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习题课——导数的概念及运算法则
第二章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意义.
2.能根据导数定义求一些简单函数的导数.
3.能利用基本初等函数的导数公式和四则运算法则求简单函数的导数,能求简单复合函数的导数.
4.提升逻辑推理和数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、导数与导函数的概念
【问题思考】
1.(1)设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值y从f(x0)变到f(x1),函数值
当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y=f(x)在点x0的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)
在点x0处的导数,通常用符号f'(x0)表示,记作
(2)一般地,如果一个函数y=f(x)在区间(a,b)的每一点x处都有导数
f'(x)= ,那么f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为y=f(x)的导函数,也简称导数,有时也将导数记作y'.
2.用定义法求函数f(x)=2x2的导数f'(x),并利用f'(x)求f'(0),f'(-1)的值.
二、导数的几何意义
【问题思考】
1.函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0),是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.

2.曲线y=f(x)=2x+ln x在点(e,f(e))处的切线方程为　　　　　.
三、导数的有关运算
【问题思考】
1.(1)导数公式表,见表2-5-1.
表2-5-1
(2)导数的运算法则
一般地,若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f'(x)和g'(x),则
①[f(x)±g(x)]'= f'(x)±g'(x) ,
②[f(x)g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x) ,
特别地,[kf(x)]'=kf'(x),k∈R.
(3)复合函数的导数
复合函数y=f(φ(x))对x的导数为yx'=[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x),其中u=φ(x).
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)f'(x0)与[f(x0)]'表示的意义相同.( × )
(2)求f'(x0)时,可先求f(x0)再求f'(x0).( × )
(3)曲线的切线不一定与曲线只有1个公共点.( √ )
(4)与曲线只有1个公共点的直线一定是曲线的切线.( × )
(5)函数f(x)=sin(-x)的导数是f'(x)=cos x.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
导数的运算
【例1】 求下列函数的导数:
(1)y=x(ln x+cos x);
(4)y=ln(2x-5).
1.求导之前,应利用代数、三角恒等式等对函数进行化简,然后求导.
2.复合函数求导时,先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元.
【变式训练1】 求下列函数的导数:
探究二
导数公式、法则的灵活应用
【例2】 已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=3x2+2x·f'(2),则f'(5)=(　　).
A.2 B.4 C.6 D.8
解析:∵f'(x)=6x+2f'(2),
∴f'(2)=12+2f'(2),解得f'(2)=-12.
∴f'(x)=6x-24.∴f'(5)=6×5-24=6.
答案:C
1.求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导数.
2.在求导过程中,要仔细分析函数解析式的结构特征,紧扣法则,记准公式,避免运算错误.
【变式训练2】 (1)已知函数f(x)=ln x+a的导函数为f'(x),若方程f'(x)=f(x)的根x0小于1,则实数a的取值范围为(　　).
A.(1,+∞) B.(0,1)
答案:A
(2)函数f(x)=ax2+2x·f'(2),且f'(2)=-12,求实数a的值.
解:∵f'(x)=2ax+2f'(2),
∴f'(2)=2a×2+2f'(2),
∴4a=-f'(2)=12,解得a=3.
探究三
导数的几何意义
【例3】 已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是　　　　　　　　　.
解析:令x>0,则-x<0,f(-x)=ln x-3x.
∵f(-x)=f(x),∴f(x)=ln x-3x(x>0).
∴f'(x)= -3(x>0).
∴f'(1)=-2.
∴曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即2x+y+1=0.
答案:2x+y+1=0
若已知曲线y=f(x)过点P(x0,y0),求曲线过点P的切线方程,则需分点P(x0,y0)是切点和不是切点两种情况求解.
(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0).
(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成:
第一步:设出切点坐标P1(x1,f(x1));
第二步:写出曲线在点P1(x1,f(x1))处的切线方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1);
第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;
第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),可得过点P(x0,y0)的切线方程.
【变式训练3】 设函数f(x)=aexln x+ .
(1)求导函数f'(x);
(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,求a,b的值.
(2)由于切点既在曲线y=f(x)上,又在切线y=e(x-1)+2上,将x=1代入切线方程得y=2,
将x=1代入函数f(x)的解析式得f(1)=b,故b=2.
将x=1代入导函数f'(x)的解析式中,得f'(1)=ae=e,从而a=1.
【思想方法】
换元法在求函数导数中的应用
【典例】 已知函数f(x)=ecos x+3,求其导数f'(x).
解:令u=cos x+3,则f(x)=eu.
∴f'(x)=(eu)'·(cos x+3)'=eu·(-sin x)=-sin x·eu=-ecos x+3·sin x.
在求复合函数的导数时,巧用换元法,将函数求导化为了基本初等函数求导,简化运算的同时使求解过程一目了然.
【变式训练】 已知函数f(x)=ln(sin x-5),求f'(x).
随堂练习
1.若f(x)=exln 2x,则f'(x)=(　　).
答案:C
2.函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图所示,则y=f(x),y=g(x)的图象可能是(　　).
(第2题)
解析:由y=f'(x)的图象知y=f'(x)在区间(0,+∞)上单调递减,说明函数y=f(x)图象的切线的斜率在(0,+∞)上也单调递减,故可排除A,C.
又由题图知y=f'(x)与y=g'(x)的图象在x=x0处相交,说明y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相等,故可排除B.故选D.
答案:D
A.10 B.-10 C.-20 D.20
答案:C
4.已知函数f(x)= sin3x+3xf'(0),则f'(0)=　　　　　.
解析:∵f'(x)=sin2xcos x+3f'(0),
∴f'(0)=sin20cos 0+3f'(0),∴f'(0)=0.
答案:0
5.曲线y=f(x)=esin x在(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为 ,求直线l的方程.
解:∵f(x)=esin x,∴f'(x)=esin xcos x,
∴f'(0)=1.
∴曲线y=f(x)=esin x在(0,1)处的切线方程为y-1=x,即x-y+1=0.
又直线l与x-y+1=0平行, ∴可设直线l的方程为x-y+m=0(m≠1).

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