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(共23张PPT)
第12章 图形的平移与旋转
12.2 图形的旋转
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思路一
观察这些转动的物体，它们在转动过程中，形状和大小有没有发生变化？它们都是围绕着哪个点转动的？转动的方向和角度又有什么不同呢？
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思路二
拿出准备好的挖去一个三角形的长方形硬纸板，在硬纸板的任意一点处按上一个图钉(固定在练习本上)，描出硬纸板上的三角形 ABC(标记为△ABC)，然后将硬纸板绕图钉顺时针转动一个角度，再描出转动后的三角形(标记为△A'B'C').观察转动前后的两个三角形，它们的形状和大小有什么关系？
导入新课
在刚才的操作中，图钉所在的点起到了什么作用？
如果改变图钉的位置，再转动硬纸板，得到的△A'B'C'的位置会发生变化吗？
如果改变转动的方向(逆时针)或转动的角度，结果又会怎样？
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活动一：探究新知1——旋转的定义
在平面内，将一个图形绕某一个定点按顺时针方向或逆时针方向转动一定的角度，图形的这种变化叫作旋转.这个定点叫作旋转中心，这个角叫作旋转角.旋转前图形上的点与旋转后它所到达的点叫作对应点.
旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角.
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如图，将三角板绕点 A 按逆时针方向转动
70°至△ADE位置处.指出图中的旋转中心、旋
转方向、旋转角和一组对应点.
旋转中心：点 A.
旋转方向：逆时针.
旋转角： ∠BAD(70°).
对应点：点B 和点D 是对应点；点C 和点E 是对应点.
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活动二：探究新知2——旋转的基本性质
请再次拿出硬纸板(已描出△ABC 和绕图钉O 顺时针旋转角 α 后的△A'B'C')，用直尺测量OA与OA'，OB 与OB'，OC与OC'的长度，用量角 器 测 量 ∠AOA'，∠BOB'，∠COC'的度数. 发现了什么规律？
OA=OA'，OB=OB'，OC= OC'；
∠AOA'=∠BOB'=∠COC’=α.
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如何用数学推理证明“对应点到旋转中心的距离相等”“对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”？
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已知：△A'B'C'是△ABC绕点O旋转得到的图形，旋转角为α.
求证：OA=OA'，OB=OB'，OC=OC'；∠AOA'= ∠BOB'= ∠COC'=α；△ABC≌△A'B'C'.
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证明：因为△A'B'C'是△ABC绕点O旋转得到的，所以根据旋转的定义，图形上的每个点都绕点O按相同方向(如顺时针)转动了角度α，所以点A绕点O转动α到点A'，则OA和OA'是同一条线段绕点O转动α形成的，因此OA=OA'，且∠AOA'=α(转动的角度即为旋转角).
同理，OB=OB'，∠BOB'=α；OC=OC'，∠COC'=α.
又因为旋转不改变图形的形状和大小，所以△ABC≌△A'B'C'
(全等图形的定义).
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旋转的基本性质：一个图形和它经过旋转得到的图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角.
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活动三：应用旋转的基本性质证明线段相等
例1 如图①，在等腰直角
三角形ABC中，∠BAC=90°，
点O 是BC的中点.将一个三角板
的直角顶点放在点O处，并使三
角板的两条直角边分别经过点 A
和点B.将三角板绕点 O按顺时针方向旋转，三角板的两腰与 Rt△ABC的两腰AB，AC的交点分别记为E，F，如图②所示.在旋转过程中，线段OE 与OF有什么数量关系？为什么？
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解：OE=OF，理由如下：
连接 AO.
因为三角板绕点O按顺时针方向旋转，所以∠BOE=∠AOF(旋转的基本性质).
因为在等腰直角三角形 ABC中，∠BAC=90°，O为BC的中点，
所以∠B=45°，∠OAF= ∠BAC=45°，BO=BC，AO= BC.
所以∠B=∠OAF，BO=AO.
在△BOE 与△AOF 中，∠B=∠OAF，BO=AO，∠BOE=∠AOF，
所以△BOE≌△AOF(ASA).所以OE=OF.
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活动四：确定旋转中心、旋转角度并求线段长度
例2 如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别为边BC，DC 上的点∠EAF=45°.△ABE 绕某点顺时针旋转后到达△ADG 的位置.
(1)指出旋转中心和旋转角度；
(2)若BE=2，DF=3，求EF 的长.
高效课堂
解：(1)旋转中心为点 A，旋转角为90°.
(2)因为△ADG 是由△ABE 旋转得到的，
所以 AE=AG，∠GAE=90°，DG=BE=2，
∠ADG=∠B.
因为四边形 ABCD 是正方形，所以∠B=∠ADC=90°.
所以∠ADG+∠ADC=180°.所以点G，D，F 共线.所以GF=GD+DF=2+3=5.
因为∠EAF=45°，所以∠GAF=∠EAF=45°.
在△AEF 和△AGF 中，AE=AG，∠EAF=∠GAF，AF=AF，
所以△AEF≌△AGF(SAS).所以EF=GF=5.
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活动五：探究新知3——尺规作图确定旋转中心
如图，已知△ABC 绕某点旋转一定角度得到△A'B'C'，如何用尺规作图确定旋转中心？结合旋转的基本性质，旋转中心与对应点之间有什么关系？
高效课堂
①连接 AA'，BB'；
②分别作 AA'，BB'的垂直平分线；
③两条垂直平分线的交点即为旋转中心.
课堂评价
1.如图，△ABC按逆时针方向旋转角α得到△ADE.
(1)指出图中的旋转中心；
(2)说出图中哪些角等于旋转角；
(3)写出图中相等的线段和相等的角。
(1)旋转中心是点A.
(2)∠BAD和∠CAE.
(3)相等的线段：AB=AD，AC=AE，BC=DE；
相等的角：∠B=∠D，∠C=∠E，∠BAC=∠DAE，∠BAD=∠CAE.
课堂评价
2. 如图，点O为线段AB外的一点，画出线段AB绕点O按顺时针方向旋转90°所得的线段。
①连接OA，以点O为圆心、OA为半径画弧，
交OA的垂线(顺时针方向)于点A'(确保∠AOA'=
90°)；
②同理，连接OB，以点O为圆心、OB为半
径画弧，交OB的垂线(顺时针方向)于点B'；
连接 A'B'，则线段 A'B'即为所求(图略).
课堂评价
3.如图，D是等腰直角三角形ABC内一点，BC是斜边。将△ABD 绕点A按逆时针方向旋转到△ACD'的位置，连接 DD'。求∠ADD'的度数。
课堂评价
因为△ACD'是由△ABD 绕点A 逆时针旋
转得到的，
所以△ABD≌△ACD'，∠BAD=∠CAD'.
又因为△ABC是等腰直角三角形，∠BAC
=90°，
所以∠BAD+∠DAC=90°，则∠CAD'+∠DAC=∠DAD'=90°.
由旋转的基本性质可知，AD=AD'，所以△ADD'是等腰直角三角形.
所以∠ADD'=(180°-∠DAD')÷2=(180°-90°)÷2=45°.
课堂总结
1.请回顾本节课学习的内容，用关键词或思维导图的形式，梳理旋转的定义、三要素、基本性质、应用(证明、计算、作图)等内容，2分钟后同桌之间互相分享自己的梳理结果，补充遗漏的知识点.
2.对于本节课学习的内容，你还有什么疑问吗？
3.本节课我们学习了图形的旋转，掌握了它的定义、基本性质和应用.结合之前学移、轴对称，它们都是图形的基本变换，接下来我们可能会研究什么内容呢？
作业设计
基础性作业：教材习题12.2第1~5题.
提高性作业：教材习题12.2第6~9题.
拓展性作业：尝试用尺规作图的方法，将一个任意三角形绕某一点旋转60°得到新的三角形，并验证旋转前后对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于60°.

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