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第8章　四边形
第5课时 正方形
8.2 特殊的平行四边形
这些图形有什么共同特征？ 它们与之前学过的矩形、菱形有什么联系？
这些图形都是正方形，四条边都相等，四个角都是直角；正方形既符合矩形的概念，又符合菱形的概念.
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拿出矩形纸片，尝试通过折叠或裁剪，将其变成一个正方形；再拿出菱形纸片，用同样的方法将其变成一个正方形.
结合刚才的操作活动，能给出正方形的概念吗？
四条边相等，四个角都是直角的四边形叫作正方形.
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正方形与之前所学的各种四边形之间有怎样的关系？
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活动一：探究正方形的判定定理
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1.判定猜想.
问题1：结合刚才的操作活动，能想到哪些判定正方形的方法？
“四条边相等，四个角都是直角的四边形叫作正方形”进行判定.
还可以从“矩形如何变成正方形”“菱形如何变成正方形”两个角度思考，如“有一组邻边相等的矩形是正方形”“有一个角是直角的菱形是正方形”.
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2.定理证明.
任务1：证明“有一组邻边相等的矩形是正方形”.
已知：如图，四边形ABCD 是矩形，AB＝BC.
求证：四边形ABCD 是正方形.
证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，AB＝CD.
∵AB＝BC，∴AB＝BC＝CD＝AD.
∴四边形ABCD 是正方形.
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正方形的第一种判定方法：有一组邻边相等的矩形是正方形.
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任务2：证明“有一个角是直角的菱形是正方形”.
已知：如图，在菱形ABCD 中，∠A＝90°.
求证：四边形ABCD 是正方形.
证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD.
∵∠A＝90°，∴∠C＝90°.
又∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°.∴∠D＝∠A＝90°.
∴∠B＝∠C＝∠D＝∠A＝90°.
∴四边形ABCD 是正方形.
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正方形的第二种判定方法：有一个角是直角的菱形是正方形.
正方形的判定定理：
有一组邻边相等的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
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3.判定辨析.
问题2：对角线相等的菱形是正方形吗？ 对角线互相垂直的矩形是正方形吗？ 请说明理由.
总结：正方形的判定可归纳为“两步走”——先判定为矩形(或菱形)，再补充正方形的特有条件.
活动二：探究正方形的性质定理
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1.性质猜想.
问题1：正方形作为特殊的矩形和菱形，会继承哪些性质呢？ 请结合矩形、菱形的性质猜想，正方形的对角线有什么特征？
猜想“对角线相等且互相垂直平分”.
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小组活动：用直尺、量角器测量手中各种正方形纸片(由矩形、菱形裁剪而成)的对角线，验证猜想.
正方形的性质定理：
正方形的对角线相等且互相垂直平分.
几何语言：如图，如果四边形ABCD 是正方形，
那么AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD.
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2.定理证明.
问题2：如何用演绎推理证明“正方形的对角线相等且互相垂直平分”？
已知：四边形ABCD 是正方形，对角线AC，BD 相交于点O.
求证：AC＝BD，AC⊥BD，AO＝CO＝BO＝DO.
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3.性质梳理.
根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”.
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归纳总结：正方形同时具备平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
活动三：定理应用与例题解析
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课堂评价
B
8
课堂评价
1.用思维导图总结正方形的概念、性质定理、判定定理，以及与平行四边形、矩形、菱形之间的关系.
2.回顾“类比迁移”“归纳整合”的学习方法，强调正方形判定的“两步走”策略.
3.提问：正方形在实际生活中还有哪些应用？
课堂总结
基础性作业：教材习题第15，16题.
提高性作业：如图，在正方形ABCD 中，点E，F 分别在BC，CD 上，且BE＝CF，连接AE，BF 交于点O.求证：AE＝BF 且AE⊥BF.
拓展性作业：用直尺和圆规作一个边长为3 cm 的正方形，并说明作图依据(结合正方形的判定定理).
作业设计

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