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第8章　四边形
8.3 三角形的中位线
问题1：如图，A，B 两地被池塘阻隔，如何在不涉水的情况下测量A，B 两地的距离？
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问题2：按如图1所示的方式将一张三角形包装纸折叠成一个矩形信封(如图2).能在图1中找到哪些相等的线段？
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总结：根据上面的折叠过程，可得DA＝DA'，DB＝DA'，所以 DA＝DB.同理可得EA＝EC.
由此可以知道，D，E 分别是边AB，AC 的中点.线段DE 与边BC 有什么关系？
线段DE 是△ABC的中位线.
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活动一：明确三角形的中位线的概念
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1.概念生成.
在△ABC 中，分别取AB，AC 的中点D，E，连接DE.
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
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2.概念辨析.
三角形有几条中位线？ 在自己的三角形纸片上画出所有的中位线.
能画出3条中位线.
如图，在△ABC 中，D，E，F 分别是边AB，AC，BC 的中点，DE，DF，EF 都是△ABC 的中位线.
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三角形的中位线与中线有什么区别？
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练习：下列线段中是△ABC 的中位线的是 ( )
A.连接顶点A 与BC 中点的线段
B.连接AB 中点与AC 中点的线段
C.连接AB 中点与BC 中点的线段
BC
活动二：探究三角形的中位线定理
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尝试：
如图，完成下列操作，并回答问题：
(1)剪一张三角形纸片ABC.
(2)沿中位线DE 将纸片剪成两部分，拼得的图形是平行四边形吗？
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1.猜想关系.
结合刚才的操作活动猜想，△ABC 的中位线DE 与第三边BC 在位置和数量上有什么关系？
DE∥BC，DE＝BC.
小组验证：用直尺测量DE 与BC 的长度，用量角器测量∠ADE 与∠B 的度数(验证平行)，确认猜想.
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2.证明猜想.
如何用几何推理证明DE∥BC，DE＝BC？
已知：如图，在△ABC 中，D，E 分别是AB，AC 的中点.
求证：DE∥BC，DE＝BC.
证明：如图，延长DE 到点F，使EF＝DE，连接CF.
∵D，E 分别是AB，AC 的中点，
∴AD＝BD，AE＝CE.
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∵AE＝CE，∠AED＝∠CEF，DE＝FE，
∴△ADE≌△CFE(SAS).
∴AD＝CF，∠ADE＝∠F.
∴BD∥CF，BD＝AD＝CF.
∴四边形BCFD 是平行四边形.
∴DE∥BC，DF＝BC.
∵DE＝DF，∴DE＝BC.
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3.定理总结.
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
几何语言：如图，在△ABC 中，如果D，E 分别是边AB，AC 的中点，那么DE∥BC，DE＝BC.
活动三：定理应用与例题解析
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探究：由例1可知，首尾顺次连接四边形ABCD 的各边中点，可以得到一个平行四边形.当四边形ABCD 满足什么条件时，所得的平行四边形是矩形、菱形或正方形？
当四边形ABCD 的对角线互相垂直时，所得的平行四边形是矩形；当四边形ABCD 的对角线相等时，所得的平行四边形是菱形；当四边形ABCD 的对角线互相垂直且相等时，所得的平行四边形是正方形.
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课堂评价
C
课堂评价
10
65°
8
课堂评价
1.总结三角形中位线的概念、定理(文字语言、几何语言)及推导思路(构造平行四边形).
2.回顾“直观感知——猜想验证——演绎证明”的探究方法，强调“转化思想”在几何证明中的应用.
3.拓展思考：如果三角形是直角三角形或钝角三角形，那么三角形的中位线定理还成立吗？
课堂总结
基础性作业：教材习题第2，3题.
提高性作业：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，D，E，F 分别是AB，BC，AC 的中点.求证：四边形CEDF 是矩形.
拓展性作业：探究“中点四边形”的形状与原四边形对角线的关系，并写出简要探究报告.
作业设计

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