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第12章 图形的平移与旋转
本章复习课
回顾与思考
复习回顾
1.从生活中的图形变换实例出发，回顾平移、旋转、中心对称的定义，明确各类变换的核心要素.
2.结合图形，回顾平移、旋转、中心对称的基本性质，通过对比分析，找出各类变换性质的异同点.
3.梳理图形变换的应用场景，理解性质与应用的逻辑关系.
4.借助知识结构图表示平移、旋转、中心对称之间的关联，明确“均为全等变换”的共性与“变换方式不同”的个性.
例题解析
例1 如图，将“笑脸”图标先向右平移4个单位，再向下平移2个单位.求点P的对应点P'的坐标.
解：由图可知点P的坐标为(-5，4)，将“笑脸”图标先向右平移4个单位，点P 的横坐标变为-5+4=-1；再向下平移2个单位，点P的纵坐标变为4-2=2.故点P的对应点P'的坐标为(-1，2).
例题解析
方法总结：
求图形平移后点的坐标，核心是牢记“横纵平移对应坐标变化规律”，先判断平移方向(左右平移影响横坐标，上下平移影响纵坐标)，再根据平移的距离计算新坐标，解题时需先明确原坐标和变换参数(方向、距离)，避免混淆横纵坐标的变化规则.
例题解析
例2 如图，人民公园内一块长方形草地上原有一条1 m 宽的笔直小路，现要将这条小路改造成弯曲小路，弯曲小路的上边沿向下平移1 m 就是它的下边沿.改造后小路的面积是否发生变化？
例题解析
解：设长方形草地的长为a m，宽为b m(a>b，且笔直小路沿长方形的长方向铺设).
改造前(笔直小路)：小路为长方形，长等于草地的长a m，宽为1 m，面积=长×宽=a×1=a(m2)；
改造后(弯曲小路)：因小路的上边沿向下平移1 m 得到下边沿，根据“平移不改变图形的形状和大小”，弯曲小路可通过“分割—拼接”转化为一个长为a m、宽为1 m 的长方形(将弯曲部分沿水平方向分割，平移后拼接成规则长方形)，面积=a×1=a(m2).
因此，改造后小路的面积不发生变化.
例题解析
方法总结：
对于平移变换后的不规则图形(如弯曲小路)面积计算，可利用“平移不改变图形的面积”的性质，将不规则图形通过“分割—拼接”转化为规则图形(如长方形、正方形)，再根据规则图形的面积公式计算，关键是确定图形平移后的“等效宽度”或“等效长度”.
例题解析
例3 如图，等边三角形ABC沿射线AB的方向平移后得到 △BDE.
△BDE能否由△ABC经旋转得到？如果能，请说明旋转方式.
解：△BDE 能由△ABC经旋转得到.
旋转方式为：以点B为旋转中心，
将△ABC 按逆时针方向旋转120°.
例题解析
方法总结：
判断一个图形能否由另一个图形经旋转得到，一般步骤为：①验证两图形是否全等(旋转不改变图形的形状和大小)；②找对应点，确定旋转中心(通常为对应点连线的垂直平分线交点或公共点)；③计算旋转角(对应点与旋转中心连线的夹角)；④验证旋转后对应边、对应角是否重合，关键是利用“旋转中心到对应点的距离相等，旋转角等于对应边的夹角”的性质.
例题解析
例4 (1)将一个三角形绕它一边的中点旋转180°得到的图形，与原来的图形构成一个什么图形？
(2)如果一个三角形绕它一边的中点旋转180°得到的图形，与原来的图形构成一个菱形、矩形或正方形，那么这个三角形应分别满足什么条件？
例题解析
分析 (1)设三角形为△ABC，取AB边的中点O，将△ABC绕O旋转180°得到△A'B'C'(实际为△BA'D，因为O 是AB 的中点，旋转后A→B，B→A)：旋转180°后，OA=OB，OC=OD(O 是中点，旋转中心平分对应点连线)，故 AC∥ BD 且AC=BD.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知，原三角形与旋转后的图形构成平行四边形.
例题解析
(2) ①构成菱形：菱形需“平行四边形的邻边相等”.原平行四边形的邻边为AC和BC(或AB和AC)，故需原三角形的“两边相等”(即原三角形为等腰三角形，且旋转的边为底边，如AB为底边，AC=BC).
②构成矩形：矩形需“平行四边形有一个直角”.原平行四边形的内角等于原三角形的一个角(如∠ACB)，故需原三角形的“一个角为直角”(即原三角形为直角三角形，且旋转的边为斜边，如AB为斜边，∠ACB=90°).
例题解析
③构成正方形：正方形需“平行四边形邻边相等且有一个直角”，故需原三角形“既是等腰三角形又是直角三角形”(即原三角形为等腰直角三角形，且旋转的边为斜边，如AB为斜边，AC=BC且∠ACB=90°).
例题解析
解：(1)平行四边形.
(2)①构成菱形：原三角形为等腰三角形(旋转的边为底边)；
②构成矩形：原三角形为直角三角形(旋转的边为斜边)；
③构成正方形：原三角形为等腰直角三角形(旋转的边为斜边).
例题解析
方法总结：
分析“三角形绕一边的中点旋转180°与原图形构成的图形”，需结合“中心对称的性质”(对应边平行且相等)和“特殊四边形的判定条件”：先确定基础图形为平行四边形，再根据菱形(邻边相等)、矩形(有直角)、正方形(邻边相等+有直角)的判定，反向推导原三角形的边、角条件，关键是建立“旋转后的平行四边形特征”与“原三角形特征”的关联.
例题解析
例5 如图， ABCD的对角线相交于点O，点E，F在直线BD上，且关于点O成中心对称.判断四边形AECF 的形状，并说明理由.
解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC.因为点E，F 在直线BD上，且关于点O成中心对称，所以OE=OF.所以四边形 AECF是平行四边形.
例题解析
方法总结：
判断四边形的形状时，若已知对角线的关系(如互相平分、垂直、相等)，可优先利用对角线判定(如对角线互相平分→平行四边形，对角线垂直+平行四边形→菱形)；本题中，需结合“原平行四边形的对角线互相平分”和“中心对称的对角线互相平分”，推导新四边形的对角线关系，进而判定四边形的形状，关键是抓住“对角线”这一核心要素.
例题解析
例6 如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°.
(1)△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角等于∠BAE，请作出旋转后的图形.
(2)判断DA是否平分∠CDE，请说明理由.
例题解析
解：(1)如图所示.
(2)因为AB=AE，∠ABC+∠AED=180°，所以把△ABC旋转∠BAE的度数后BC与EC'重合且BC=EC'，∠ABC=∠AEC'.所以△ABC≌△AEC'.所以AC=AC'.
因为BC+DE=CD，BC=EC'，所以DC=DC'.
在△ADC和△ADC'中，AC=AC'，AD=AD，DC=DC'，所以△ADC≌△ADC'(SSS).
所以∠ADC=∠ADC'.所以DA平分∠CDE.
例题解析
方法总结:
当题目中出现“相等线段(如AB=AE)”“互补角(如∠ABC+
∠AED=180°)”时，可通过“旋转构造全等三角形”转化条件：①以相等线段的公共端点为旋转中心，以两相等线段的夹角为旋转角；②利用旋转的基本性质得到全等三角形，转化边、角关系；③结合已知条件推导新的等量关系，进而证明结论，关键是“通过旋转将分散的条件集中到同一图形中”.
课堂总结
1.你对图形的平移、旋转、中心对称有了哪些新的认识？
2.你弄懂了哪些之前不太清楚的知识？
作业设计
基础性作业：教材综合练习第1，3，6题.
提高性作业：教材综合练习第7，11题.
拓展性作业:：教材综合练习第12，13题.

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