资源简介

(共33张PPT)
2.2　导数的几何意义
第二章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.掌握导数的几何意义,并能求切线斜率、切线方程等.
2.体会导数的几何意义与图象上点的变化规律.
3.提升直观想象和数学运算能力.
自主预习 新知导学
提示:曲线上P(x1,y1),Q(x2,y2)两点连线的斜率.
导数的几何意义
【问题思考】
1.设函数y=f(x)的图象是一条光滑连续的曲线,P(x1,y1),Q(x2,y2)是图象上两个点,且有y1=f(x1),y2=f(x2)(x1≠x2),请问式子 表示的几何意义是什么
2.函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0),是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.
3.若函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程是什么
提示:y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
4.已知函数f(x)=x2,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率为　　　　　.
答案:4
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)曲线的切线与曲线有且只有一个交点.( × )
(2)若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处就没有切线.( × )
(3)若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f'(x0)必存在.( × )
(4)过曲线y=f(x)上的点(x0,f(x0))的曲线的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
导数(f'(x0)几何意义的理解
【例1】 若函数y=f(x)的导数在区间[a,b]上单调递增,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是(　　).
解析:已知函数y=f(x)的导数y=f'(x)在区间[a,b]上单调递增,由导数的几何意义知,曲线y=f(x)在区间[a,b]上各点处的切线的斜率随x的增大而增大,
故选A.
答案:A
函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0),是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.
答案:A
【变式训练1】 图2-2-1是 函数y=f(x)的图象,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是(　　).
A.f'(xA)>f'(xB)
B.f'(xA)=f'(xB)
C.f'(xA)D.f'(xA)与f'(xB)大小不能确定
图2-2-1
探究二
求切线方程
【例2】 已知曲线C:y=f(x)=x3.求曲线C在点P(1,f(1))处的切线方程.
分析　求出f(1),f'(1),利用点斜式得出直线方程.
解:将x=1代入曲线C的方程得y=1,
即切点为P(1,1).
所以切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
例2中求出的切线与曲线C还有其他的公共点吗
所以切线与曲线C还有另一个公共点(-2,-8).
利用导数的几何意义求切线方程的方法
(1)若已知点(x0,y0)在已知曲线上,求在点(x0,y0)处的切线方程.首先应求出函数y=f(x)在点x0处的导数,然后根据直线的点斜式方程,得切线方程
y-y0=f'(x0)(x-x0).
(2)若点(x0,y0)不在曲线上,求过点(x0,y0)的切线方程.首先应设切点坐标,然后根据导数的几何意义列等式,求得切点坐标,进而求切线方程.
【变式训练2】 已知曲线y=f(x)=x2-2x+3和曲线上一点A(-1,6),求曲线y=f(x)在点A处的切线方程.
∴切线方程为y-6=-4(x+1),
即4x+y-2=0.
探究三
求切点坐标
【例3】 曲线y=x2在哪一点处的切线:
(1)平行于直线y=4x-5
(2)垂直于直线2x-6y+5=0
解:(1)设P0(x0,y0)是满足条件的点,则曲线在点P0处的切线的斜率
因为切线与直线y=4x-5平行,
所以2x0=4,即x0=2.
当x0=2时,y0=4,即点P0的坐标为(2,4).
(2)设切点为P1(x1,y1),则曲线在点P1处的切线的斜率
根据切线斜率求切点坐标的步骤:
(1)设切点坐标为(x0,y0);
(2)求切线的斜率f'(x0);
(3)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0;
(4)点(x0,y0)在曲线y=f(x)上,将x0代入求y0得切点坐标.
【变式训练3】 曲线f(x)=- 在点P处的切线方程为2x+y+3=0,求点P的坐标.
解:设切点P的坐标为(x0,y0),
∵切线方程为2x+y+3=0,∴切线斜率为-2.
∴f(x0)=f(-1)=-1.
∴切点P的坐标为(-1,-1).
【易错辨析】
审题不清致误
【典例】 试求过点M(1,1),且与曲线y=f(x)=x3+1相切的直线方程.
所以曲线在点M(1,1)处的切线斜率k=3,从而切线方程为y-1=3(x-1),
即3x-y-2=0.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:点(1,1)不在曲线上,故f'(1)不是切线的斜率.
求过某点的切线时,一定要先判断点是否在曲线上,再根据不同情况求解.
【变式训练】 求过点P(3,5),且与曲线y=f(x)=x2相切的直线方程.
解:由已知得点P不在曲线上,故设切点为A(x0,),则切线的斜率为
解得x0=1或x0=5.
从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25).
曲线y=f(x)在切点(1,1)处的切线的斜率为2;
曲线y=f(x)在切点(5,25)处的切线的斜率为10.
所求的切线有两条,切线方程分别为y-1=2(x-1),y-25=10(x-5),
即y=2x-1,y=10x-25.
随堂练习
答案:C
1.曲线y=f(x)=-在点处的切线方程是(　　).
A.y=x-2 B.y=x-
C.y=4x-4 D.y=4x-2
答案:D
A.30° B.45° C.135° D.165°
解析:曲线y在点P处的切线的斜率k=f'(1)= =1,所以切线的倾斜角为45°.
答案:B
4.已知曲线y=f(x)=2x2+4x在点P处的切线的斜率为16,则点P的坐标为　　　　　.
由题意知4x0+4=16,解得x0=3,
所以点P的坐标为(3,30).
答案:(3,30)
5.求过点(2,0)且与曲线y=f(x)= 相切的直线的方程.
解:易知点(2,0)不在曲线上,故设切点为P(x0,y0),
再由点P(x0,y0)在曲线上,得x0y0=1.②
联立①②,解得x0=1,y0=1,
故所求的直线方程为x+y-2=0.

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