资源简介

(共30张PPT)
6.1　函数的单调性
第二章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.了解函数的单调性与导数的关系.
2.会利用导数研究函数的单调性.
3.会求函数的单调区间.
4.提升直观想象与数学运算素养.
自主预习 新知导学
函数的单调性
【问题思考】
1.已知函数f(x)=x2-2x+5,x∈R,回答下列问题:
(1)指出f(x)的单调区间.
(2)判断f'(x)在第(1)问中所求得的区间上的符号.
提示:(1)函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞);单调递减区间为(-∞,1).
(2)f'(x)=2x-2,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0.
2.导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系:
(1)若在某个区间上,函数y=f(x)的导数f'(x)>0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递增;
(2)若在某个区间上,函数y=f(x)的导数f'(x)<0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递减.
若在某个区间上,f'(x)≥0,且只在有限个点为0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递增;若在某个区间上,f'(x)≤0,且只在有限个点为0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递减.
3.(1)在某一区间上f'(x)>0(或f'(x)<0)是函数y=f(x)在该区间上单调递增(或单调递减)的什么条件
(2)若在某个区间上有有限个(或无限个不连续)点使f'(x)=0,而其余点恒有f'(x)>0(或f'(x)<0),该函数在这个区间上是否仍是单调递增(或单调递减)的
提示:(1)充分不必要条件.
(2)是.
4.已知函数f(x)=1+2x-sin x,则f(2),f(3),f(π)的大小关系是(　　).
A.f(2)>f(3)>f(π)
B.f(3)>f(2)>f(π)
C.f(π)>f(2)>f(3)
D.f(π)>f(3)>f(2)
解析:∵f'(x)=2-cos x>0,∴f(x)在定义域R上是增函数.又π>3>2, ∴f(π)>f(3)>f(2).
答案:D
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)如果函数f(x)在某个区间上恒有f'(x)=0,那么f(x)在此区间上没有单调性.( √ )
(2)若函数f(x)在区间(x1,x2)上的导数比在区间(x2,x3)上的导数大,则函数在区间(x1,x2)上比在区间(x2,x3)上增长得快.( × )
(3)若函数在某区间上变化越快,则函数在这个区间上的导数的绝对值越大.( √ )
(4)函数f(x)=ex+2x在定义域R上是增函数.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
判断函数的单调性
【例1】 求证:函数f(x)=ex-x-1在区间(0,+∞)上单调递增,在区间(-∞,0)上单调递减.
证明:由f(x)=ex-x-1,得f'(x)=ex-1.
当x∈(0,+∞)时,ex>1,即f'(x)=ex-1>0,
故函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;
当x∈(-∞,0)时,ex<1,
即f'(x)=ex-1<0,
故函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减.
分析　根据函数的单调性与导数符号的关系即可证明.
若函数f(x)=ex-ax-1在区间(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　　　.
利用导数判断可导函数f(x)在区间(a,b)上的单调性,步骤是(1)求f'(x);(2)确定f'(x)在区间(a,b)上的符号;(3)得出结论.
解析:f'(x)=ex-a,因为f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以当x∈(0,+∞)时, f'(x)≥0且不恒等于0,即a≤ex.∵当x∈(0,+∞)时,ex>1,∴a≤1.
答案:(-∞,1]
【变式训练1】 求证:函数f(x)=x3+5x在R上为增函数.
证明:∵f'(x)=3x2+5,且当x∈R时,f'(x)>0,
∴f(x)在R上为增函数.
探究二
求函数的单调区间
解:因为f(x)=x3-x2-x+c,所以f(x)的定义域为R,f'(x)=3x2-2x-1.
令f'(x)=0,解方程,得x1=- ,x2=1.
当x变化时,f'(x)的符号、f(x)的单调性情况如表2-6-1:
【例2】 已知函数f(x)=x3-x2-x+c,c∈R,求函数f(x)的单调区间.
分析　利用导数研究函数的单调性,应先确定函数的定义域,再求导数f'(x),通过判断函数定义域上导数为零的点所划分的各区间上f'(x)的符号,来确定函数y=f(x)在各区间上的单调性.
表2-6-1
利用导数求函数单调区间的步骤:
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求导数f'(x).
(3)由f'(x)>0(或f'(x)<0),解出相应的x的取值范围.当f'(x)>0时,f(x)在相应的区间上单调递增;当f'(x)<0时,f(x)在相应的区间上单调递减.
(4)结合定义域写出单调区间.
【变式训练2】 求函数f(x)=- ax3+x2+1(a≤0)的单调区间.
解:f(x)的定义域为(-∞,+∞),且f'(x)=-ax2+2x.
①当a=0时,f(x)=x2+1,f'(x)=2x,
所以函数f(x)的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-∞,0).
探究三
求参数的取值范围
【例3】 若函数f(x)=x3-mx2+2m2-5的单调递减区间是(-9,0),求实数m的值及函数的其他单调区间.
解:f'(x)=3x2-2mx,
由题意,知f'(x)<0,即3x2-2mx<0的解集为(-9,0),
即方程3x2-2mx=0的两根为x1=-9,x2=0.
所以f'(x)=3x2+27x.
令3x2+27x>0,解得x>0或x<-9.
故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-9),(0,+∞).
综上所述,m的值为- ,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-9),(0,+∞).
利用函数的单调性讨论参数的取值范围的一般思路
(1)利用区间(或集合)的包含关系来处理.若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调,则所求得的含参数的区间是相应函数单调区间的子集.
(2)转化为不等式的恒成立问题.利用函数在区间(a,b)上是增函数(或减函数),则f'(x)≥0(或f'(x)≤0)求解.但应注意,f'(x)≥0(或f'(x)≤0)中的等号成立的条件是f'(x)只在给定区间上的有限个点处为0,而不是在一个小“区间”上恒等于0.
【变式训练3】 已知函数f(x)=2ax- .
(1)若f(x)在区间(0,1]上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)的单调递增区间是(0,1),求实数a的值.
【思想方法】
转化思想在研究函数单调性中的应用
【典例】 已知x>1,求证:x>ln x.
证明:设f(x)=x-ln x(x>1),
∴函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
又f(1)=1-ln 1=1>0,
∴f(x)>0对x∈(1,+∞)恒成立.
∴x-ln x>0,即x>ln x(x>1).
数学问题求解过程是不断化归转化的过程.将待证不等式问题化为函数单调性问题,进而化为导数问题.
【变式训练】 已知0x.
随堂练习
1.关于函数f(x)=x-sin x在(0,2π)上的单调性,下列说法正确的是(　　).
A.是增函数
B.是减函数
C.在(0,π)上单调递增,在(π,2π)上单调递减
D.在(0,π)上单调递减,在(π,2π)上单调递增
解析:f'(x)=1-cos x>0,故f(x)在(0,2π)上单调递增.
答案:A
2.f'(x)是函数y=f(x)的导函数,y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(　　).
(第2题)
解析:由导函数的图象可知,当x<0时,f'(x)>0,因此,函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,故排除A,C;当02时,f'(x)>0,因此,函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递增,只有选项D中的图象符合.
答案:D
3.若函数f(x)= ,eA.f(a)>f(b)
B.f(a)=f(b)
C.f(a)D.f(a)与f(b)的大小关系不确定
解析:f'(x)= ,当x>e时,f'(x)<0,则f(x)在(e,+∞)上为减函数,所以f(a)>f(b).
答案:A
4.已知函数f(x)= 在(-2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围为　　　　　　　　　　.
5.已知函数f(x)= ,求函数f(x)的单调区间.
解:函数f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞).
因为ex>0,(x-2)2>0,且x∈(-∞,2)∪(2,+∞),
所以当x>3时,f'(x)>0;当x<3,且x≠2时,f'(x)<0.
所以函数f(x)的单调递增区间为(3,+∞),单调递减区间为(-∞,2)和(2,3).

展开更多......

收起↑