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第18章 矩形、菱形与正方形
18.1 矩形
2.矩形的判定
第3课时 直角三角形的性质与判定
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问题:(1)如图,已知四边形ABCD是矩形,它的两条对角线相交于点O,图中有哪些相等的线段 哪些角是直角 等腰三角形有哪些
相等的线段:AB=CD, AD=BC, OA=OB=OC=OD, AC=BD.
直角:∠ABC,∠BCD,∠CDA,∠DAB.
等腰三角形:△AOB,△BOC,△COD,△AOD.
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问题:(2)若将图1中的矩形沿对角线AC擦去半个,得到图2.观察得到的图形,你能得到什么结论
△ABC是直角三角形,AO=CO=BO,点O是AC的中点.
在Rt△ABC中,BO是一条什么线段 它的长度与斜边AC长有什么关系
BO是△ABC的中线,BO= AC.
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由于Rt△ABC是由矩形擦去一半得到的,因此由矩形的对角线互相平分且相等,可得BO是直角三角形ABC斜边AC的中线,且BO=AO=
CO=AC.
这一结论在其他直角三角形中也成立.它是直角三角形的一条性质,这一性质就是我们本节课要研究的内容.
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任务一:探究直角三角形的性质定理
问题1:你能用语言叙述上面发现的结论吗
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
问题2:这个结论正确吗 你能用逻辑推理的方法证明吗
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定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
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定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
几何语言表示为:
∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BO是斜边AC上的中线,
∴BO= AC.
这一结论是直角三角形特有的性质,在一般三角形中不成立.
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1.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D为斜边BC中点,AD=3,则BC的长为 ( )
A.2.5 B.4 C.6 D.10
2.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=5,BC=6,则AC的长是 ( )
A.8 B.10 C.12 D.13
C
A
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任务二:探究直角三角形的判定
问题1:你能写出上述直角三角形性质定理的逆命题吗
斜边上的中线等于斜边的一半的三角形是直角三角形.
若出现“斜边”,则此三角形一定是直角三角形.
逆命题:如果一个三角形一边上的中线等于该边的一半,那么这个三角形是一个直角三角形.
？
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逆命题:如果一个三角形一边上的中线等于该边的一半,那么这个三角形是一个直角三角形.
问题2:这个逆命题成立吗 如果成立,你能用逻辑推理的方法证明吗
已知:如图,在△ABC中,CD是AB边上的中线,CD= AB.
求证:△ABC是直角三角形.
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已知:如图,在△ABC中,CD是AB边上的中线,CD= AB.
求证:△ABC是直角三角形.
分析:上图中,CD=AD=BD.即边AB上的中线CD将整个三角形分成了两个等腰三角形,利用等腰三角形两底角相等的性质,容易证明∠ACD与∠BCD的和为90°,即该三角形确实是一个直角三角形.
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证明:∵CD是AB边上的中线,∴AD=BD=AB.
∵CD=AB,∴CD=AD=BD.∴∠A=∠ACD,∠B=∠BCD.
∵∠A+∠ACB+∠B=180°,
∴∠A+∠ACD+∠BCD+∠B=180°,
∴2∠ACD+2∠BCD=180°,
∴∠ACD+∠BCD=90°,即∠ACB=90°.
∴△ABC是直角三角形.
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由此,我们得到一种直角三角形的判定方法,即
如果一个三角形一边上的中线等于该边的一半,那么这个三角形是一个直角三角形.
课堂评价
C
课堂评价
B
课堂评价
课堂总结
1.通过本节课的学习,你学到了哪些内容
2.学习了本节课,你有何感想
1.“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质,是直角三角形特有的,一般三角形不具有.利用这一性质,可求一些线段的长度.
2.“如果一个三角形一边上的中线等于该边的一半,那么这个三角形是一个直角三角形”是判定一个三角形是直角三角形的又一种方法,它将几何问题转化为代数问题来解决.
作业设计
基础性作业:教材练习第1,2题.
提高性作业:教材习题18.1第7题.
作业设计
拓展性作业:如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC
边上的中线,点F为AB的中点,点E为AC上一点,连结
EF、FD、DE.
(1)从①BE⊥AC;②EF=DF这两个信息中,选择一个作为条件,另一个作为结论,并证明.你选择的条件是_____,结论是_____.(填写序号即可)
(2)在(1)的条件下,当∠BAC=50°时,求∠FED的大小.

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