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(共33张PPT)
1.2　数列的函数特性
第一章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.了解数列的图象特点,会作数列的图象.
2.掌握数列的增减性,并能判断所给数列的增减性.
3.提升直观想象和逻辑推理能力.
自主预习 新知导学
一、数列的图象
【问题思考】
1.函数f1(x)=2x,x∈R与f2(x)=2x,x∈N+的图象相同吗
提示:不同.f1(x)=2x,x∈R的图象是一条直线,而f2(x)=2x,x∈N+的图象是直线y=2x上横坐标为正整数的所有点.
2.可以把一个数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数,因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列,图象中每个点的坐标为(n,an),n=1,2,3,…这个图象也称为数列的图象.
解:分别取n=1,2,3,4,…,得到相应各点(1,1), ,….描点即得数列{an}的图象(如图1-1-1).
3.试作出数列{an}的图象,其中 (n∈N+).
图1-1-1
二、数列的增减性
【问题思考】
1.对于数列{an}和{bn},已知 ,试问{an},{bn}的项有什么变化规律
提示:随着n的增大,{an}的项越来越大;{bn}的项越来越小.
3.想一想:是否存在不是递增数列,不是递减数列,也不是常数列的数列 试举例说明.
提示:存在.如数列an=(-1)n.
2.递增数列、递减数列、常数列的概念(如表1-1-1)
表1-1-1
名称 定义 表达式 图象特点
递增数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项 an+1>an(n∈N+) 上升
递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项 an+1常数列 各项都相等 an+1=an(n∈N+) 不升不降
4.若函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,那么数列an=f(n)一定是递增数列吗 反之,是否一定成立
提示:一定是递增数列,反之,不一定成立,例如an=n2- n(n∈N+)是递增数列,但f(x)=x2- x在区间[1,+∞)上不是增函数.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)数列{an}图象上的点的横坐标一定是正整数.( √ )
(2)若 n∈N+, >1,则数列{an}是递增数列.( × )
(3)若 m,n∈N+,且man,则数列{an}不是递增数列.( √ )
(4)若数列{an},an=kn+b是递增数列,则k>0.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
数列增减性的判断
【例1】 已知数列{an}的通项公式为an=3n2-n,判断数列{an}的增减性.
分析　解法一:先写出an+1,通过比较an+1-an与0的大小判断{an}的增减性,解法二:通过比较 与1的大小及an的正负判断{an}的增减性,解法三:利用函数y=3x2-x的图象判断{an}的增减性.
解法一:an=3n2-n,an+1=3(n+1)2-(n+1),则an+1-an=3(n+1)2-(n+1)-(3n2-n)
=6n+2>0,即an+1>an(n∈N+),故数列{an}是递增数列.
解法二:an=3n2-n,an+1=3(n+1)2-(n+1),则
又an>0,故an+1>an,即数列{an}是递增数列.
判断数列增减性的常用方法
(1)根据定义判断:若an+1>an,则{an}是递增数列;若an+1(2)作差法:若an+1-an>0,则{an}是递增数列;若an+1-an<0,则{an}是递减数列;若an+1-an=0,则{an}是常数列.
(4)由函数图象判断.
【变式训练1】 已知数列{an}的通项公式为an=n2-2λn,且数列{an}为递增数列,则λ的取值范围为　 .
解析:若数列{an}为递增数列,则有an+1-an>0,即2n+1>2λ对任意的n∈N+都成立,于是有3>2λ,λ< .
探究二
数列的图象
【例2】 已知数列{an}的通项公式为an=n2-10n+10,这个数列从第几项起各项的数值逐渐增大 从第几项起各项的数值均为正值 数列中是否还存在数值与首项相同的项
解:数列{an}的各点都在函数y=x2-10x+10的图象(如图1-1-2)上.
由图1-1-2可得,这个数列从第5项起各项的数值逐渐增大,从第9项起各项的数值均为正值,第9项是与首项相同的项.
图1-1-2
分析　画出函数y=x2-10x+10的图象,数列{an}的各点都在该函数图象上,可借助图象求解.
数列的项与项数之间构成特殊的函数关系.因此,涉及数列的单调性、最值等问题均可借助求函数单调性、最值问题的方法来研究,不过在用函数的有关知识解决数列问题时,要注意“函数的定义域为正整数集”这一约束条件.
【变式训练2】 已知数列{an},an=2n,试作出它的图象,并由图象判断{an}的增减性.
分析　作数列的图象时,横轴为n轴,纵轴表示an,注意n∈N+.
解:数列{an}的图象如图1-1-3.由图象知,{an}是递增数列.
图1-1-3
【变式训练2】 试作出数列{bn},bn=1-n的图象.
解:数列{bn}的图象如图.
探究三
求数列中的最大(小)项
【例3】 已知数列{an}的通项公式是an=(n+2)× ,试问数列{an}中有没有最大项 若有,求出最大项和相应的项数;若没有,请说明理由.
分析　判断数列的增减性,寻求数列最大项的位置,或假设an是数列的最大项,解不等式组.
1.判断数列的增减性:①作差比较an+1与an的大小,即比较an+1-an与0的大小;②作商比较an+1与an的大小,即比较 与1的大小,要注意项的符号一定时,使用作商比较法较方便.
2.利用当n≥2时, 确定n的取值范围,进而确定{an}的最大项,也是常用的解题方法.
【变式训练3】 在数列{an}中,an= .判断数列{an}的增减性,并求最小项.
【易错辨析】
忽视数列中n∈N+致误
【典例】 设函数f(x)= 数列{an}满足an=f(n),n∈N+,且数列{an}是递增数列,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　.
错解:因为数列{an}是递增数列,且点(n,an)在函数f(x)的图象上,所以分段函数f(x)是递增函数,故实数a满足不等式组
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:上述解法,把数列单调递增完全等同于所在的函数单调递增,忽视了二者的区别,事实上,数列单调递增,所在函数不一定单调.
正解:由题意,点(n,an)分布在分段函数f(x)= 的图象上.因此当3-a>0时,a11时,a8故实数a满足条件 解得2故实数a的取值范围是(2,3).
在求解数列问题时,必须注意n∈N+,否则易出现错误.
【变式训练】 已知数列{an},an=-2n2+9n+3,求数列{an}中数值最大的项.
∴当n=2时,an取最大值13,即数列{an}中数值最大的项为a2=13.
随堂练习
1.已知an+1-an-3=0,则数列{an}是(　　).
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.不能确定
解析:由题意得an+1-an=3>0,故数列{an}为递增数列.
答案:A
2.已知数列{an}的通项公式为an= (a,b为正常数),那么
an　　　an+1.(填“>”“<”或“=”)
答案:<
3.已知数列{an}的通项公式为an= ,则数列{an}的最大项为　　　　　,最小项为　　　　　.
当n≤2时,an+1-an<0,即an+1当n=3时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n≥4时,an+1-an<0,即an+1又当n≤3时,an<2;当n≥4时,an>2,
故a4>a5>…>an>…>2>a1>a2>a3.
故{an}的最小项为a3,a3=0,最大项为a4,a4=4.
答案:4　0
4.已知数列{an}的通项公式an=|-2n+7|,试作出数列{an}的图象并指出{an}的最小项.
解:数列{an}的图象如图所示.由图象知a3=a4=1是数列{an}的最小项.

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