资源简介

(共50张PPT)
习题课——用导数研究函数的单调性、
极值、最值
第二章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.了解函数的单调性与导数的关系,能用导数求解有关单调性问题.
2.会用导数求函数的极值.
3.能利用导数求函数的最大值、最小值.
4.提升逻辑推理及数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、函数的单调性与导数
【问题思考】
1.导数的符号与函数的单调性之间具有如下关系:
(1)若在某个区间上,函数y=f(x)的导数f'(x)>0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递增;
(2)若在某个区间上,函数y=f(x)的导数f'(x)<0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递减.
若在某个区间上,f'(x)≥0,且只在有限个点为0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递增;若在某个区间上,f'(x)≤0,且只在有限个点为0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递减.
2.做一做:函数f(x)=cos x-x在区间(0,π)内的单调性是(　　).
A.先单调递增后单调递减
B.先单调递减后单调递增
C.单调递增
D.单调递减
解析:∵x∈(0,π),∴f'(x)=-sin x-1<0,
∴函数f(x)在区间(0,π)上单调递减.
答案:D
二、函数的极值、最值与导数
【问题思考】
1.(1)函数的极大值与极小值:
若函数y=f(x)在区间(a,x0)上单调递增,在区间(x0,b)上单调递减,则x0是极大值点,f(x0)是极大值.
若函数y=f(x)在区间(a,x0)上单调递减,在区间(x0,b)上单调递增,则x0是极小值点,f(x0)是极小值.
(2)函数的最值与导数
①函数f(x)在区间[a,b]上有最值的条件:
如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
②求y=f(x)在区间[a,b]上的最大(小)值的步骤:
(ⅰ)求出函数导数在区间(a,b)上的零点;
(ⅱ)将所有导数零点的函数值与区间端点的函数值f(a),f(b)进行比较,其中最大的值即为函数的最大值,最小的值即为函数的最小值.
函数f(x)在区间(0,1]内单调递增.
所以f(x)min=f(0)=0.
答案:(1)A　(2)20
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,则必有f'(x)>0.( × )
(2)函数的极大值可能小于极小值.( √ )
(3)函数的最大值不一定是极大值,最小值也不一定是极小值.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
利用导数研究函数的单调性
【例1】 已知函数f(x)=ln x,g(x)= ax2+2x(a≠0).
(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求a的取值范围.
又因为a≠0,所以a的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞).
例1第(2)问中,若h(x)在[1,4]上存在单调递减区间,求a的取值范围.
解:若h(x)在[1,4]上存在单调递减区间,则h'(x)<0在[1,4]上有解,
根据函数的单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在区间(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)单调递增的充要条件是:对任意的x∈(a,b),都有f'(x)≥0,且在(a,b)上的任一非空子区间上f'(x)不恒为零.(要注意等号是否可以取到)
(3)注意区分“在区间上恒成立”与“在区间上存在x值使不等式成立”的区别.分离参数后对应不同的最值类型.
【变式训练1】 已知函数f(x)=x2+aln x.
(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若g(x)=f(x)+ 在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.
令f'(x)>0,得x>1;
令f'(x)<0,得0若函数g(x)为[1,+∞)上的增函数,
则g'(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,
因为φ(x)在[1,+∞)上单调递减,
所以φ(x)max=φ(1)=0,所以a≥0.
若函数g(x)为[1,+∞)上的减函数,
因为φ(x)没有最小值,不满足题意,
所以实数a的取值范围为[0,+∞).
探究二
用导数求函数的极值、最值
【例2】 已知函数f(x)= x2+aln x.
(1)若a=-1,求函数f(x)的极值,并指出是极大值还是极小值.
(2)若a=1,求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值.
分析　先求f'(x),再利用导数讨论函数f(x)的单调性,最后确定函数f(x)的极值和最值.
解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
令f'(x)=0,得x=1或x=-1(舍去).
当x∈(0,1)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.
在例2中,若a=1,求证:在区间[1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)= x3图象的下方.
当x≥1时,F'(x)≤0,且只在有限个点为0,
则函数F(x)在区间[1,+∞)上单调递减.
又F(1)=- <0,
∴在区间[1,+∞)内,F(x)<0恒成立,即f(x)因此,当a=1时,在区间[1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)图象的下方.
导数法是求解函数的单调性、极值、最值、参数等问题的有效方法,应用导数求单调区间关键是求解不等式的解集;最值问题关键在于比较极值与区间端点函数值的大小;参数问题有恒成立问题、单调性的逆向应用等,求解时注意分类讨论思想的应用.
【变式训练2】 已知函数f(x)=xln x-ax2+a(a∈R),其导函数为f'(x).
(1)求函数g(x)=f'(x)+(2a-1)x的极值;
(2)当x>1时,关于x的不等式f(x)<0恒成立,求a的取值范围.
解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x-2ax+1,
所以,当x=1时,函数g(x)有极大值,极大值为g(1)=0,无极小值.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x-2ax+1.
若a≤0,则f'(x)=ln x-2ax+1>0在x>1时恒成立,从而f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,
所以f(x)>f(1)=0在区间(1,+∞)上恒成立,与已知矛盾,
故a≤0不符合题意.
若a>0,设φ(x)=f'(x)=ln x-2ax+1,x>1,
则f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,所以f(x)探究三
利用导数求解不等式恒成立与有解问题
【例3】 已知函数f(x)=ln x+ x2-(a+1)x.
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-2,求函数f(x)的单调区间;
(2)当x>0时, 恒成立,求实数a的取值范围.
含参数不等式的解法一般有两种:(1)分离参数法;(2)直接化为不等式恒成立问题.无论哪种方法实质都是转化为求解函数最值.
【变式训练3】 已知函数f(x)=aln x+ x2-ax有两个极值点.
(1)求实数a的取值范围;
(2)设f(x)的两个极值点分别为x1,x2,若不等式f(x1)+f(x2)<λ(x1+x2)恒成立,求λ的最小值.
解:(1)由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= ,函数f(x)有两个极值点,即方程f'(x)=0有两个不同的正根,即方程x2-ax+a=0有两个不同的正根.
故a的取值范围为(4,+∞).
∴y∴λ的最小值是ln 4-3.
【规范解答】
利用导数求函数的最值
【典例】 已知函数f(x)=x-eax(a>0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在区间 上的最大值.
审题策略　(1)求f'(x),通过求f'(x)>0(<0)确定f(x)的单调区间;(2)将极大值与
比较得到f(x)的最大值.
规范展示:(1)函数f(x)=x-eax(a>0),则函数f(x)的定义域为R,f'(x)=1-aeax.
当x变化时,f'(x)的符号、f(x)的单调性和极值点如表2-6-12:
表2-6-12
答题模板　用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题:
第1步:(求导数)求函数f(x)的导数f'(x);
第2步:(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值;
第3步:(求端点函数值)求f(x)在给定区间上的端点函数值;
第4步:(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点函数值进行比较,确定f(x)的最大值与最小值.
规范解答本题的要点如下:
(1)能准确求导或求函数值;
(2)能准确确定分类讨论的标准.
【变式训练】 已知函数f(x)= (a>0)的导函数y=f'(x)的两个零点为-3和0.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)的极小值为-e3,求函数f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值.
设g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,因为ex>0,所以y=f'(x)的零点就是
g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点,且f'(x)与g(x)符号相同.
因为a>0,所以当-30,即f'(x)>0;当x<-3或x>0时,g(x)<0,即f'(x)<0.
所以函数f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞).
(2)由(1)知,x=-3是f(x)的极小值点,所以有
因为函数f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞),所以f(0)=5为函数f(x)的极大值,故f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值为f(-5)和f(0)中
的较大者,而f(-5)= =5e5>f(0)=5.
故函数f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值是5e5.
随堂练习
1.函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间是(　　).
A.(0,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-1,1)
解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞).
∴当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,1)上单调递减;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故选A.
答案:A
2.已知函数f(x)= -1+ln x,若存在x0>0,使得f(x0)≤0,则实数a的取值范围是(　　).
解析:函数f(x)的定义域是(0,+∞),不等式 -1+ln x≤0有解,即a≤x-xln x在(0,+∞)上有解.令h(x)=x-xln x,则h'(x)=-ln x.由h'(x)=0,得x=1.
当00,当x>1时,h'(x)<0.故当x=1时,函数h(x)=x-xln x取得极大值1,也是最大值.所以要使不等式a≤x-xln x在(0,+∞)上有解,只要a≤h(x)max即可,即a≤1.
答案:C
A.{a|a>2} B.{a|a<3}
C.{a|a≤1} D.{a|a≥3}
3.设14.已知曲线y=f(x)=x3+ax2+bx+1(a,b∈R)在点(1,f(1))处切线的斜率为3,且x= 是函数y=f(x)的极值点,则a+b=　　　　　.
解析:f'(x)=3x2+2ax+b.
答案:-2
5.已知函数f(x)=ex-2(a-1)x-b,其中e为自然对数的底数.若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围.
解:函数f(x)=ex-2(a-1)x-b,其导数为f'(x)=ex-2(a-1).
若函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,则f'(x)=ex-2(a-1)≥0在区间[0,1]上恒成立,所以2(a-1)≤(ex)min=1(x∈[0,1]),解得a≤ ;
若函数f(x)在区间[0,1]上单调递减,则f'(x)=ex-2(a-1)≤0在区间[0,1]上恒成立,所以2(a-1)≥(ex)max=e(x∈[0,1]),解得a≥ +1.

展开更多......

收起↑