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2025-2026学年第二学期九年级数学开校学情检测
　　　　　　　　　　 （满分：120分）
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（ ）
A． B．3 C．或 D．
3．元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．二次函数的图象过点，则下列判断中正确的是（ ）
A．函数图象的对称轴为直线 B．图象与x轴的另一个交点为
C．函数的最大值为3 D．当时，y随x的增大而减小
5．已知二次函数的图象如图所示，下列5个结论：①；②；③；④，⑤（m为实数且）．其中正确的结论有（ ）
第5题图 第6题图 第7题图
A．②④⑤ B．①③④ C．③④⑤ D．②③⑤
6．如图，将 ABC绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是正八边形的外接圆，连接，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，，以点C为圆心交于点D，交于点E，则图中阴影部分的面积为（　　）
第8题图 第9题图
A． B． C． D．
9．如图， ABC的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
10．某小组做“当试验的次数足够多时，可以用频率估计概率”的试验时，当试验次数达到次时，统计了某一结果出现了次，则符合这一结果的试验最有可能是（ ）
A．从一副张（不含大小王）的扑克牌中任意抽取一张，抽到红桃
B．掷一枚一元的硬币，正面朝上
C．三张同样的纸片，分别写有数字，，，背面朝上洗匀后，任取一张恰好为奇数
D．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“”
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____．
12．把抛物线向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______．
13．某婚庆公司设置的拱门内，外边界线（分别记为）都呈抛物线形，且形状相同，建立如图所示平面直角坐标系．若米，米，则的最大高度为_______米．
第13题图 第14题图
14．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，此时点C恰好落在边上．若，则________．
九年级数学 第1页，共3页
15．如图，内接于，为的直径，，，，为上的动点（不与点，，重合），且，为的中点，分别连接，，则的最小值为_________．
第15题图 第16题图 第18题图
16．半圆形纸片的半径为，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点与圆心重合，则折痕的长为______．
17．一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同，经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为________．
18．如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（不与点重合），则的度数为__________．
三、解答题（共66分）
19．（8分）用适当的方法解下列方程：
(1)； (2)
20．（6分）已知关于x的一元二次方程．
(1)（3分）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)（3分）若、是原方程的两根，且满足，求m的值．
21．（6分）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9块矩形地，求小路的宽度．
22．（6分）如图，将绕点顺时针旋转90°得，连接后发现、、三点共线．
(1)（3分）求证．
(2)（3分）当时，求的长度．
23．（8分）如图，在中，，，是由 ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点E与点A是对应点，点D与点B是对应点，连接，且点A、D、E在同一条直线上．
(1)（4分）求的度数；
(2)（4分）若，求的长度．
九年级数学 第2页，共3页
24．（6分）如图，在平面直角坐标系中,的斜边在y轴上，边与x轴交于点平分，交边于点E，经过点，E的圆的圆心F恰好在y轴上,与y轴相交于另一点G．
(1)（2分）求证：是的切线；
(2)（2分）若点A的坐标为，点D的坐标为，求的半径；
(3)（2分）直接写出线段之间满足的数量关系，不用证明．
25．（8分）某服装店某种服装平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了迎接节日，商店决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件服装每降价2元，商店平均每天可多售出4件．设每件服装降价x元．据此规律，请回答：
(1)（4分）每件服装降价多少元时，商店日盈利可达到1200元？
(2)（4分）如何降价，商店可获得最大利润？最大利润是多少？
26．（8分）2025年我县冬季运动会新增了四个项目：冰壶，滑板，匹克球，蹦床，依次记为．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)（4分）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在县运会中的得分标准，恰好抽到B（滑板）的概率是_____；
(2)（4分）体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（冰壶）和（匹克球）的概率．
27．（10分）如图，抛物线与轴，轴分别交于，两点，点坐标为，抛物线的顶点为，点关于对称轴直线的对称点为点．
(1)（3分）求该抛物线的表达式；
(2)（3分）当时，求函数值y的取值范围；
(3)（4分）将抛物线在点右方的图象沿着直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线与新图象有个公共点时，请直接写出的值．
九年级数学 第3页，共3页《九年级数学》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A D A A B C D A
11．6
12．
13．4.05
14．/度
15．2
16．
17．20
18．/度
19．（1）解：，
∴，
∴，
∴，
解得．
（2）解：，
∴，
，
，
，
∴，．
20．（1）证明：∵，
∴原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵、是原方程的两根，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理得，
解得，．
21．解：设小路的宽度为，则9块矩形地可合并成长为，宽为的矩形．
根据题意，得，
整理，得，
解得（不符合题意，舍去）．
答：小路的宽度为．
22．（1）证明：如图，设，交于F，
∵将绕点C顺时针旋转得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：由（1）知，
∴，
∵将绕点C顺时针旋转得，
∴，
∵，
∴．
23．（1）解：∵，，
∴，
由旋转得，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
24．（1）证明：如图平分，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是圆的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图2，连接，
设的半径为r，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴的半径为5．
（3）解：．
证明：过F作于R，
则，又，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
25．（1）解：设每件服装降价x元，
∵每件服装每降价2元，商店平均每天可多售出4件，
∴每件服装降价x元，商店平均每天可多售出件，
由题意得，，
方程化简为，，
即，
解得，，，
答：每件服装降价10元或20元时，商店日盈利可达到1200元．
（2）解：设每件服装降价x元时，商店日盈利y元，
则商店平均每天可多售出件，
由题意得，，
化简为，，
即，
∵，
∴二次函数开口向下，
∴当时，y有最大值为1250，
答：每件服装降价15元时，商店可获得最大利润，最大利润是1250元．
26．（1）解：恰好抽到B（滑板）的概率是；
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是A（冰壶）和C（匹克球）的结果数为2，
∴体育老师抽到的两张卡片恰好是A（冰壶）和C（匹克球）的概率为：．
27．（1）解：将代入中得，
∵对称轴，即，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵，开口向下，对称轴直线，
又
∴时，取得最小值，
当时，，
当时，，
∴当时，y的取值范围为；
（3）解：①当直线过点D时：
∵B，D两点关于对称轴直线对称，，
∴点D的坐标为，
将点代入直线中得，
∴；
②当直线与抛物线相切时，
令，即，
当，解得；
综上：或．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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