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第18章 矩形、菱形与正方形
18.1 矩形
2.矩形的判定
第1课时 矩形的判定定理1，2
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木工师傅制作四边形窗框后,需要检测所制作的窗框是否是矩形.现在有一根足够长的绳子和一把直角尺,他该怎么做 你能帮帮他吗 你的依据是什么呢
本题的实质就是如何判定一个四边形是矩形.我们知道,平行四边形的定义是判定平行四边形的一种方法,那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法,即有一个角是直角的平行四边形是矩形.
用几何语言表示为:∵在平行四边形ABCD中,∠A=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形.
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除定义外,我们能否找到其他判定矩形的方法 如何找到这些判定方法并应用,就是本节课要学习的内容.
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任务一:探究矩形的判定定理
问题1:通过前面的学习,我们知道矩形是特殊的平行四边形,它有如下性质,四个角都是直角,对角线相等.这些性质,对我们寻找判定矩形的方法有什么启示
平行四边形判定方法是如何得出的
平行四边形的判定定理实质上就是平行四边形性质的逆命题,是通过猜想、验证和逻辑推理的方法得到的.
可类比得出平行四边形判定定理的过程,得出矩形的判定方法.
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问题2:(1)先思考有关的角.“矩形的四个角都是直角”的逆命题是什么 成立吗 它可以作为判定一个图形是矩形的方法吗
逆命题:四个角都是直角的四边形是矩形.
它成立,因此确定满足条件的四边形一定是矩形,可以作为判定方法.
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(2) 四边形的内角和等于360°,因此四个角都是直角的条件能否再减少一些,即至少有几个角是直角的四边形是矩形
分一个角是直角、两个角是直角、三个角是直角的情况分析.
猜想:有三个角是直角的四边形是矩形.
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(3)你的猜想正确吗
①用尺规作图作一个三个角都是直角的四边形.
作法:
a.任意作两条互相垂直的线段AB、AD;
b.过点B作垂直于AB的直线l;
c.过点D作垂直于AD的直线m,与直线l相交于点C.
四边形ABCD即为所要求作的四边形.
观察你所作的图形,它是一个矩形吗
它是一个矩形.
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②你能证明你的猜想吗
已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证:四边形ABCD是矩形.
证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B +∠C=180°,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴四边形ABCD为平行四边形.
又∵∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°),
∴平行四边形ABCD为矩形(矩形的定义).
矩形的判定定理1:有三个角是直角的四边形是矩形.
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问题3:(1)现在再思考有关的线段.“对角线相等”是矩形所特有的性质.“矩形的对角线相等”的逆命题是什么 由此,你能得到关于矩形判定的什么猜想
逆命题:对角线相等的四边形是矩形.
对角线相等的四边形不一定是矩形.
猜想:如果一个平行四边形的两条对角线相等,那么这个平行四边形是矩形.
？
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(2)你能说明你的猜想正确吗
①画图验证:作一个对角线相等的平行四边形,观察它是否是矩形.
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作法:如图.
a.任意作两条相交的直线,交点记为O;
b.以点O为圆心、适当长为半径作弧,在两条直线上分别截取相等的四条线段OA、OB、OC、OD;
c.顺次连结所得的四个点.
四边形ABCD的两条对角线相等且互相平分,即为所要求作的四边形.
所作的平行四边形是矩形.
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②你能用逻辑推理的方法进行证明吗
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,AC=DB.
求证:四边形ABCD是矩形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC.
又∵AC=DB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB.
∵AB∥DC,∴∠ABC+∠DCB=180°,∴∠ABC=∠DCB=90°.
∴平行四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形) .
矩形的判定定理2:对角线相等的平行四边形是矩形.
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矩形的判定定理2:对角线相等的平行四边形是矩形.
这一判定方法在日常生活中经常被应用.例如,木工师傅在制作门框或其他矩形形状的物体时,常用测量对角线的方法,来检验产品是否符合要求.
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思考:矩形的定义及判定定理1,2有什么不同 它们各有几个条件
起始图形不同,矩形的定义和判定定理2是从平行四边形出发的,判定定理1是从一般四边形出发的.
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下列各句判定矩形的说法是否正确,为什么
(1)有一个角是直角的四边形是矩形;
(2)有四个角是直角的四边形是矩形;
(3)四个角都相等的四边形是矩形;
(4)对角线相等的四边形是矩形;
(5)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形;
不正确
正确
正确
不正确
不正确
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下列各句判定矩形的说法是否正确,为什么
(6)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;
(7)对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形;
(8)一组邻边垂直,一组对边平行且相等的四边形是矩形;
(9)两组对边分别平行,且对角线相等的四边形是矩形.
正确
不正确
正确
正确
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任务二:拓展与应用
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如果E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点,四边形EFGH是矩形吗
四边形EFGH是矩形.
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你能说说判定一个图形是矩形的方法吗
判定一个四边形是矩形,首先看这个四边形是否是平行四边形,再选择判定方法.当这个四边形是平行四边形时,只需证有一个角是直角或对角线相等即可;当这个四边形是一般四边形时,需证有三个角是直角或先证它是平行四边形,再证有一个角是直角或对角线相等.
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课堂评价
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课堂总结
1.通过本节课的学习,你学到了哪些内容
2.学习了本节课,你有何感想
作业设计
基础性作业:教材练习第1,3题.
提高性作业:教材习题18.1第1题.
拓展性作业:用多种方法完成情境引入中的问题.

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