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(共28张PPT)
2.1　导数的概念
第二章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.了解导数的概念.
2.会求函数在某点处的导数.
3.能根据函数f(x)的意义,解释f'(x0)的实际意义.
4.提升数学运算能力.
自主预习 新知导学
导数的概念
【问题思考】
1.设y=f(x),当Δx趋于0时,就下面问题,说明式子 的意义.
(1)若y=f(x)表示的是物体运动的位移y(单位:m)与时间x(单位:s)之间的关系.
(2)若y=f(x)表示一台机器生产的啤酒量y(单位:L)与工作时间x(单位:h)之间的关系.
提示:(1)式子的意义是运动物体在x0时刻的瞬时速度.
(2)式子的意义是这台机器从启动算起,工作x0 h时的生产速度(即工作效率).
2.导数的概念
设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值y从f(x0)变到f(x1),函数值y关于x的平均变化率为 .
当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y=f(x)在点x0的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0处的导数,通常用符号f'(x0)表示,记作
f'(x0)= .
3. 函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的意义是什么
提示:函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率.
4. 若f(x)=-x2+3,则f'(1)=　　　　　.
答案:-2
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与Δx值的正、负无关.( √ )
(2)Δx→0是指Δx从0的左右两侧分别趋向于0,但永远不会为0.( √ )
(4)导数就是平均变化率.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
对导数概念的理解
【例1】 已知函数f(x)在x0处的导数f'(x0)=-2,求 的值.
在导数的定义中,改变量Δx的形式多种多样,但不论Δx选择哪种形式,Δy必须选择相对应的形式.解决此类问题不能盲目地套用导数的定义,要准确地分析和把握给定的极限式与导数的关系,利用函数f(x)在x=x0处可导的条件,将所求极限的形式恒等变形转化为已知极限的结构形式,即导数的定义,这是解决这类问题的关键.
【变式训练1】 已知函数f(x)在x0处的导数f'(x0)=3,求 的值.
探究二
求函数f(x)在x=x0处的导数
分析　按导数的定义式求解即可.
【例2】 求函数y=f(x)= 在x=1处的导数.
求导数的方法与步骤
(1)求函数值的改变量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
求导数的步骤可以简记为:一差、二比、三极限.
【变式训练2】 已知函数y=f(x)= ,求f'(2).
探究三
f'(x0)的实际意义
【例3】 在某段时间内,黄河壶口瀑布的水流量y(单位:万方)与时间x(单位:h)之间的函数关系为y=f(x),则f'(5)的实际意义为　 .
答案:第5 h的时候瀑布水流量的瞬时变化率,即水流的瞬时速度
f'(x0)的实际意义应结合y=f(x)的背景及导数的意义说明.
【变式训练3】 建造一栋面积为x m2的房屋需要成本y万元,y是关于x的函
=0.105(万元/m2).
f'(100)=0.105表示当建筑面积为100 m2时,成本增加的速度为1 050元/m2.
【易错辨析】
未把握导数概念本质致误
【典例】 设函数f(x)在x0处可导,求 的值.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:函数值的改变量f(x0-Δx)-f(x0)所对应的自变量的改变量为
(x0-Δx)-x0=-Δx.
正解:∵f(x)在x0处可导,
在导数的定义中,必须将Δy与Δx对应起来,否则就会导致错误.
答案:B
随堂练习
答案:D
2.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则(　　).
A.f'(x)=a B.f'(x0)=a
C.f'(x)=b D.f'(x0)=b
答案:B
答案:B
4.设函数y=f(x)=mx3+2,若f'(-1)=3,则m=　　　　　.
解析:∵Δy=f(-1+Δx)-f(-1)=m(-1+Δx)3+m=3mΔx-3m(Δx)2+m(Δx)3,
由f'(-1)=3,即3m=3,得m=1.
答案:1
5.某种动物喂养时间t(单位:天)与其质量y(单位:kg)之间的函数关系为y=g(t),则g'(300)的实际意义是什么
解:由题意易知,g'(300)表示此种动物喂养第300天时,质量的瞬时变化率.

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