如图所示的图形得到的数学公式为　 　。
(a-b)2=a2-2ab+b2
3.通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个数学等式,用这种方法可得到整式乘法中的一些运算法则或公式,利用如图所示的图形可得的乘法公式为
　 　。
(a+b)2=a2+2ab+b2
探究点3　完全平方公式的应用
例3　如图(1)所示的是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图(2)的方式拼成一个正方形。
(1)图(2)中阴影部分的正方形的边长等于　　　　　　。
(2)请用两种不同的方法列代数式表示图(2)中阴影部分的面积。
方法一:　　　　　　　　　　;
方法二:　　　　　　　　　　。
解:(1)m-n
(2)(m-n)2　(m+n)2-4mn
(3)观察图(2),试写出(m+n)2,(m-n)2,mn这三个代数式之间的等量关系: 　。
(4)根据(3)题中的等量关系,解决如下问题:若a+b=5,ab=2,求(a-b)2及a2+b2的值。
解:(3)(m-n)2=(m+n)2-4mn
(4)因为(a-b)2=(a+b)2-4ab,a+b=5,ab=2,
所以(a-b)2=52-4×2=17,
a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×2=21。
4.某校七(1)班同学参加了学校“科技点亮未来”的创新比赛,用硬纸板制作了宣传版画,它由一个三角形、两个梯形组成,相关尺寸如图所示。
(1)用含a,b的代数式表示宣传版画的总面积(结果需化简);
D
3
3.用正方形面积来说明公式:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc。
解:如图所示。
(a+b+c)2=S1+S2+S3+…+S9=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc。
1.若4y2-my+16可以配成一个完全平方的形式,则m的值为( )
A.-8 B.±8 C.16 D.±16
2.小明在利用完全平方公式计算一个二项式的平方时,不小心用墨水把中间一项的系数染黑了,得到正确的结果为4a2■ab+9b2,则■是( )
A.12 B.-12
C.12或-12 D.36
3.若(x+k)2=x2+24x+k2,则k的值为　 　。
4.已知一个正方形木板的边长为3m,若它的边长减少2n,则它的面积减少了　 　。
D
C
12
12mn-4n2
解:(1)(2x+7y)2=(2x)2+2·2x·7y+(7y)2=4x2+28xy+49y2。
(3)(-4x+y)2=(-4x)2+2·(-4x)·y+y2=16x2-8xy+y2。
6.若a+2b=7,ab=6,则(a-2b)2的值是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
7.(2025梅州期中)已知(x+y)2=9,(x-y)2=1,则x2+y2的值为( )
A.4 B.5 C.8 D.10
8.小聪同学在学习了“整式的乘法”“乘法公式”两节课后,发现学习内容是逐步特殊化的过程,请在横线上填写适当的代数式,感受这种特殊化的学习过程。
①填:　 　;
②填:　 　。
C
B
-y
(x+y)2=x2+2xy+y2
9.(2025宝安区期中)对于任意有理数a,b,c,d,我们规定(a,b)☆(c,d)=a2-bc+d2。
(1)填空:对于有理数x,k,若(x,k)☆(x,1)=(x±1)2,则k=　　　　;
解:(1)±2　
(2)对于有理数x,y,若x+y=12,(x+y,y)☆(2x+y,y)=104。
①求xy的值;
解:(2)①由题意知,
因为(x+y,y)☆(2x+y,y)=104,
所以(x+y)2-(2x+y)y+y2=x2+y2=104。
因为x+y=12,
所以(x+y)2=x2+2xy+y2=144。
所以2xy=40。所以xy=20。
②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式进行放置,点E在边CD上,连接BD,BF。若AB=
2x,AD=x,EF=2y,FG=y,求图中阴影部分的面积。(共18张PPT)
单项式乘单项式
单项式与单项式相乘,把它们的系数、　 　分别相乘,其余字母连同它的指数　 ,作为积的因式。
第5课时　单项式乘单项式
相同字母的幂
不变
探究点1　单项式乘单项式
例1　计算:
(1)2x2·3x2y;
解:(1)2x2·3x2y
=(2×3)·(x2·x2)y
=6x4y。
(2)-5a2b·(-2b2);
(3)(4x2y)2·(-3xy2)。
解:(2)(-5a2b)(-2b2)
=[(-5)×(-2)]·a2·(b·b2)
=10a2b3。
(3)(4x2y)2·(-3xy2)
=(16x4y2)·(-3xy2)
=16×(-3)·(x4·x)(y2·y2)
=-48x5y4。
1.若单项式-5x2ym+1与2xn-1y2是同类项,那么这两个单项式的积是　 　。
2.计算:
(1)3mn·(-2m2n3);
(2)-xy2z3·(-x2y)3;
-10x4y4
解:(1)3mn·(-2m2n3)
=3×(-2)·(m·m2)(n·n3)
=-6m3n4。
(2)-xy2z3·(-x2y)3
=(-1)×(-1)(x·x6)(y2·y3)z3
=x7y5z3。
探究点2　单项式乘单项式的应用
例2　光在真空中的传播速度约是3×108 m/s,光在真空中传播1年所经过的距离称为1光年。1年以3×107 s计算,1光年约是多少千米
解:(3×108)×(3×107)
=(3×3)×(108×107)
=9×1015(m)。
9×1015 m=9×1012 km。
所以1光年约是9×1012 km。
3.某种型号的计算机每秒可做4×108次运算,它工作3×103秒运算的次数为( )
A.12×1024
B.1.2×1012
C.12×1012
D.12×108
B
4.某市环保部门将一个长为2×106 dm,宽为 4×104 dm,高为8×102 dm的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化,那么请你想一想,能否恰好有一个正方体贮水池将这些废水刚好装满 若有,求出正方体贮水池的棱长;若没有,请说明理由。
解:有。
因为(2×106)×(4×104)×(8×102)
=64×1012
=(4×104)3,
所以正方体贮水池的棱长为4×104 dm。
1.如图所示,甲、乙、丙三人合作完成一道计算题目,规则是:每人只能看到前一个人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人。自己负责的一步出现错误的是( )
A.只有甲 B.乙和丙
C.甲和丙 D.甲、乙、丙
C
3.已知-2x3m+1y2n与4x-3y4的积与-4x4y2是同类项。
(1)求m,n的值;
解:(1)由题意,可知
-2x3m+1y2n×4x-3y4=-8x3m-2y2n+4。
因为-8x3m-2y2n+4与-4x4y2是同类项,
所以3m-2=4,4+2n=2。
所以m=2,n=-1。
(2)先化简,再求值:5m3n·(-3n)2+(6mn)2·(-mn)-mn3·(-4m)2。
解:(2)5m3n·(-3n)2+(6mn)2·(-mn)-mn3·(-4m)2
=45m3n3-36m3n3-16m3n3
=-7m3n3。
当m=2,n=-1时,
原式=-7×8×(-1)=56。
1.计算3a2·(-3a)的结果是( )
A.9a3 B.-9a3
C.6a3 D.-6a3
2.下列计算错误的是( )
A.3x2·2x3=6x5
B.2ab2·(-3a4b)2=18a9b4
C.-ac2·(-7ab2)=7ab2c2
D.34ax·2by=68abxy
B
C
3.(2025中山月考)如图所示,该图形的面积是( )
A.5.5xy
B.6.5xy
C.6xy
D.3xy
4.已知一个圆的半径为a2b,若一个扇形的面积是圆面积的ab倍,则这个扇形的面积为
　 。
5.若ab3=-2,则(-3ab)·2ab5的值为　 　。
A
πa5b3
-24
解:(1)2x2·3xy=6x3y。
7.(2025广州模拟)某商场四月份售出某品牌衬衣b件,每件 c元,营业额a元。五月份采取促销活动,售出该品牌衬衣3b件,每件打8折,则五月份该品牌衬衣的营业额比四月份增加( )
A.1.4a元 B.2.4a元
C.3.4a元 D.4.4a元
A
36
10.已知1+2+3+…+n=m,求(abn)·(a2bn-1)·…·(an-1b2)·(anb)的值。
解:因为1+2+3+…+n=m,
所以(abn)·(a2bn-1)·…·(an-1b2)·(anb)=a1+2+3+…+nbn+n-1+…+1=ambm。(共24张PPT)
1.同底数幂的除法法则及逆用
(1)同底数幂相除,底数不变,指数　 　,即am÷an=　 　(a≠0,m,n都是正整数,且 m>n);
(2)am-n=　 　(a≠0,m,n都是正整数,且m>n)。
第4课时　同底数幂的除法
相减
am-n
am÷an
2.零指数幂和负整数指数幂
(1)规定:a0=　 　(a≠0),即任何不等于零的数的0次幂都等于　 　;
(2)a-p=　 　(a≠0,p是正整数),即任何不为零的数的-p(p是正整数)次幂等于这个数的p次幂的　 　。
1
1
倒数
探究点1　同底数幂的除法法则
例1　计算:
(1)m6÷m4;
(2)(-x)7÷(-x)3;
解:(1)m6÷m4=m6-4=m2。
(2)(-x)7÷(-x)3=(-x)7-3=(-x)4=x4。
(3)(ab)5÷ab;
(4)am+1÷a2(m>1);
(5)(x-y)5÷(x-y)2。
解:(3)(ab)5÷ab=(ab)5-1=(ab)4=a4b4。
(4)am+1÷a2=am+1-2=am-1。
(5)(x-y)5÷(x-y)2=(x-y)5-2=(x-y)3。
1.下列计算正确的是( )
A.a6÷a2=a3
B.a6÷a2=a4
C.a2÷a2=a
D.a6÷a2=4
B
2.计算:
(1)-a5÷a2;
(2)(-m)10÷(-m);
(3)(s5)2÷s5;
解:(1)-a5÷a2=-a5-2=-a3。
(2)(-m)10÷(-m)=(-m)10-1=-m9。
(3)(s5)2÷s5=s10÷s5=s10-5=s5。
探究点2　同底数幂的除法法则的逆用
例2　已知am=3,an=9,求a3m-n的值。
解:当am=3,an=9时,
a3m-n=a3m÷an=(am)3÷an=33÷9=3。
3.若3a=27,3b=3,则3a-b的值为( )
A.-9 B.-3 C.9 D.3
4.已知m,n为正整数,且xn=4,xm=8。
(1)求xm-n的值;
(2)求x3m-2n的值。
C
解:(1)xm-n=xm÷xn=8÷4=2。
(2)x3m-2n=x3m÷x2n=(xm)3÷(xn)2=83÷42=32。
探究点3　零指数幂和负整数指数幂
8
探究点4　用科学记数法表示绝对值较小的数
例4　用科学记数法表示下列各数:
(1)成人每天需要维生素D的摄入量约为0.000 004 6 g;
(2)某医学家发现了一种病毒,其长度约为0.000 000 29 mm;
(3)1粒某种药丸的质量约为0.156 g。
解:(1)0.000 004 6=4.6×10-6。
(2)0.000 000 29=2.9×10-7。
(3)0.156=1.56×10-1。
用科学记数法a×10n表示绝对值较小的数时,n的确定方法
(1)查0法,第一个非0的数字前,有几个0,n就等于负几;
(2)挪位法,小数点向后挪位到第一个非0数字后面,挪几位,n就等于负几。
7.2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家,以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”。什么是阿秒 1阿秒是10-18 s。目前世界上最短的单个阿秒光脉冲是43阿秒,将43阿秒用科学记数法表示为　 　s。
4.3×10-17
A
1.下列运算正确的是( )
A.x3÷x3=0
B.(a6)2÷(a4)3=1
C.(a3)2÷a4=a
D.(ab2)3÷(-ab)2=-ab4
B
2.(2025潍坊期末)嫦娥五号返回器携带月壤安全着陆,标志着中国航天事业向前又迈出了一大步。如果嫦娥五号返回器在接近大气层时,飞行1 m大约需要8.9×10-5 s。将数据8.9×10-5用小数表示为　 　。
3.若式子(x-2)-2有意义,则x的取值范围是　 　。
4.已知am=4,an=2,则a3m-2n的值是　 　。
0.000 089
x≠2
16
解:(1)(-1)-3×(-2)0=-1×1=-1。
(4)(xy)5÷(-xy)2=(xy)5-2=(xy)3=x3y3。
6.已知(am)n=a2,22m÷22n=28。求mn和m-n的值。
解:因为(am)n=a2,
所以amn=a2。所以mn=2。
因为22m÷22n=28,所以22m-2n=28。
所以2m-2n=8。
所以m-n=4。
(x+y)m+2
1
9.(2025河源期末)(1)已知3·3t-1=313,求t的值;
(2)已知am=4,an=2,求a2m-3n的值。
解:(1)由条件可知3t-1+1=313,
所以t-1+1=13,所以t=13。
(2)由条件可知(am)2=42,(an)3=23,
所以a2m=16,a3n=8。
所以a2m-3n=a2m÷a3n=16÷8=2。
10.[分类讨论]小明学习了“幂的运算”后做了这样一道题:若(2x-3)x+3=1,求x的值。小明的解答过程如下:
解:因为1的任何次幂都为1,
所以2x-3=1,解得x=2。
故(2x-3)x+3=(2×2-3)2+3=15=1。
所以x=2。
老师说小明考虑问题不全面,请你写出正确的解答过程。
解:①因为1的任何次幂都为1,
所以2x-3=1,解得x=2。
所以(2x-3)x+3=(2×2-3)2+3=15=1。
所以x=2。
②因为-1的任何偶次幂也都是1,
所以2x-3=-1,解得x=1。
当x=1时,x+3=4是偶数,所以x=1。
③因为任何不是0的数的0次幂也是1,所以x+3=0,解得x=-3。
当x=-3时,2x-3=-9≠0,所以x=-3。
综上可知,x的值为-3,1或2。(共19张PPT)
单项式乘多项式
单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相
　 　,即m(a+b+c)=　 　(m,a,b,c都是单项式)。
第6课时　单项式乘多项式
加
ma+mb+mc
探究点1　单项式乘多项式
例1　计算:
(1)(-4x)(2x2+3x-1);
解:(1)(-4x)(2x2+3x-1)
=(-4x)·2x2+(-4x)·3x+(-4x)·(-1)
=-8x3-12x2+4x。
B
探究点2　单项式乘多项式的实际应用
D
4.(2025江门期末)一段防洪堤坝的横断面是梯形,其上底为a m,下底为(a+2b)m,坝高
2a m。
(1)求这段防洪堤坝的横断面面积S。
(2)如果这段防洪堤坝长200 m,那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米
(2)(2a2+2ab)·200
=(400a2+400ab)(m3)。
所以这段防洪堤坝的体积是(400a2+400ab)m3。
2.某同学计算一个多项式乘-3x2时,因抄错符号,算成了加上-3x2,得到的答案是x2-2x+1。
(1)求这个多项式。
(2)正确的计算结果应该是多少
解:(1)这个多项式是
x2-2x+1-(-3x2)
=x2-2x+1+3x2
=4x2-2x+1。
(2)正确的计算结果为
(4x2-2x+1)·(-3x2)
=-12x4+6x3-3x2。
3.如图所示是用相同材料制作的A,B两种造型的长方形窗框,已知窗框的宽都是x m,长都是y m。
(1)制作这两种造型的窗框各一个,共需要多少材料
解:(1)根据题意,得制作一个A型窗框需要材料(3x+2y)m,制作一个B型窗框需要材料(2x+3y)m,则(3x+2y)+(2x+3y)=(5x+5y)(m),
即制作这两种造型的窗框各一个,共需要(5x+5y)m的材料。
(2)若一位用户需要A型的窗框5个,B型的窗框3个,且这种材料每米的价格为 a元,这位用户共需要花多少钱(接缝处忽略不计)
解:(2)共需材料的长度为
5(3x+2y)+3(2x+3y)
=15x+10y+6x+9y
=(21x+19y)(m),
a(21x+19y)=(21xa+19ya)(元),
即这位用户共需要花(21xa+19ya)元。
1.计算a(a+b-c)的结果是( )
A.a2+ab+ac B.a2+ab-ac
C.a+ab+ac D.a+b-ac
2.一个长方体的长、宽、高分别为2x-1,2x,x2,则它的体积为( )
A.4x4-4x2 B.4x4-2x3
C.4x3-2x2 D.4x4
3.若A=3x-2,B=1-2x,C=-6x,则C·B+A·C=　 　。
B
B
-6x2+6x
4.计算:
(1)-5x(3x2-4x+5);
(2)(-a2b)2(2a-ab+3b);
解:(1)(-5x)·(3x2-4x+5)
=(-5x)·3x2+(-5x)·(-4x)+(-5x)·5
=-15x3+20x2-25x。
(2)(-a2b)2(2a-ab+3b)
=a4b2(2a-ab+3b)
=a4b2·2a+a4b2·(-ab)+a4b2·3b
=2a5b2-a5b3+3a4b3。
(3)-2xn(-3xn+1+4xn-1)。
解:(3)-2xn(-3xn+1+4xn-1)
=(-2xn)·(-3xn+1)+(-2xn)·(4xn-1)
=6x2n+1-8x2n-1。
6.(2025梅州期末)某同学在计算-3x加上一个多项式时错将加法做成了乘法,得到的答案是3x3-3x2+3x,由此可以推断出正确的计算结果是( )
A.-x2-2x-1
B.x2+2x-1
C.-x2+4x-1
D.x2-4x+1
A
D
B
9.小明外祖母家的住房装修三年后,地砖出现破损,破损部分的图形如图所示。现有
A,B,C三种地砖可供选择,请问需要A砖　 　块,B砖　 　块,C砖　 　块。
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