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湖北省十堰市茅箭区第一教联体2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024八下·茅箭月考）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x>8 B．x<8 C．x≤8 D．x≥8
2．（2024八下·茅箭月考） 下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·茅箭月考） 下列各组数中能构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．，， C．4，5， D．5，12，10
4．（2024八下·茅箭月考） 如图，在平面直角坐标系中，以A（-1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（　　）
A．（3，1） B．（-4，1） C．（1，-1） D．（-3，1）
5．（2024八下·茅箭月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时， 梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（　　）．
A．2.4m B．2m C．2.5m D．2.7m
6．（2024八下·茅箭月考）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.“折竹抵地”问题源自《九章算术》﹔“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示， 中， ， 尺， 尺，求AC的长.则AC的长为（　　）
A．4.2尺 B．4.3尺 C．4.4尺 D．4.5尺
7．（2024八下·茅箭月考） 如图，，与按如图方式拼接在一起，，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·茅箭月考）如图， 中，对角线 、 相交于点O， 交 于点E，连接 ，若 的周长为28，则 的周长为（　　）
A．28 B．24 C．21 D．14
9．（2024八下·茅箭月考） 阅读下列材料：若一个任意三角形的三边长分别为a，b，c，记则这个三角形的面积 ．古希腊的数学家海伦给出了这个公式的证明，这一公式称为海伦公式．若在海伦公式中，，，， 则（　　）
A．10 B． C．6 D．
10．（2024八下·茅箭月考）在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2024八下·茅箭月考）计算： ＝　 　．
12．（2024八下·茅箭月考） 当时，代数式的值是　 　．
13．（2024八下·茅箭月考） 如图是棱长为4cm的立方体木块，一只蚂蚁现在A点，若在B点处有一块糖，它想尽快吃到这块糖，则蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路程是　 　cm．
14．（2024八下·茅箭月考）如图，在 中，点E在 上，且 平分 ，若 ， ，则 的面积为　 　.
15．（2024八下·茅箭月考）如图， 在中，，，，P是边上一动点， 将沿折叠，点B落在处， 交于D， 则的最大值为　 　．
三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．
16．（2024八下·茅箭月考） 计算：
（1）
（2）
17．（2024八下·茅箭月考）先化简，再求值： ÷ ，其中x＝ +1，y＝ ﹣1．
18．（2024八下·茅箭月考）如图，在四边形 中， ， ，垂足分别为点 ， .
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形 为平行四边形，你添加的条件是　 　；
（2）添加了条件后，证明四边形 为平行四边形.
19．（2024八下·茅箭月考） 请运用平行四边形特征按下列要求作图：
（1）如图1，中，点E在上， 在上画点F， 使；
（2）如图2，，，画一条直线平分此多边形的面积．
20．（2024八下·茅箭月考） 如图，有两只猴子在一棵树高的点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？树顶D到池塘A的距离有多少米？
21．（2024八下·茅箭月考）在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF.
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长.
22．（2024八下·茅箭月考） 如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若BC＝BD，求四边形BDFC的面积．
23．（2024八下·茅箭月考）
（1）问题背景：在中，，，三边的长分别为，求这个三角形的面积．小刚同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求的高，借用网格就能计算出它的面积．
请你将的面积直接填写在横线上：　 　．
（2）思维拓展：我们把上述求面积的方法叫作构图法，若中，，，三边的长分别为，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，其中顶点A的位置如图所示．①求出的面积；②直接写出顶点B到的距离（用含a的式子表示）．
（3）探索创新：若三边长分别为（，且），请直接写出这个三角形的面积（用含m，n的式子表示）．
24．（2024八下·茅箭月考） 如图，中，，D为中点，点E在直线上（点E不与点B，C重合），连接，过点D作交直线于点F，连接．
（1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段与的数量关系：　 　．
（2）如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，，，请直接写出线段AF的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x-8≥0，
∴x≥8.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x-8≥0，即可得出x≥8.
2．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 ，故此选项错误，不合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误，不合题意；
C、 ，故此选项正确，符合题意；
D、 ，故此选项错误，不合题意.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的计算法则计算即可.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵42+52≠62，∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵（）2+（）2≠（）2，∴以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵42+52=（）2，∴以4，5，为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵52+102≠122，∴以5，12，10为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】依据勾股定理的逆定理，先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，若相等则能构成直角三角形，否则不是直角三角形，据此逐项判断得出答案．
4．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，分别以AC、AB、BC为对角线构造平行四边形
①以AC为对角线，画出 AFCB，F（-3，1）；
②以AB为对角线，画出 ACBE，E（1，-1）；
③以BC为对角线，画出 ACDB，D（3，1），
故A、C、D选项给出的点都能作为平行四边形的顶点坐标，不符合题意；只有B选项给出的点不能作为平行四边形的顶点坐标，符合题意.
故答案为：B.
【分析】分类讨论：①以AC为对角线，②以AB为对角线，③以BC为对角线，分别作出平行四边形，结合图形进行分析可得.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
∴CD=CB+BD=0.7+2=2.7m
则小巷的宽为2.7m
故答案为：D
【分析】根据直角三角形中勾股定理可得，则，则小巷的宽CD=CB+BD，即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设AC=x尺，则AB=（10-x）尺，
中， ， ，
∴ ，
解得：x=4.2，
故答案为：A.
【分析】设AC=x尺，则AB=（10-x）尺，根据勾股定理可得 ，代入即可.
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解： ，，
，，
，
，
，
.
故答案为：A．
【分析】先判断，是等腰直角三角形，再由三角形面积公式表示出，根据勾股定理可求得的值.
8．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∵平行四边形的周长为28，
∴
∵ ，
∴ 是线段 的中垂线，
∴ ，
∴ 的周长 ，
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质，可得OB=OD，AB=CD，AD=BC，从而可得AB+AD=14，根据中垂线的性质，可得BE=DE，由△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+AD，即可求出结论.
9．【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴
，
故答案为：D.
【分析】根据题意得出，然后代入，求出结果即可．
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：根据题意作图，连接
，点的中点，，
，，．
，
，
．
在和中，
，
，
，，．
，
，
．
，
．
，
，
．
，，
始终为等腰直角三角形．
，
．
，
．
正确的有①②③④．
故答案为：D.
【分析】根据题意画出图形，连接CD，由等腰直角三角形的性质就可以得出，再根据勾股定理、三角形面积等运算，即可得出结论．
11．【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】 ＝2.
故答案为：2.
【分析】有根号先算根号，所以的值为2。
12．【答案】2023
【知识点】二次根式的混合运算；配方法的应用
【解析】【解答】解：
当时，原式=.
故答案为：2023.
【分析】利用完全平方公式，先将代数式变形为成，再把代入求值即可.
13．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将点A和点B所在的面展开为矩形，AB为矩形对角线的长，
∵矩形的长和宽分别为8cm和4cm，
∴AB==cm．
故蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路程是cm．
故答案为：.
【分析】蚂蚁在正方体表面爬行，需将点A和点B所在的各面展开为矩形，再根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理，求出对角线AB的长既是蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路程 ．
14．【答案】50
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，
∵∠EBC=30°，BE=10，
∴EF= BE=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC，
∴∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC=10，
∴四边形ABCD的面积= = =50，
故答案为：50.
【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，由含30°角的直角三角形的性质得出EF= BE=5，根据平行四边形的性质及角平分线的定义得出∠BCE=∠BEC，从而可得BE=BC=10，由平行四边形ABCD的面积= ，据此计算即可.
15．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
根据折叠可知，，
则，
∴当最小时，最大，
∵垂线段最短，
∴时，最小，
如图，当时，，
∴此时，
∴此时，
故答案为：．
【分析】根据折叠性质得：，由，故当CD最小时，取最大值，根据勾股定理和等面积法求出的最大值.
16．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式性质对第一个二次根式进行化简，同时利用乘法分配律去括号，再合并同类二次根式即可；
（2）根据平方差公式、二次根式性质及绝对值性质分别计算，再计算有理数的加减法运算即可.
17．【答案】解： ÷
＝ ÷
＝ ×
＝
当x＝ +1，y＝ ﹣1时
原式＝ ＝2﹣ ．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式四则运算顺序和运算法则对原式进行化简 ÷ ，得到最简形式后，再将x＝ +1、y＝ ﹣1代入求值即可．
18．【答案】（1） （答案不唯一，符合题意即可）
（2）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】（1）显然，直接添加 ，可根据定义得到结果，
故答案为： （答案不唯一，符合题意即可）；
【分析】（1）由 ， 可得AE∥CF，直线添加或AE=CF即证结论；
（2）添加，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即证；添加AE=CF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即证.
19．【答案】（1）解：连接，，交于点O，连接并延长，交于点F，则点F即为所求，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：延长交于点G，连接，交于点P，连接、交于点O，连接，则直线即为所求；
∵，，
∴四边形为平行四边形，
同理可得：四边形为平行四边形，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
同理可得：，，
∴，
∴平分，
同理可得：平分，
∴平分此多边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接AC，BD，交于点O，连接EO并延长，交BC于点F，即可得到CF=AE ；
（2）延长EF交BC于点G，分出两个平行四边形ABGF和CDEG，再分别连接两个平行四边形的对角线找到平行四边形的中心，中心O、P所在直线即为所求.
20．【答案】解：设为米，且存在，
即，，
在直角中，为斜边，
则，
即
解得，
米，
米米米，
答：树高7.5米，树顶D到池塘A的距离有12.5米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设为米，则根据题意可知，，根据勾股定理即可得出，从而计算出CD和DA.
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝CB，
在△DAE和△BCF中，
∴△DAE≌△BCF（SAS），
∴DE＝BF，
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，
即DF＝BE，
∵DE＝BF，BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠BAF，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，
∴AD＝5，
∵AE＝3，DE＝4，
∴AE2+DE2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∵DE∥BF，
∴∠ABF＝∠AED＝90°，
∴AF＝ .
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质易得 △DAE≌△BCF可得DE＝BF ，即可得 DF＝BE ，根据平行四边形的判定可得结果；
（2）平行线的性质和角平分线的定义易得 ∠DAF＝∠AFD ，即可得 AD＝DF， 由平行四边形的性质可得 AD＝5， 由勾股定理逆定理可得 ∠AED＝90° ，易得 ∠ABF＝90°，根据勾股定理可得结果.
22．【答案】（1）证明：∵∠A＝∠ABC＝90°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE＝∠DFE，
∵E是边CD的中点，
∴CE＝DE，
在△BEC与△FED中，
，
∴△BEC≌△FED，
∴BE＝FE，
∵CE＝DE，
∴四边形BDFC是平行四边形；
（2）解：∵BC＝3，BC＝BD，
∴BC＝BD=3
在Rt△ABD中，
由勾股定理得，AB2，
由（1）得四边形BDFC是平行四边形
∴BC=DF=3
所以，四边形BDFC的面积＝3×26；
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定和性质得出∠CBE＝∠DFE，然后用AAS证明△BEC≌△FED，从而得出BE＝EF，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明即可；
（2）根据BC＝BD，利用勾股定理求出AB，然后由平行四边形的面积公式列式计算即可.
23．【答案】（1）
（2）解：①∵，
∴可以看作是两直角边长分别为和a的直角三角形斜边长，
同理：可以看作是两直角边长都是的直角三角形斜边长，可以看作是两直角边长是和a的直角三角形斜边长，于是可以构造出格点三角形，如图即为所求，
；
②点B到的距离为；
（3）解：△ABC得面积为5mn.
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）②设顶点B到的距离为h，则，
∴，
解得：，
即点B到的距离为；
（3）∵，
∴可以看作是两直角边长分别为m和的直角三角形斜边长，
同理：可以看作是两直角边长分别是和的直角三角形斜边长，以看作是两直角边长是和的直角三角形斜边长，于是可以构造出格点三角形，如图即为所求，
∴．
【分析】（1）将放在边长为3的正方形中，用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可求出的面积；
（2）①利用勾股定理在网格中画出符合数据的三角形，利用（1）的方法求出三角形的面积；
②根据等积法表示三角形的面积，即可求出边上的高；
（3）根据题目中所给的构图法构造出符合所给数据的三角形，然后用（1）的方法求出格点三角形的面积即可．
24．【答案】（1）
（2）解：结论：．
理由：如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
．
（3）解：的长为或1．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1），，
垂直平分，
．
故答案为：；
（3）解：如图中，当点在线段上时，设，则．
，，
，
，
，
，
．
如图中，当点在线段的延长线上时，设，则．
，，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的长为或1．
【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质证明即可；
（2）过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ，借助辅助线构造全等三角形，将线段AF，EF，BE，围成一个直角三角形，即可写出线段AF，EF，BE之间的数量关系；
（3）分两种情形：一是点E在线段BC上，二是点E在线段BC的延长线上，设，则，根据勾股定理构建方程求解即可．
1 / 1湖北省十堰市茅箭区第一教联体2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024八下·茅箭月考）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x>8 B．x<8 C．x≤8 D．x≥8
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x-8≥0，
∴x≥8.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x-8≥0，即可得出x≥8.
2．（2024八下·茅箭月考） 下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 ，故此选项错误，不合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误，不合题意；
C、 ，故此选项正确，符合题意；
D、 ，故此选项错误，不合题意.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的计算法则计算即可.
3．（2024八下·茅箭月考） 下列各组数中能构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．，， C．4，5， D．5，12，10
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵42+52≠62，∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵（）2+（）2≠（）2，∴以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵42+52=（）2，∴以4，5，为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵52+102≠122，∴以5，12，10为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】依据勾股定理的逆定理，先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，若相等则能构成直角三角形，否则不是直角三角形，据此逐项判断得出答案．
4．（2024八下·茅箭月考） 如图，在平面直角坐标系中，以A（-1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（　　）
A．（3，1） B．（-4，1） C．（1，-1） D．（-3，1）
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，分别以AC、AB、BC为对角线构造平行四边形
①以AC为对角线，画出 AFCB，F（-3，1）；
②以AB为对角线，画出 ACBE，E（1，-1）；
③以BC为对角线，画出 ACDB，D（3，1），
故A、C、D选项给出的点都能作为平行四边形的顶点坐标，不符合题意；只有B选项给出的点不能作为平行四边形的顶点坐标，符合题意.
故答案为：B.
【分析】分类讨论：①以AC为对角线，②以AB为对角线，③以BC为对角线，分别作出平行四边形，结合图形进行分析可得.
5．（2024八下·茅箭月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时， 梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（　　）．
A．2.4m B．2m C．2.5m D．2.7m
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
∴CD=CB+BD=0.7+2=2.7m
则小巷的宽为2.7m
故答案为：D
【分析】根据直角三角形中勾股定理可得，则，则小巷的宽CD=CB+BD，即可求出答案.
6．（2024八下·茅箭月考）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.“折竹抵地”问题源自《九章算术》﹔“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示， 中， ， 尺， 尺，求AC的长.则AC的长为（　　）
A．4.2尺 B．4.3尺 C．4.4尺 D．4.5尺
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设AC=x尺，则AB=（10-x）尺，
中， ， ，
∴ ，
解得：x=4.2，
故答案为：A.
【分析】设AC=x尺，则AB=（10-x）尺，根据勾股定理可得 ，代入即可.
7．（2024八下·茅箭月考） 如图，，与按如图方式拼接在一起，，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解： ，，
，，
，
，
，
.
故答案为：A．
【分析】先判断，是等腰直角三角形，再由三角形面积公式表示出，根据勾股定理可求得的值.
8．（2024八下·茅箭月考）如图， 中，对角线 、 相交于点O， 交 于点E，连接 ，若 的周长为28，则 的周长为（　　）
A．28 B．24 C．21 D．14
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∵平行四边形的周长为28，
∴
∵ ，
∴ 是线段 的中垂线，
∴ ，
∴ 的周长 ，
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质，可得OB=OD，AB=CD，AD=BC，从而可得AB+AD=14，根据中垂线的性质，可得BE=DE，由△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+AD，即可求出结论.
9．（2024八下·茅箭月考） 阅读下列材料：若一个任意三角形的三边长分别为a，b，c，记则这个三角形的面积 ．古希腊的数学家海伦给出了这个公式的证明，这一公式称为海伦公式．若在海伦公式中，，，， 则（　　）
A．10 B． C．6 D．
【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴
，
故答案为：D.
【分析】根据题意得出，然后代入，求出结果即可．
10．（2024八下·茅箭月考）在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：根据题意作图，连接
，点的中点，，
，，．
，
，
．
在和中，
，
，
，，．
，
，
．
，
．
，
，
．
，，
始终为等腰直角三角形．
，
．
，
．
正确的有①②③④．
故答案为：D.
【分析】根据题意画出图形，连接CD，由等腰直角三角形的性质就可以得出，再根据勾股定理、三角形面积等运算，即可得出结论．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2024八下·茅箭月考）计算： ＝　 　．
【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】 ＝2.
故答案为：2.
【分析】有根号先算根号，所以的值为2。
12．（2024八下·茅箭月考） 当时，代数式的值是　 　．
【答案】2023
【知识点】二次根式的混合运算；配方法的应用
【解析】【解答】解：
当时，原式=.
故答案为：2023.
【分析】利用完全平方公式，先将代数式变形为成，再把代入求值即可.
13．（2024八下·茅箭月考） 如图是棱长为4cm的立方体木块，一只蚂蚁现在A点，若在B点处有一块糖，它想尽快吃到这块糖，则蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路程是　 　cm．
【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将点A和点B所在的面展开为矩形，AB为矩形对角线的长，
∵矩形的长和宽分别为8cm和4cm，
∴AB==cm．
故蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路程是cm．
故答案为：.
【分析】蚂蚁在正方体表面爬行，需将点A和点B所在的各面展开为矩形，再根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理，求出对角线AB的长既是蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路程 ．
14．（2024八下·茅箭月考）如图，在 中，点E在 上，且 平分 ，若 ， ，则 的面积为　 　.
【答案】50
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，
∵∠EBC=30°，BE=10，
∴EF= BE=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC，
∴∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC=10，
∴四边形ABCD的面积= = =50，
故答案为：50.
【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，由含30°角的直角三角形的性质得出EF= BE=5，根据平行四边形的性质及角平分线的定义得出∠BCE=∠BEC，从而可得BE=BC=10，由平行四边形ABCD的面积= ，据此计算即可.
15．（2024八下·茅箭月考）如图， 在中，，，，P是边上一动点， 将沿折叠，点B落在处， 交于D， 则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
根据折叠可知，，
则，
∴当最小时，最大，
∵垂线段最短，
∴时，最小，
如图，当时，，
∴此时，
∴此时，
故答案为：．
【分析】根据折叠性质得：，由，故当CD最小时，取最大值，根据勾股定理和等面积法求出的最大值.
三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．
16．（2024八下·茅箭月考） 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式性质对第一个二次根式进行化简，同时利用乘法分配律去括号，再合并同类二次根式即可；
（2）根据平方差公式、二次根式性质及绝对值性质分别计算，再计算有理数的加减法运算即可.
17．（2024八下·茅箭月考）先化简，再求值： ÷ ，其中x＝ +1，y＝ ﹣1．
【答案】解： ÷
＝ ÷
＝ ×
＝
当x＝ +1，y＝ ﹣1时
原式＝ ＝2﹣ ．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式四则运算顺序和运算法则对原式进行化简 ÷ ，得到最简形式后，再将x＝ +1、y＝ ﹣1代入求值即可．
18．（2024八下·茅箭月考）如图，在四边形 中， ， ，垂足分别为点 ， .
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形 为平行四边形，你添加的条件是　 　；
（2）添加了条件后，证明四边形 为平行四边形.
【答案】（1） （答案不唯一，符合题意即可）
（2）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】（1）显然，直接添加 ，可根据定义得到结果，
故答案为： （答案不唯一，符合题意即可）；
【分析】（1）由 ， 可得AE∥CF，直线添加或AE=CF即证结论；
（2）添加，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即证；添加AE=CF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即证.
19．（2024八下·茅箭月考） 请运用平行四边形特征按下列要求作图：
（1）如图1，中，点E在上， 在上画点F， 使；
（2）如图2，，，画一条直线平分此多边形的面积．
【答案】（1）解：连接，，交于点O，连接并延长，交于点F，则点F即为所求，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：延长交于点G，连接，交于点P，连接、交于点O，连接，则直线即为所求；
∵，，
∴四边形为平行四边形，
同理可得：四边形为平行四边形，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
同理可得：，，
∴，
∴平分，
同理可得：平分，
∴平分此多边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接AC，BD，交于点O，连接EO并延长，交BC于点F，即可得到CF=AE ；
（2）延长EF交BC于点G，分出两个平行四边形ABGF和CDEG，再分别连接两个平行四边形的对角线找到平行四边形的中心，中心O、P所在直线即为所求.
20．（2024八下·茅箭月考） 如图，有两只猴子在一棵树高的点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？树顶D到池塘A的距离有多少米？
【答案】解：设为米，且存在，
即，，
在直角中，为斜边，
则，
即
解得，
米，
米米米，
答：树高7.5米，树顶D到池塘A的距离有12.5米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设为米，则根据题意可知，，根据勾股定理即可得出，从而计算出CD和DA.
21．（2024八下·茅箭月考）在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF.
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝CB，
在△DAE和△BCF中，
∴△DAE≌△BCF（SAS），
∴DE＝BF，
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，
即DF＝BE，
∵DE＝BF，BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠BAF，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，
∴AD＝5，
∵AE＝3，DE＝4，
∴AE2+DE2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∵DE∥BF，
∴∠ABF＝∠AED＝90°，
∴AF＝ .
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质易得 △DAE≌△BCF可得DE＝BF ，即可得 DF＝BE ，根据平行四边形的判定可得结果；
（2）平行线的性质和角平分线的定义易得 ∠DAF＝∠AFD ，即可得 AD＝DF， 由平行四边形的性质可得 AD＝5， 由勾股定理逆定理可得 ∠AED＝90° ，易得 ∠ABF＝90°，根据勾股定理可得结果.
22．（2024八下·茅箭月考） 如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若BC＝BD，求四边形BDFC的面积．
【答案】（1）证明：∵∠A＝∠ABC＝90°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE＝∠DFE，
∵E是边CD的中点，
∴CE＝DE，
在△BEC与△FED中，
，
∴△BEC≌△FED，
∴BE＝FE，
∵CE＝DE，
∴四边形BDFC是平行四边形；
（2）解：∵BC＝3，BC＝BD，
∴BC＝BD=3
在Rt△ABD中，
由勾股定理得，AB2，
由（1）得四边形BDFC是平行四边形
∴BC=DF=3
所以，四边形BDFC的面积＝3×26；
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定和性质得出∠CBE＝∠DFE，然后用AAS证明△BEC≌△FED，从而得出BE＝EF，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明即可；
（2）根据BC＝BD，利用勾股定理求出AB，然后由平行四边形的面积公式列式计算即可.
23．（2024八下·茅箭月考）
（1）问题背景：在中，，，三边的长分别为，求这个三角形的面积．小刚同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求的高，借用网格就能计算出它的面积．
请你将的面积直接填写在横线上：　 　．
（2）思维拓展：我们把上述求面积的方法叫作构图法，若中，，，三边的长分别为，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，其中顶点A的位置如图所示．①求出的面积；②直接写出顶点B到的距离（用含a的式子表示）．
（3）探索创新：若三边长分别为（，且），请直接写出这个三角形的面积（用含m，n的式子表示）．
【答案】（1）
（2）解：①∵，
∴可以看作是两直角边长分别为和a的直角三角形斜边长，
同理：可以看作是两直角边长都是的直角三角形斜边长，可以看作是两直角边长是和a的直角三角形斜边长，于是可以构造出格点三角形，如图即为所求，
；
②点B到的距离为；
（3）解：△ABC得面积为5mn.
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）②设顶点B到的距离为h，则，
∴，
解得：，
即点B到的距离为；
（3）∵，
∴可以看作是两直角边长分别为m和的直角三角形斜边长，
同理：可以看作是两直角边长分别是和的直角三角形斜边长，以看作是两直角边长是和的直角三角形斜边长，于是可以构造出格点三角形，如图即为所求，
∴．
【分析】（1）将放在边长为3的正方形中，用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可求出的面积；
（2）①利用勾股定理在网格中画出符合数据的三角形，利用（1）的方法求出三角形的面积；
②根据等积法表示三角形的面积，即可求出边上的高；
（3）根据题目中所给的构图法构造出符合所给数据的三角形，然后用（1）的方法求出格点三角形的面积即可．
24．（2024八下·茅箭月考） 如图，中，，D为中点，点E在直线上（点E不与点B，C重合），连接，过点D作交直线于点F，连接．
（1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段与的数量关系：　 　．
（2）如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，，，请直接写出线段AF的长．
【答案】（1）
（2）解：结论：．
理由：如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
．
（3）解：的长为或1．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1），，
垂直平分，
．
故答案为：；
（3）解：如图中，当点在线段上时，设，则．
，，
，
，
，
，
．
如图中，当点在线段的延长线上时，设，则．
，，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的长为或1．
【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质证明即可；
（2）过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ，借助辅助线构造全等三角形，将线段AF，EF，BE，围成一个直角三角形，即可写出线段AF，EF，BE之间的数量关系；
（3）分两种情形：一是点E在线段BC上，二是点E在线段BC的延长线上，设，则，根据勾股定理构建方程求解即可．
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