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(共34张PPT)
第1课时　等差数列的前n项和
第一章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1. 了解等差数列前n项和公式的推导过程.
2.掌握等差数列前n项和公式及其应用.
3.能利用等差数列的前n项和公式解决实际问题.
4.提升逻辑推理和数学运算能力.
自主预习 新知导学
一、等差数列前n项和公式
【问题思考】
1.在等差数列{an}中,a1+an,a2+an-1,a3+an-2,…是什么关系
提示:相等.
提示:Sn= .证明如下:由题意得Sn=a1+a2+…+an=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d].①
把项的次序反过来,Sn又可以写成Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d].②
把①②两式的左右两边分别相加,得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)=n(a1+an),
故Sn= .
2.设等差数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+…+an,能否用n,a1,an表示Sn 并证明.
3.等差数列{an}的前n项和公式为:
4.上面公式对于常数列适用吗
提示:适用.Sn=na1.
5.Sn=2+4+6+8+10+12+…+2n=　　　　　　.
答案:n2+n
二、Sn与an的关系
【问题思考】
1.已知数列{an}的前n项和Sn=f(n),能够求出{an}的通项公式吗
提示:能.Sn=a1+a2+…+an,①
Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2),②
①-②,得an=Sn-Sn-1=f(n)-f(n-1).
而a1=S1=f(1),
2.Sn与an的关系:
3.已知数列{an}中,Sn=n2+n,则an=　　　　　.
答案:2n
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
合作探究 释疑解惑
探究一
有关等差数列前n项和的基本运算
【例1】 已知等差数列{an}中,
(3)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求d.
整理得n2-7n-60=0,
解得n=12或n=-5(舍去负值).
即-512=1+(4-1)d,
解得d=-171.
在等差数列{an}中,S4=20,S6=48,求a1.
在等差数列{an}中有a1,n,d,an,Sn五个量,可知三求二.一般是由通项公式和前n项和公式列方程组求解.解答时要注意已知量和未知量的联系及整体思想的运用.
【变式训练1】 (1)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a1= ,S2=a3,则a2=　　　　　,Sn=　　　　　.
(2)在等差数列{an}中,已知公差d=2,an=11,Sn=35,求a1和n.
探究二
与等差数列前n项和公式有关的实际应用题
【例2】 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1分钟走2 m,以后每分钟比前一分钟多走1 m,乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟第一次相遇
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1分钟多走1 m,乙继续每分钟走5 m,那么开始运动后几分钟第二次相遇
分析　分析题意,将实际问题转化为等差数列问题求解.
解:(1)设开始运动后n 分钟第1次相遇,
依题意有2n+ +5n=70,
整理得n2+13n-140=0,
解得n=7或n=-20(舍去).
甲、乙开始运动后7分钟第一次相遇.
(2)设开始运动后n分钟第二次相遇,依题意有2n+ +5n=3×70,
整理得n2+13n-6×420=0,
解得n=15或n=-28(舍去).
开始运动后15分钟第二次相遇.
有关数列的应用问题,应首先通过对实际问题的研究建立关于数列的数学模型,然后求出符合实际的答案,可分以下几步考虑:(1)问题中所涉及的数列{an}有何特征;(2)是求数列{an}的通项公式还是求其前n项和;(3)列出等式(或方程(组))求解;(4)答案是否符合实际.
【变式训练2】 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相距10 m,开始时需将树苗集中放置在某一个树坑旁边,使每名同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,此最小值为　　　　m.
解析:假设20名同学从1号到20号依次排列,使每名同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,则树苗需放在第10或第11号树坑旁,此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项,20为公差的等差数列,故
答案:2 000
探究三
已知Sn求通项公式an
【例3】 已知数列{an}的前n项和Sn=-2n2+n+2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)判断{an}是不是等差数列
解:(1)∵Sn=-2n2+n+2,
∴当n≥2时,Sn-1=-2(n-1)2+(n-1)+2=-2n2+5n-1,
∴an=Sn-Sn-1=(-2n2+n+2)-(-2n2+5n-1)=-4n+3.
又a1=S1=1,不满足an=-4n+3,
(2)由(1)知,当n≥2时,an+1-an=-4(n+1)+3-(-4n+3)=-4,
但a2-a1=-5-1=-6≠-4,{an}不满足等差数列的定义,所以{an}不是等差数列.
已知数列{an}的前n项和Sn,求数列{an}的通项公式的步骤:
(1)当n=1时,a1=S1.
(2)当n≥2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-1.
(3)如果a1也满足当n≥2时an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1;
如果a1不满足当n≥2时an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通项公式要
【变式训练3】 已知下面各数列{an}的前n项和Sn,求数列{an}的通项公式.
(1)Sn=2n2-3n;
(2)Sn=3n -2.
解:(1)当n=1时,a1=S1=2×12-3×1=-1;
当n≥2时,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)=2n2-7n+5,则an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-(2n2-7n+5) =4n-5.
此时若n=1,an=4n-5=4×1-5=-1=a1.
故an=4n-5.
(2)当n=1时,a1=S1=31-2=1;
当n≥2时,Sn-1=3n-1-2,
则an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=3n-3n-1=3×3n-1-3n-1=2×3n-1.
此时若n=1,an=2×3n-1=2×31-1=2≠a1,
【思想方法】
应用方程思想解决等差数列问题
【典例】 等差数列{an}的前n项和记为Sn,已知a10=30,a20=50.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若Sn=242,求n的值.
整理得n2+11n-242=0,解得n=11或n=-22(舍去负值).
等差数列{an}的通项公式、前n项和公式集中了等差数列的五个基本元素a1,d,n,an,Sn,“知三求二”是等差数列最基本的题型.数列的基本运算实质是基本量的运算,要注意方程思想的应用.
【变式训练】 在等差数列{an}中,a2+a5=19,a6-2a1=13,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
∵a2+a5=19,a6-2a1=13,
随堂练习
1.已知等差数列{an}的各项都是负数,且 +2a3a8=9,则它的前10项和S10等于(　　).
A.-11 B.-9 C.-15 D.-13
答案:C
2.我国古代数学名著《算法统宗》中有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言.” 题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比相邻年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是(　　).(“斤”非国际通用单位)
A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤
解析:用a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数,
由题意得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,
a8=65+7×17=184,即第8个儿子分到的绵是184斤.
答案:B
3.在等差数列{an}中,有3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48,则此数列前13项之和为　　　.
解析:∵数列{an}是等差数列,
∴3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=6a4+6a10=48.
∴a4+a10=8.∴a1+a13=8.
答案:52
4.若数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则数列{an}的通项公式为　　　　　.
解析:当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,显然当n=1时,不满足条件.
5.已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3可得
1+2d=-3.解得d=-2.
从而,an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.
(2)由(1)可知an=3-2n,
进而由Sk=-35,可得2k-k2=-35.
整理得k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5(舍去),故k的值为7.

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