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1.1　数列的概念
第一章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.了解数列的概念及数列的分类,认识数列是反映自然规律的基本数学模型.
2.了解数列是一种特殊的函数,了解数列与函数的关系.
3.能根据数列的前几项,写出它的一个通项公式.能根据通项公式确定数列的某一项.
4.体会数学抽象的过程,提升逻辑推理能力和数学运算能力.
自主预习 新知导学
一、数列的概念
【问题思考】
1.观察下面的例子,并回答问题.
①0,1,2,…;②-2,-2,-2.
(1)以上各例中的研究对象是什么
(2)以上各例中的数有次序吗
(3)以上各例中各有几个数
提示:(1)数.
(2)有.
(3)①无数个;②3个.
2.按一定次序排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…或简记为数列{an}.其中a1是数列的第1项,也叫数列的首项;an是数列的第n项,也叫数列的通项.
3.下列关于正整数的前5个数的排列:①1,2,3,4,5;②5,4,3,2,1;③2,1,5,3,4;
④4,1,5,3,2.其中可以称为数列的有(　　).
A.① B.①②
C.①②③ D.①②③④
解析:数列是按一定次序排列的一列数.因此选D.
答案:D
二、数列的分类
【问题思考】
1.数列3,3,3,3,3与数列3,3,3,3,3,…的项数是有限的还是无限的
提示:第一个数列项数有限,第二个数列项数无限.
2.项数有限的数列,称为有穷数列;项数无限的数列,称为无穷数列.
3.对于下列数列:①4,3,2,1,0,-1,…;②1,2,4,8,…,1 024;③2,7,2,7,…,2,7,…;④6,6,6,…,6,….其中有穷数列有　　　,无穷数列有　　　　　　　.(填序号)
答案:②　①③④
三、通项公式
【问题思考】
1.对于数列1,-1,1,-1,…,回答下列问题.
(1)数列中的项an与其序号n是否有一定的规律
(2) an关于n的关系式唯一吗
(3)试写出an关于n的一个关系式.
提示:(1)是.
(2)不唯一.
(3)an=(-1)n+1. (答案不唯一)
2.数列可以看作定义域为正整数集N+(或其子集)的函数.如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an=f(n),那么这个式子就叫作这个数列的通项公式,数列的通项公式就是相应函数的解析式.
3.是否任何数列都能写出其通项公式
提示:否.
4.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)-5,2,1,-8,7,…,981不构成数列.( × )
(2)-1,1,3,5,7,…是有穷数列.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
数列的分类
答案:①⑥　②③④⑤
④1,0,-1,…,2,…;
⑤2,4,8,16,32,…;
⑥-1,-1,-1,-1.
其中,有穷数列为　　　　,无穷数列为　　　　　　　.(填序号)
【例1】 已知下列数列:
①2 020,2 021,2 022,2 023,2 024,2 025;
判断一个数列是有穷数列还是无穷数列,需要从定义入手.若数列的项数有限,则为有穷数列,反之则为无穷数列.
答案:②　①③
【变式训练1】 给出下列数列:
①在西北地区,由于地理环境和生态条件的特殊性,公益林的建设和管理尤为重要.为了监控和管理森林资源,某地区根据自身的实际情况给树木编号构成的数列836 000 001,836 000 002,836 000 003,…,836 772 384,…;
③-2的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂,…构成的数列-2,4,-8,16,-32,….
其中,有穷数列为　　　　　,无穷数列为　　　　　.(填序号)
探究二
根据数列的通项公式求数列中的项
【例2】 根据下列数列的通项公式,写出它的前4项.
∴{bn}的前4项依次为0,-1,0,1.
对于例2(2),求b202.
an=f(n)表示的是序号n与数列的项之间的函数关系.由f(n)求an即已知函数的自变量求其对应的函数值,将自变量n的值代入an=f(n)即可.
【变式训练2】 根据下面数列{an}的通项公式,写出它的前5项.
(1)an=n2;
解:　(1)1,4,9,16,25.
探究三
根据数列的前几项求数列的通项公式
【例3】 根据下面各数列的前几项,写出数列的一个通项公式:
(1)-1,7,-13,19,…;
(3)5,55,555,5 555,….
解:　(1)数列的偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n,观察各项的绝对值,从第2项起,每一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故该数列的一个通项公式为an=(-1)n(6n-5).
(2)数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数再
将例3(3)改为:0.5,0.55,0.555,…,求该数列的一个通项公式.
由数列的前几项归纳该数列通项公式的常用方法及具体策略
(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等.
(2)具体策略:①分析分数中分子、分母的特征;②分析相邻项的变化特征;③分析拆项后的特征;④分析各项的符号特征或绝对值特征;⑤化异为同,对于分数,可对分子、分母分别考虑,或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于正负号交替出现的情况,可用(-1)n或(-1)n+1处理.
【变式训练3】 根据给出的前几项,写出各数列的一个通项公式.
(1)a,b,a,b,a,b,…
(2)9,99,999,9 999,…
(2)各项加1后,原数列变为10,100,1 000,10 000,…,故原数列的一个通项公式为an=10n-1.
(3)数列中的每一项由三部分组成,分母是从1开始的奇数;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,分子的后一部分是减去从1开始的自然数,故数
【思想方法】
利用函数与方程的思想求解数列的问题
数列可看作定义域为正整数集N+(或其子集)的函数,灵活运用函数与方程的思想解决数列问题,有时可达到事半功倍的效果.判断某数值是不是该数列中的项,需先假定它是数列中的项,列方程求解.若方程的解为正整数,则该数值是此数列中的项;若方程无解或解不是正整数,则该数值不是此数列中的项.
【变式训练】 已知数列{an}的通项公式是an= (n∈N+).
(1)0和1是不是数列{an}中的项 如果是,那么是第几项
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项 若存在,分别是第几项
解:(1)若0是{an}中的第n项,则 =0,解得n=0或n=21.
∵n∈N+,∴n=21.
∴0是{an}中的第21项.
若1是{an}中的第n项,则 =1,
可得n2-21n=2,即n2-21n-2=0.
∵方程n2-21n-2=0不存在正整数解, ∴1不是{an}中的项.
(2)假设{an}中存在第m项与第m+1项相等,
即am=am+1,
解得m=10.故数列{an}中存在连续且相等的两项,分别为第10项与第11项.
随堂练习
1.下列说法中,正确的是(　　).
A.数列1,3,5,7可表示为集合{1,3,5,7}
B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列
D.数列0,1,2,3,4,…,可记为{n}
解析:由数列定义知A错误,B中前后两个数列中的数排列次序不同,D中n∈N+,不包括0.
答案:C
2.已知数列{an}的通项公式是an=n2+(-1)n×2,则其第3,4项分别是(　　).
A.9,14 B.9,18 C.7,18 D.7,14
解析:a3=32-2=7,a4=42+2=18.
答案:C
答案:4　不是
4.已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.
(1)写出数列的第4项和第6项;
(2)-49和68是该数列的项吗 若是,是第几项 若不是,请说明理由.
解:(1)∵an=3n2-28n,
∴a4=3×42-28×4=-64,a6=3×62-28×6=-60.
(2)令3n2-28n=-49,即3n2-28n+49=0,
∴-49是该数列的第7项,即a7=-49.
令3n2-28n=68,即3n2-28n-68=0,

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