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第8章　四边形
第3课时 菱形的概念与性质
8.2 特殊的平行四边形
图片上的图形有什么共同的形状特征？
四条边看起来一样长.
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活动一：探究菱形的概念与性质
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1.概念推导.
这个平行四边形和普通平行四边形相比，有什么特殊之处？
一组邻边相等.
菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
概念中的两个关键条件：平行四边形，一组邻边相等.
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2.性质探究.
(1)用直尺测量菱形纸片四条边的长度，记录数据并分析 “四条边的关系”；
(2)连接菱形的两条对角线，用量角器测量对角线相交处的角度，用直尺测量对角线被交点分成的两条线段的长度，分析 “对角线的关系”；
(3)用折纸的方法将菱形对折(沿对角线、沿对边中点的连线等)，观察是否重合，判断菱形是否为轴对称图形.
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小组讨论后分享探究结果，得到猜想：
(1)菱形的四条边相等.
(2)菱形的两条对角线互相垂直.
(3)菱形是轴对称图形，有两条对称轴，对角线所在的直线就是它的对称轴.
(4)菱形的对角线平分一组对角.
能证明前两个猜想吗？
高效课堂
已知：如图，在 ABCD 中，AB＝BC，对角线AC，BD 相交于点O.
求证：(1)AB＝BC＝CD＝DA；(2)BD⊥AC.
证明：
(1)由平行四边形的性质定理1，
可得AB＝DC，AD＝BC.
所以AB＝BC＝CD＝DA.
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(2)由平行四边形的性质定理2，
可得AO＝CO，BO＝DO.
所以BD⊥AC，
BD 平分∠ABC 和∠ADC，
AC 平分∠BAD 和∠BCD.
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菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直，每条对角线都平分一组对角.
几何语言：
如图，如果四边形 ABCD 是菱形，
那么AB＝BC＝CD＝DA，
AC⊥BD，
∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠CDB，∠DAC＝∠BAC，∠BCA＝∠DCA.
高效课堂
强调：菱形是特殊的平行四边形，既具有平行四边形的所有性质，又具有自身的特殊性质.
活动二：运用菱形的性质解决实际问题
高效课堂
高效课堂
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活动三：深化拓展与证明
高效课堂
1.证明：菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半.
平行四边形的面积＝底×高，菱形作为特殊的平行四边形，是否有其他面积计算方法？
结合菱形的对角线互相垂直的性质，尝试推导新的面积公式.
高效课堂
菱形的对角线将菱形分成四个一样的直角三角形，或两个全等的三角形.
菱形的面积＝4××AO×BO ＝×(2AO)×(2BO)＝×AC×BD，
即菱形的面积＝两条对角线长的乘积的一半.
高效课堂
2.证明：菱形的对角线平分一组对角.
已知：如图，在菱形ABCD 中，连接对角线AC.
求证：AC 平分∠BAD 和∠BCD.
课堂评价
D
A
课堂评价
回顾本节课的内容：
1.概念：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
2.性质：①具有平行四边形的所有性质；②四条边相等(由平行四边形的对边相等＋菱形的邻边相等推导)；③对角线互相垂直(由平行四边形的对角线互相平分＋菱形的四条边相等＋等腰三角形“三线合一”推导)；④是轴对称图形(有2条对称轴).
课堂总结
3.面积：①底×高；②×对角线×另一条对角线.
4.证明：面积公式的推导、对角线平分一组对角.
课堂总结
基础性作业：
1.已知菱形的边长为6 cm，求该菱形的周长.
2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝10 cm，BD＝24 cm，求菱形ABCD的边长及面积.
作业设计
提高性作业：
1.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，E 为边AD的中点，连接OE.若OE＝2，求菱形ABCD 的边长.
2.已知菱形的一个内角为60°，边长为4，求该菱形的两条对角线的长度.
作业设计

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