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(共31张PPT)
1.2　瞬时变化率
第二章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解运动物体在某时刻的瞬时速度.
2.理解函数在点x0处的瞬时变化率.
3.会求函数的瞬时变化率.
4.体会数学抽象的过程,提升数学运算能力.
自主预习 新知导学
瞬时速度
【问题思考】
1.以10米跳台跳水运动为例,若运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)之间的函数关系为h(t)=10+6.5t-4.9t2.请回答下面问题:
(1)求运动员在下列区间上的平均速度:
[2,2.1],[2,2.01],[2,2.001],[2,2.000 1];
(2)求在2 s到(2+Δt)s时间内,运动员的平均速度;
(3)猜测运动员在t=2 s时刻的瞬时速度.
提示:(1)-13.59 m/s,-13.149 m/s,-13.104 9 m/s,-13.100 49 m/s.
(2)(-13.1-4.9Δt)m/s.
(3)-13.1 m/s.
2.瞬时变化率
对于一般的函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中,若设Δx=x1-x0,
Δy=f(x1)-f(x0),则该函数的平均变化率为 .
如果当Δx趋于0时,平均变化率趋于某个值,那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率.瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢.
3.函数在某点的瞬时变化率是否与Δx的大小有关
提示:瞬时变化率是一个与Δx的大小无关的常量.
4.函数f(x)=x2在x=0处的瞬时变化率为　　　　　.
答案:0
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)函数f(x)的瞬时变化率就是平均变化率.( × )
(2)在数学上,瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率.( √ )
(3)当x0取不同数值时,函数在x0处的瞬时变化率一定不同.( × )
(4)瞬时变化率是刻画某函数在区间[x1,x2]上函数值的变化快慢的量.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
求瞬时速度
【例1】 以初速度v0 m/s (v0>0) 运动的物体,走过的路程s(单位:m)之间与时间t(单位:s)的函数关系为s(t)=v0t+ at2,求物体在t0时刻的瞬时速度.
瞬时速度是平均速度当Δt趋于0时的速度.
【变式训练1】 若一质点的位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间函数的关系为s(t)= +t,求该质点在t=4 s时刻的瞬时速度.
探究二
求函数的瞬时变化率
【例2】 求函数y=f(x)= 在x=1处的瞬时变化率.
【变式训练2】 函数y= 在x=2处的瞬时变化率为　　　　　.
探究三
求分段函数的瞬时变化率
【例3】 柏油路是用沥青混合其他材料铺成的,铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成黏稠的液体.如果开始加热后第x h时,沥青的温度(单位:℃)为y=f(x)= 求开始加热后第15 min和第4 h时沥青温度的瞬时变化率.
解:∵15 min=0.25 h,且当0≤x≤1时,f(x)=80x2+20,
求分段函数在x0处的瞬时变化率的关键是根据x0的值选择正确的函数解析式.
【变式训练3】 已知函数y=f(x)= 求该函数在x=1,x=4处的瞬时变化率.
分析　按瞬时变化率的定义求解.
【易错辨析】
混淆瞬时变化率(瞬时速度)与平均变化率(平均速度)致误
【典例】 一质点A沿直线运动,位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为s(t)=3t2+t+1,求质点A在t=2 s时的瞬时速度.
错解:∵Δs=3(2+Δt)2+(2+Δt)+1-3×22-2-1=3(Δt)2+(1+12)Δt.
∴ =3Δt+13.∴质点A在t=2 s时的瞬时速度为3Δt+13.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:错解中求的是质点A在2 s到(2+Δt)s这段时间内的平均速度,而不是t=2 s时的瞬时速度.
正解:由错解知 =3Δt+13,
当Δt趋于0时, 趋于13.
∴当t=2 s时,瞬时速度v=13m/s,
即质点A在t=2 s时的瞬时速度为13 m/s.
注意区分瞬时速度和平均速度,瞬时速度是平均速度在Δt趋于0时 的值,为此,要求瞬时速度,应先求出平均速度.
【变式训练】 已知某一运动物体在x s时离出发点的距离为f(x) (单位:m),且满足f(x)= x3+x2+2x.
(1)求在第1 s内的平均速度;
(2)求在第1 s末的瞬时速度;
(3)经过多长时间该物体的速度达到14 m/s
所以物体在第1 s末的瞬时速度为6 m/s.
令2x2+2x+2=14,解得x=2或x=-3(舍去).
即经过2 s该物体的速度达到14 m/s.
随堂练习
1.若一物体做直线运动,其位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为s(t)=3t-t2,则该物体的初速度为(　　).
A.0 m/s B.-2 m/s
C.3 m/s D.(3-2t)m/s
故该物体在t=0时刻的瞬时速度为3 m/s,即该物体的初速度为3 m/s.
答案:C
2.已知函数y=f(x)=ax2-2在x=-1处的瞬时变化率为3,则实数a的值为(　　).
答案:A
4.若函数y=-x2-4在x=x0处的瞬时变化率为-3,则x0=　　　　　.
3.函数y=f(x)=在x=2处的瞬时变化率为　　　　　.
5.已知函数y=f(x)=3x2+2.
(1)求函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率;
(2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率;
(3)求函数f(x)在x=2处的瞬时变化率.

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