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第9章 因式分解
9.1 因式分解的概念
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开展“数字变形接力赛”游戏.
用不同整数相乘的形式表示12，如12＝1×12，12＝3×4，12＝2×
6，12＝2×2×3等.
x2＋3x这个多项式能不能像数字12一样，写成几个整式乘积的形式？
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活动一：类比探究，初识因式分解
7＋72能被8整除吗？ 99＋992能被100整除吗？
7＋72＝7×(1＋7)＝7×8，所以7＋72能被8整除.
99＋992＝99×(1＋99)＝99×100，所以99＋992能被100整除.
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可以把7＋72和99＋992写成几个数相乘的形式，对于多项式，比如a＋a2(a是正整数)，它能被a＋1整除吗？ 能不能也写成几个整式乘积的形式？
a＋a2＝a(a＋1)，a＋a2能被a＋1整除，且写成了两个整式乘积的形式.
一般地，如果一个多项式可以表示成若干个整式的乘积，那么其中的每个整式都叫作这个多项式的因式.在解决问题时，常需要把一个多项式表示成因式的乘积.
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例如，对于多项式ma＋mb，x2＋3x＋2，由m(a＋b)＝ma＋mb，(x＋1)·(x＋2)＝x2＋3x＋2，可知：
ma＋mb＝m(a＋b)，x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2).
上述两组等式有什么共同特点？
第一组等式表示两个整式的乘法运算；第二组等式是把一个多项式表示成两个整式的乘积形式.
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因式分解的概念：把一个多项式表示成几个整式的乘积形式，这样的变形叫作多项式的因式分解.
因式分解也可称为分解因式.
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活动二：对比分析，明确因式分解与整式乘法之间的关系
1.区分整式乘法与因式分解.
讨论 判断下列从左到右的变形中，哪些是整式乘法，哪些是多项式的因式分解.
(1)m(a＋2b)＝ma＋2mb； (2)15xy＋25xy2＝5xy(3＋5y)；
(3)(y＋3)(y－3)＝y2－9； (4)a2＋4b2＋4ab＝(a＋2b)2.
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(1)m(a＋2b)＝ma＋2mb； (2)15xy＋25xy2＝5xy(3＋5y)；
(3)(y＋3)(y－3)＝y2－9； (4)a2＋4b2＋4ab＝(a＋2b)2.
判断从左到右的变形哪些是整式乘法，哪些是多项式的因式分解.
(1)(3)是整式乘法，因为是把几个整式相乘得到一个多项式；
(2)(4)是多项式的因式分解，因为是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
答案 (1)(3)是整式乘法，(2)(4)是多项式的因式分解.
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例 检验下列因式分解是否正确.
(1)x3＋ x2＝x2(x＋ 2)；
(2)y2＋6y＋6＝(y＋3)2；
(3)4n2－m2＝(2n＋m)(2n－m)；
(4)x2－x－6＝(x＋2)(x－3).
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解 (1)等式右边是整式乘积的形式，因为x2(x＋ )＝x2·x＋x2·
＝x3＋2x2，所以因式分解正确.
(2)等式右边是整式乘积的形式，但由于(y＋3)2＝y2＋6y＋9≠y2＋6y＋6，所以因式分解错误.
(3)等式右边是整式乘积的形式，因为(2n＋m)(2n－m)＝(2n)2－m2＝4n2－m2，所以因式分解正确.
(4)等式右边是整式乘积的形式，因为(x＋2)(x－3)＝x2－3x＋2x－6＝x2－x－6，所以因式分解正确.
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2.图形辅助理解.
观察并写出相应的等式.
(x＋3)(x＋2)＝x2＋5x＋6
x2＋5x＋6＝(x＋3)(x＋2)
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3.探究互逆关系.
因式分解与整式乘法之间有什么关系？
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活动三：巩固应用，强化概念理解
探究 写出整式A与B，使得A＝B(a＋3).满足条件的整式A，B可以写出多少个？
解 答案不唯一.如令右边B＝a＋2，则A＝(a＋2)(a＋3)＝a2＋5a＋6；如令B＝3，则A＝3(a＋3)＝3a＋9等.
课堂评价
课堂评价
1.通过本节课的学习，你学到了哪些内容？
2.学习了本节课，你有何感想？ 请畅所欲言.
课堂总结
基础性作业：教材练习第1，2题；教材习题第1题.
提高性作业：教材习题第2，3题.
拓展性作业：寻找生活中可以用因式分解解决的实际问题，如计算图形的面积等，尝试用因式分解的方法解决，并写下你的思考过程.
作业设计

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