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(共26张PPT)
4.2　导数的乘法与除法法则
第二章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.掌握导数的乘法和除法法则.
2.能应用法则对有关函数求导.
3.加强数学运算能力的培养.
自主预习 新知导学
导数的乘法与除法法则
【问题思考】
2.[f(x)g(x)]'=f'(x)g'(x)成立吗 (利用f(x)=x2,g(x)=x3验证)
提示:不成立.验证过程略.
3.导数的乘法与除法法则
一般地,若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f'(x)和g'(x),则
4.(1)(xsin x)'=　 ;
(1)答案:sin x+xcos x
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若f'(x)=2x,则f(x)=x2.( × )
(2)已知函数y=2sin x-cos x,则y'=2cos x+sin x.( √ )
(3)积的导数等于导数的积,商的导数等于导数的商.( × )
(4)若f(x)=f'(a)x2+ln x(a>0),则f'(x)=2f'(a)x+ .( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
利用导数的乘法、除法法则求导
【例1】 求下列函数的导数.
(1)y=x3·ex;(2)y=cos x·ln x;(3)y= .
分析　分析函数的结构特征→选择正确的求导公式和法则→运用公式求导→化简
解:(1)y'=(x3)'ex+x3(ex)'=3x2ex+x3ex=x2(3+x)ex.
仔细观察和分析函数的结构特征,紧扣求导运算法则,结合基本初等函数求导公式,不具备求导法则条
件的可适当进行恒等变形.另外,对较复杂的函数求导时,可先化简再求导.特别地,当对数函数的真数是根式或分式时,可先根据对数函数的性质将真数转化为有理式或整式,然后求导.
【变式训练1】 求下列函数的导数.
探究二
导数的四则运算
【例2】 求下列函数的导数.
求函数导数的策略
(1)先区分函数解析式的运算特点,即函数解析式的和、差、积、商,再根据导数的运算法则求导数.
(2)对于三个以上函数的积、商的导数,依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算.
【变式训练2】 求下列函数的导数:
探究三
利用导数求参数
【例3】 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx的图象过点(1,5),其导函数y=f'(x)的图象如图2-4-1,求f(x)的解析式.
分析　y=f'(x)的图象过点(1,0),(2,0),故f'(1)=0,f'(2)=0,再结合f(1)=5求a,b,c.
图2-4-1
解:∵f'(x)=3ax2+2bx+c,且f'(1)=0,f'(2)=0,f(1)=5,
∴函数f(x)的解析式为f(x)=2x3-9x2+12x.
在例3条件下,求曲线y=f(x)在点(1,5)处的切线方程.
解:由例3题图知f'(1)=0,即曲线y=f(x)在点(1,5)处的切线的斜率为0,故切线方程为y=5.
三次函数求导问题
由于三次函数的导数是二次函数,因此将导数的计算与二次函数的图象和性质结合起来就很容易理解了.解题时应回顾二次函数的单调性、最值、图象的对称轴以及二次项系数的符号对图象的影响等.
【变式训练3】 已知偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,求函数f(x)的解析式.
解:∵函数f(x)的图象过点P(0,1),∴e=1.
又f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.
∴b=0,d=0.∴f(x)=ax4+cx2+1.f'(x)=4ax3+2cx.
∵函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y=x-2,
∴切点为(1,-1),∴a+c+1=-1.①
由切线的斜率为1,得f'(1)=4a+2c=1.②
【易错辨析】
未正确应用法则致误
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
在应用法则求导时,应先明确要使用的法则,再运算求解.
答案:B
随堂练习
1.已知函数f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,则实数a的值为(　　).
A.1 B. C.-1 D.0
解析:∵f(x)=ax2+c,∴f'(x)=2ax.
又f'(1)=2a=2,∴a=1.
答案:A
2.曲线y=1- 在点(-1,-1)处的切线方程为　　　　　　　　　　.
答案:2x-y+1=0
3.若函数f(x)=4x2(x+2),则f'(x)=　　　　　.
答案:12x2+16x
解:因为f'(x)=2ax-bcos x,

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