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第18章 矩形、菱形与正方形
17.3 正方形
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1.前面我们学行四边形、矩形、菱形,你能说出这些图形的定义、性质和判定方法吗 它们之间有什么内在联系
平行四边形改变内角的大小,将一个内角变为90°时就变成矩形;平行四边形改变边的长度,当邻边相等时就变成菱形.
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2.矩形、菱形都是特殊的平行四边形,在我们的生活中,除了矩形、菱形外,还有一种更加特殊的平行四边形,你知道它是什么图形吗 这就是本节课我们要学习的特殊平行四边形——正方形.正方形是如何定义的 有什么特殊性质 如何判定一个四边形是正方形
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任务一:探究正方形的概念
问题1:按要求操作.
(1)改变一个菱形内角的大小;
(2)如图,将矩形ABCD较短的一边CD沿DA的方向平移.
思考:在(1)中,当内角变为90°时,此时是什么特殊图形
在(2) 中,当CD移动到C'D',且BC'=AB时,四边形ABC'D'是什么特殊的图形
正方形
正方形
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正方形的定义
定义1:有一个角是直角的菱形是正方形.
定义2:有一组邻边相等的矩形是正方形.
说明:正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,还是特殊的菱形.
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问题2:(1)正方形是在什么条件下定义的 包含几个条件
定义1是在菱形的前提条件下定义的,它有两个条件:一是菱形,二是有一个角是直角;
定义2是在矩形的前提条件下定义的,它有两个条件:一是矩形,二是有一组邻边相等.
菱形+一个内角为直角=正方形,
矩形+一组邻边相等=正方形.
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(2)矩形、菱形都是平行四边形,你能用平行四边形作为前提,给出正方形的定义吗
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
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问题3:平行四边形、矩形、菱形、正方形之间有怎样的关系 你能用一个图形表示吗
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练习:
在下列判断中:①正方形一定是矩形;②正方形一定是菱形;③菱形一定是正方形;④矩形一定是正方形;⑤正方形、矩形、菱形都是平行四边形.其中，正确结论的个数是 （ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
B
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任务二:探究正方形的性质
问题:由正方形的定义知,正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形,还是有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形,所以正方形具有矩形、菱形和平行四边形的一切性质.由此,你能说出正方形的特殊性质吗
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由例题,你能得到什么结论
结论:(1)正方形的每条对角线都平分一组对角;
(2)正方形的每条对角线都把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形.
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任务三:探究正方形的判定
问题1:我们是如何得到矩形、菱形的判定方法的
结论:一是根据它们的定义,二是根据它们的性质定理的逆命题.
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问题2:什么样的矩形是正方形 什么样的菱形是正方形
正方形的判定方法:
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形;
(2)对角线互相垂直的矩形是正方形;
(3)有一个角是直角的菱形是正方形;
(4)对角线相等的菱形是正方形.
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思考:什么样的平行四边形是正方形 什么样的四边形是正方形
结论:(1)对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.
(2)对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形.
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练习:
1.下列说法正确的是 ( )
A.四条边相等的四边形是正方形
B.四个角相等的四边形是正方形
C.对角线互相垂直的四边形是正方形
D.邻边相等的矩形是正方形
D
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2.四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列能判定这个四边形是正方形的条件是 （ ）
A.OA=OB=OC=0D,AC⊥BD
B.AB∥CD,AC=BD
C.AD∥BC,∠A=∠C
D.OA=OC,OB=OD,AB=BC
A
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任务四:拓展与应用
老师给学生布置了一项任务:从一张彩色纸中剪出一个正方形.
小明剪完后,这样检验它:比较边长,发现四条边是相等的,于是就判定自己完成了这项任务.这种检验可信吗
小兵用另一种方法检验:他量的不是边,而是对角线,他发现对角线是相等的,于是就认为自己正确地剪出了正方形.这种检验对吗
小英剪完后,比较了由对角线相互分成的4条线段,发现它们是相等的.按照小英的意见,这说明剪出的四边形是正方形.你的意见怎样
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根据小明的方法,得到的四边形是菱形;
根据小兵的方法,他得到的是对角线相等的四边形,不一定是正方形;
根据小英的方法,她得到的是对角线互相平分且相等的四边形,是矩形.
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思考:你认为应该如何检验,才能又快又准确呢
判定一个四边形是正方形,主要是从边、角、对角线三个方面考虑,方法较多,只要合理即可.
课堂评价
√
×
√
√
√
√
课堂评价
C
D
课堂评价
课堂评价
课堂评价
课堂总结
1.通过本节课的学习,你学到了哪些内容
2.学习了本节课,你有何感想
正方形的性质与判定:
作业设计
基础性作业:教材练习第2题;教材习题18.3第2,3题.
提高性作业:教材习题18.3第5题.
作业设计
拓展性作业:如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交△BCA的外角平分线于点F.
(1)探究OE与OF之间的数量关系并证明.
(2)当点O在边AC上运动时,四边形BCFE会
是菱形吗 若是,请加以证明;若不是,请说明理由.
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边
形AECF是矩形 请说明理由.
(4)在(3)的基础上,△ABC满足什么条件时,
四边形AECF是正方形 为什么

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