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第18章 矩形、菱形与正方形
18.2 菱形
1.菱形的性质
第1课时 菱形的性质定理1，2
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1.前面我们学行四边形的哪些内容
学行四边形的性质和判定.
2.我们是从哪几个方面研究平行四边形和矩形性质的
边、角、对角线和对称性.
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在前面学习矩形时,我们改变了平行四边形的一个内角的大小,不改变其边长,当这个内角变为90°时,我们就说这个平行四边形是矩形.在平行四边形中,如果内角大小保持不变,仅改变边的长度,将平行四边形特殊化,比如邻边相等,会得到怎样的特殊平行四边形
这个四边形是平行四边形,这个平行四边形与其他平行四边形的不同点是邻边相等.
这个四边形就是我们要研究的第二种特殊平行四边形———菱形.
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任务一:探究菱形的定义
问题:结合刚才的问题,你能给出菱形的概念吗
菱形的定义:菱形是有一组邻边相等的平行四边形.
用几何语言表示为:
∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
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说明:(1)菱形的概念是建立在平行四边形的基础之上的.菱形的概念包含两个条件,即是平行四边形,且有一组邻边相等,缺一不可;定义中的“平行四边形”不能写成“四边形”.
(2)菱形的概念既是菱形的性质,又是它的一个重要的识别方法.
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任务二:探究菱形的性质
操作:将一张矩形的纸对折,再对折,然后沿着如图所示的虚线剪下,打开,你发现这是一个什么样的图形
观察所得四边形,它是一个什么样的图形 是菱形吗,为什么
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所得四边形是菱形.根据操作可知,四边形的两组对边分别相等,是平行四边形;再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形,就可知所得四边形是菱形.
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同矩形一样,作为一种特殊的平行四边形,菱形具有平行四边形的一般性质,同时也具有一些特殊性质.你能根据矩形特殊性质的探究方法,得出菱形的特殊性质吗
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菱形除了具有平行四边形的一切性质外,还有如下特殊性质:
(1)菱形的四条边都相等;
(2)菱形的对角线互相垂直.
你能用推理的方法,说明菱形的两条特殊性质成立吗
提示:特殊性质(1)可以根据平行四边形的性质和菱形的定义加以证明;特殊性质(2),可以根据特殊性质(1),找出由菱形及其两条对角线组成的图形中的等腰三角形,利用等腰三角形“三线合一”证明.
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如图,已知菱形ABCD中,AB=AD,对角线AC、BD相交于点O.
求证:(1)AB=BC=CD=DA;
(2)AC⊥BD.
证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD,AD=BC(平行四边形的对边相等).
又∵AB=AD,
∴AB=BC=CD=DA.
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证明:(2)∵AB=AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴OB=OD(平行四边形的对角线互相平分).
在等腰三角形ABD中,
∵OB=OD,
∴AO⊥BD(等腰三角形三线合一),
即AC⊥BD.
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菱形的这两条特殊的性质就是菱形的性质定理.
菱形的性质定理1:菱形的四条边都相等.
菱形的性质定理2:菱形的对角线互相垂直.
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任务三:拓展与应用
问题:如果已知菱形ABCD的两条对角线AC,BD的长,你能求出菱形ABCD的面积吗
如图,S菱形ABCD=S△ADC+S△ABC
=AC·DO+ AC·BO
= AC·(DO+BO)
= AC·BD.
菱形的面积=底×高=两条对角线长度乘积的一半.
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菱形的面积=底×高=两条对角线长度乘积的一半.
菱形的面积公式(两条对角线长度乘积的一半)可推广到两条对角线互相垂直的任意四边形中.
练习:菱形的两对角线长分别为6和8,则此菱形的面积为_______.
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若菱形有一个内角为60°,则相邻两边与较短对角线构成等边三角形.
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练习:在菱形ABCD中,∠BAD=120°.已知△ABC的周长是15,则菱形ABCD的周长是_______.
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课堂评价
B
课堂评价
B
C
课堂评价
课堂总结
1.通过本节课的学习,你学到了哪些内容
2.学习了本节课,你有何感想
课堂总结
1.菱形的定义及其与平行四边形的关系.
2.菱形的性质可归纳为:
(1)对边平行,四条边相等;对角相等;对角线互相平分且垂直.
(2)利用菱形的性质可得:菱形的一条对角线平分一组对角.这也可以看作菱形的一条性质.
(3)利用菱形的对角线互相垂直且平分,可得菱形面积的另一种求法:菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半.这一求法可直接应用.
作业设计
基础性作业:教材练习第1,3题.
提高性作业:如图,在矩形ABCD中,AB=4 cm,BC=8 cm,点P从点D出发向点A运动,运动到点A即停止;同时点Q从点B出发向点C运动,运动到点C即停止.点P、Q的速度都是1 cm/s,连结PQ、AQ、CP,设点P、Q运动的时间为t(s).
(1)当t为何值时,四边形ABQP是矩形
(2)当t为何值时,四边形AQCP是菱形
此时菱形AQCP的面积是多少

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