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第2课时　等差数列的性质及等差中项
第一章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.了解等差数列的函数性质,并能判断等差数列的增减性.
2.掌握等差中项的定义并会求已知两数的等差中项.
3.掌握等差数列的有关性质.
4.提升逻辑推理及运算能力.
自主预习 新知导学
一、等差数列的图象及增减性
【问题思考】
1.等差数列{an}的图象是一条直线吗
提示:不是.n∈N+,等差数列{an}的图象是一条直线上横坐标为正整数的一群孤立的点.
2.等差数列{an}的增减性取决于哪个量
提示:公差d.
3.在首项为a1,公差为d的等差数列{an}中,对于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),可将an记作f(n),它是定义在正整数集(或其子集)上的函数.其图象是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点,这些点的横坐标是正整数,其中公差d是该直线的斜率,即自变量每增加1,函数值增加d.
当d>0时,数列{an}为递增数列;
当d<0时,数列{an}为递减数列;
当d=0时,数列{an}为常数列.
4.通项公式an是关于n的一次函数是数列{an}是等差数列的　　　　　条件.
答案:充分不必要
5.若等差数列{an}中,a2=2,a4=-4,则{an}的图象所在直线的斜率为　　　;此数列是递　　　数列.
答案:-3　减
二、等差中项
【问题思考】
1.若-2,x,6成等差数列,则实数x的值是什么
提示:∵x-(-2)=6-x,∴x= =2.
2.如果在a与b之间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么 A 叫作a与b的等差中项.A= .
3.是否任何两数都有等差中项 已知两数m,n,它们的等差中项唯一吗
提示:是;唯一.
三、等差数列的性质
【问题思考】
1.对于等差数列{an},首项为a1,公差为d,回答下列问题:
(1)a10+a20与a14+a16是什么关系
(2)a6,a10,a14成等差数列吗
(3)2am=am-1+am+1(m∈N+,m>1)是否恒成立
提示:(1)相等.
(2)成等差数列.
(3)是.
2.(1)等差数列的项与序号的性质
①两项关系
通项公式的推广:
an=am+(n-m)d (m,n∈N+).
②多项关系
项的运算性质:
若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),
则am+an=ap+aq.
特别地,若m+n=2p(m,n,p∈N+),
则am+an=2ap .
(2)等差数列的项的对称性
有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和(若有中间项,则等于中间项的2倍),即
a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1=2 (其中n为奇数,且n≥3).
(3)等差数列的性质
若{an}是公差为d的等差数列,则下列数列:
①{c+an}(c为任一常数)是公差为 d 的等差数列;
②{can}(c为任一常数)是公差为 cd 的等差数列;
③{an+an+k}(k为常数,k∈N+)是公差为 2d 的等差数列.
若{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pan+qbn}(p,q是常数)是公差为 pd1+qd2 的等差数列.
3.在等差数列{an}中,已知a2=-2,a6=6,a14=22,则a10=　　　.
解析:∵a2+a14=a6+a10,∴-2+22=6+a10,
∴a10=14.
答案:14
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)递增等差数列的通项公式一定是关于n的一次函数.( √ )
(2)存在两个正数,它们的等差中项为0.( × )
(3)若{an}是等差数列,则{|an|}也是等差数列.( × )
(4)若{|an|}是等差数列,则{an}也是等差数列.( × )
(5)若{an}是等差数列,则对任意n∈N+都有2an+1=an+an+2.( √ )
(6)若数列{an}的通项公式为an=3n+5,则数列{an}的公差与函数y=3x+5的图象的斜率相等.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
等差中项问题
【例1】 (1)若等差数列{an}的前三项依次为a,2a+1,4a+2,则它的第五项是多少
(2)若四个数a,x,b,2x成等差数列,则 等于多少
解:(1)由题意知2a+1是a与4a+2的等差中项,即2a+1= ,解得a=0,故数列{an}的前三项依次为0,1,2,故首项a1=0,公差d=1,故a5=0+4×1=4.
(2)因为前三项与后三项均可利用等差中项的定义,
分析涉及等差数列中相邻三项的问题可用等差中项知识求解.题(1)运用等差中项的概念列方程求出a1和d,再利用通项公式求值,题(2)巧妙抽取前三项与后三项,再利用等差中项的定义.
借助方程(或方程组)求解数列问题是一种最基本的方法,尤其是在解决等差数列问题中,方程(或方程组)不失为一种高效普适的工具.
【变式训练1】 若 成等差数列,求证:a2,b2,c2成等差数列.
即(2b+a+c)(c+a)=2(b+c)(a+b),
∴a2+c2=2b2,∴a2,b2,c2成等差数列.
探究二
三个或四个数成等差数列时的设项方法
【例2】 (1)已知三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数;
(2)四个数成递增的等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.
(1)解:设这三个数依次为a-d,a,a+d,
故这三个数为4,3,2.
(2)解法一:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,依题意得,2a=2,
且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,所以d2=1,所以d=1或d=-1.
又四个数成递增的等差数列,所以d>0,所以d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.
解法二:设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d,依题意得,2a+3d=2,且a(a+3d)=-8,
又四个数成递增等差数列,所以d>0,所以d=2,a=-2.故所求的四个数为-2,0,2,4.
1.三个数成等差数列且知其和,常设成a-d,a,a+d,公差为d;
2.四个数成等差数列且知其和,常设成a-3d,a-d,a+d,a+3d,公差为2d.
【变式训练2】 已知四个数成等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数.
解:设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,根据题意,得
探究三
等差数列的性质应用
【例3】 在公差为d的等差数列{an}中,
(1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13;
(2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求d.
分析 本题可以直接转化为基本量的运算,求出a1和d后再解决其他问题,也可以利用等差数列的性质来解决.
解法一:(1)化成a1和d的方程如下:
(a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48,
即4(a1+12d)=48.
4a13=48.a13=12.
(2)化成a1和d的方程如下:
∴d=3或-3.
(2)由a2+a3+a4+a5=34,及a3+a4=a2+a5得2(a2+a5)=34,
即a2+a5=17.
解法二:(1)根据已知条件a2+a3+a23+a24=48,及a2+a24=a3+a23=2a13,
得4a13=48,∴a13=12.
根据例3(1)的条件,求a11+a15的值.
解:∵a2+a3+a23+a24=48,a2+a24=a3+a23,
∴a3+a23=24,
∴a11+a15=a3+a23=24.
1.利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程(组),求出a1和d,进而解决问题.这是处理等差数列问题的最基本方法.
2.巧妙地利用等差数列的性质,可以简化解题过程.
3.等差数列的通项公式既可以变形为an=am+(n-m)d(m,n∈N+)的形式,又可以变形为d= 的形式,应注意把握,并学会应用.
【变式训练3】 (1)已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75的值.
(2)在等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,求a1+a2+…+a7的值.
(1)解法一:设数列{an}的首项为a1,公差为d.
因为a15=8,a60=20,
解法二:因为{an}为等差数列,
所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列.
设这个新数列的公差为d',a15为首项,则a60为其第4项,所以a60=a15+3d',得d'=4.
所以a75=a60+d'=20+4=24.
(2)解:∵a3+a4+a5=12,∴3a4=12,则a4=4.
又a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4,
故a1+a2+…+a7=7a4=28.
【思想方法】
利用整体思想解答数列问题
【典例】 已知{an}为等差数列,a4+a7+a10=30,则a3-2a5的值为(　　).
A.10 B.-10 C.15 D.-15
解析:设等差数列{an}的公差为d,则30=(a1+3d)+(a1+6d)+(a1+9d)=3a1+18d,即a1+6d=10.而a3-2a5=(a1+2d)-2(a1+4d)=-a1-6d=-10.
答案:B
由条件建立a1与d的关系,利用整体代换的思想求解,避免了烦琐的计算,达到事半功倍的效果.
【变式训练】 在等差数列{an}中,已知a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,求a3+a6+a9的值.
解:设等差数列{an}的公差为d,
∵(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=3d,(a3+a6+a9)-(a2+a5+a8)=3d,
∴a1+a4+a7,a2+a5+a8,a3+a6+a9成等差数列.
∴a3+a6+a9=2(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=2×33-39=27.
随堂练习
1.已知点(1,5),(2,3)是等差数列{an}图象上的两点,则数列{an}为(　　).
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.无法确定
解析:等差数列{an}的图象所在直线的斜率为k= =-2<0,则直线是下降的,故数列{an}为递减数列.
答案:B
答案:C
答案:-1
4.若三个数a-4,a+2,26-2a,适当排列后构成递增的等差数列,求a的值和相应的数列.
解:a-4必定小于a+2,而26-2a的大小关系未知.因为该等差数列递增,所以这三个数有以下三种大小排列情况:26-2a(1)当a-4是等差中项时,2(a-4)=(a+2)+(26-2a),解得a=12,相应的数列为2,8,14;
(2)当a+2是等差中项时,2(a+2)=(a-4)+(26-2a),解得a=6,相应的数列为2,8,14;
(3)当26-2a是等差中项时,2(26-2a)=(a-4)+(a+2),解得a=9,相应的数列为5,8,11.
综上,当a=12时,相应的数列为2,8,14;当a=6时,相应的数列为2,8,14;当a=9时,相应的数列为5,8,11.

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