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6.2　函数的极值
第二章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.了解函数极值的定义.掌握函数在某点取得极值的必要条件与充分条件.
2.掌握求函数极值的方法与步骤.
3.提升数学抽象的过程,加强直观想象和数学运算素养.
自主预习 新知导学
(1)f(x)的极大值在哪里取得 极大值是多少
(2)对任意x0∈(-1,0)∪(0,1),f(x0)与f(0)的大小关系怎样
提示:(1)在x=0处取得;极大值是f(0)=0.
(2)f(x0)一、函数极值的概念
【问题思考】
1.函数f(x)=-x2,x∈(-1,1)的图象如图2-6-1,观察图象回答下面问题.
图2-6-1
2.在包含x0的一个区间(a,b)上,函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于(或大于)点x0处的函数值,称点 x0 为函数y=f(x)的极大(或极小)值点,其函数值 f(x0) 为函数的极大(或极小)值.函数的极大值点与极小值点统称极值点,极大值与极小值统称极值.
3.极值点是否定义在函数的整个定义域上
提示:不是.
答案:1　2
4.函数y=f(x)的图象如图2-6-2,由此可知函数有　　　　　个极大值,
　　　　　个极小值.
图2-6-2
提示:f'(x0)=0,且当x∈(a,x0)时,f'(x)>0;当x∈(x0,b)时,f'(x)<0.
二、函数极值的求法
【问题思考】
1.结合图2-6-3,试分析:若x0是区间(a,b)上函数f(x)的极大值点,则导数f'(x)在区间(a,b)上有何特点
图2-6-3
2.若x0是区间(a,b)上函数f(x)的极小值点呢
提示:f'(x0)=0,且当x∈(a,x0)时,f'(x)<0;当x∈(x0,b)时,f'(x)>0.
3.(1)关于极大值与极小值有以下结论:
若函数y=f(x)在区间(a,x0)上单调递增,在区间(x0,b)上单调递减,则x0是极大值点,f(x0)是极大值.
若函数y=f(x)在区间(a,x0)上单调递减,在区间(x0,b)上单调递增,则x0是极小值点,f(x0)是极小值.
(2)一般情况下,在极值点x0处,函数y=f(x)的导数f'(x0)=0.因此,可以通过如下步骤求出函数y=f(x)的极值点:
①求出导数f'(x).
②解方程f'(x)=0.
③对于方程f'(x)=0的每一个实数根x0,分析f'(x)在x0附近的符号(即f(x)的单调性),确定极值点:
(ⅰ)若f'(x)在x0附近的符号“左正右负”,则x0为极大值点;
(ⅱ)若f'(x)在x0附近的符号“左负右正”,则x0为极小值点;
(ⅲ)若f'(x)在x0附近的符号相同,则x0不是极值点.
4.若f'(x0)=0,x0是否一定是函数y=f(x)的极值点
提示:不一定.
5.函数f(x)=x+ 的极大值点为　　　　　,极大值为　　　　　;极小值点为　　　　　,极小值为　　　　　.
答案:-1　-2　1　2
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)可导函数f(x)在区间(a,b)上一定有极值.( × )
(2)函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值的充要条件是关于x的方程f'(x)=3x2+2ax+b=0有解,即Δ≥0.( × )
(3)在可导函数的极值点处,切线与x轴平行或重合.( √ )
(4)同一函数的极大值必大于其极小值.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
求函数的极值
【例1】 求函数f(x)=x2e-x的极值.
分析　先确定函数的定义域,再求f'(x),然后利用极值的定义求出f(x)的极值点及极值.
解:函数f(x)的定义域为R,f'(x)=2xe-x+x2·(-e-x)=e-x(-x2+2x).
解方程f'(x)=0,得x1=0,x2=2.
根据x1,x2分析f'(x)的符号、f(x)的单调性和极值点,列表2-6-2如下:
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
根据上表可知,x1=0为函数f(x)的极小值点,极小值为f(0)=0;x2=2为函数f(x)的极大值点,极大值为f(2)= .
表2-6-2
1.函数的极值是一个局部概念,是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大的或是最小的.
2.在定义域的某个区间上极大值或极小值并不唯一,也可能不存在,并且极大值与极小值之间无确定的大小关系.
【变式训练1】 求函数f(x)= x+cos x,x∈(0,2π)的极值.
根据x1,x2分析f'(x)的符号、f(x)的单调性和极值点,列表2-6-3如下:
表2-6-3
探究二
根据函数的极值求参数值
答案:3
在例2条件下,求f(x)的单调区间.
解:由上例知f(x)=x3+2x2-4x+2,f'(x)=3x2+4x-4.∵x1=-2,x2= 是方程f'(x)=0的两根,
∴根据x1,x2列表分析f'(x)的符号、f(x)的单调性如下:
已知函数极值点或极值求参数的两个关键点
(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组.
(2)验证:因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件,所以求解后必须检验.
【变式训练2】 已知函数f(x)= x3-x2+ax-2.
(1)若函数的极大值点是-1,求a的值;
(2)若函数f(x)有两个极值点,求a的取值范围.
解:(1)f'(x)=x2-2x+a,由题意得f'(-1)=1+2+a=0,解得a=-3,则f'(x)=x2-2x-3,
经验证可知,f(x)在x=-1处取得极大值,故a=-3.
(2)由题意,方程x2-2x+a=0有两个不等的实根,
所以Δ=(-2)2-4a>0,解得a<1,故a的取值范围是(-∞,1).
探究三
极值的综合应用
【例3】 已知a为实数,函数f(x)=-x3+3x+a.
(1)求函数f(x)的极值,并画出其大致图象.
(2)当a为何值时方程f(x)=0恰好有两个实数根
解:(1)由f(x)=-x3+3x+a,
得f'(x)=-3x2+3.
解方程f'(x)=0,得x1=-1,x2=1.
根据x1,x2列表2-6-4分析f'(x)的符号、f(x)的单调性和极值点如下:
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
表2-6-4
所以函数f(x)的极小值为f(-1)=a-2;极大值为f(1)=a+2.
当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,则函数f(x)在区间(-∞,-1)上单调递减,且当x趋于-∞时,f(x)趋于+∞;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,且当x趋于+∞时,f(x)趋于-∞.
a+2>a-2,即函数的极大值大于其极小值.
可画出函数f(x)的大致图象,如图2-6-4.
图2-6-4
(2)结合图2-6-5,当极大值a+2=0,即a=-2时,极小值小于0,此时曲线y=f(x)与x轴恰有两个交点,即方程f(x)=0恰有两个实数根,所以a=-2满足条件;结合图2-6-6,当极小值a-2=0,即a=2时,极大值大于0,此时曲线y=f(x)与x轴恰有两个交点,即方程f(x)=0恰好有两个实数根,所以a=2满足条件.
综上,当a=±2时,方程恰有两个实数根.
图2-6-5
图2-6-6
在例3条件下,若曲线y=f(x)与x轴有三个不同的交点,试求实数a的取值范围.
当函数f(x)的极大值a+2>0且极小值a-2<0时,曲线y=f(x)与x轴有三个不同交点,所以实数a的取值范围是(-2,2).
解:结合例3(1),知函数f(x)的大致图象如图2-6-7.
图2-6-7
作函数图象需先研究函数的定义域、极值、单调性、奇偶性等性质,然后再根据性质作图.确定方程根的个数时,可用数形结合法.
【变式训练3】 设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根,求实数a的取值范围.
解:(1)f'(x)=3x2-6.
根据x1,x2列表2-6-5分析f'(x)的符号、f(x)的单调性和极值点如下:
表2-6-5
(2)由(1)的分析知函数y=f(x)的图象的大致形状及走向如图2-6-8.
图2-6-8
【易错辨析】
对函数取极值的充要条件把握不准致误
【典例】 已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极值0,求常数a,b的值.
错解:因为函数f(x)在x=-1处有极值0,且f'(x)=3x2+6ax+b.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:未将所得a,b值代回原函数解析式进行验证看是否满足条件.
正解:(在上述解法之后继续)当a=1,b=3时,f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,当且仅当x=-1时,等号成立,所以f(x)在R上为增函数,无极值,不符合题意,故舍去;
当a=2,b=9时,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+1)·(x+3),当x∈(-3,-1)时,f'(x)<0,f(x)在区间(-3,-1)内单调递减;
当x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在区间(-1,+∞)内单调递增.
所以f(x)在x=-1处取得极小值.
因此a=2,b=9.

在求函数极值时,由f'(x)=0求得x0值后,还需研究f(x)在点x0左、右两侧的单调性,只有f(x)在x0左、右两侧增减相反时,函数f(x)在x0处才取得极值,否则x0不是极值点.
【变式训练】 判断函数f(x)= x3+4(x∈R)有无极值,若有,请求出极值.
解:f'(x)=x2.解方程f'(x)=0,得x=0.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表2-6-6:
x (-∞,0) 0 (0,+∞)
f'(x) + 0 +
f(x) ↗ 无极值 ↗
由上表可知函数f(x)无极值.
表2-6-6
随堂练习
1.已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f'(x)在(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
(第1题)
解析:由导函数的图象可知,f'(x)的图象在(a,b)上与x轴的交点个数为4,但是在原点左、右两侧的导数值均大于零,故x=0不是函数f(x)的极值点.其余的3个交点都是极值点,其中有2个点满足其附近的导数值左正右负,故极大值点有2个.
答案:B
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以当x=2时,函数取得极小值,极小值为- .
答案:B
解析:f'(x)=x2-4.解方程f'(x)=0,得x1=-2,x2=2.
分析f'(x)的符号、f(x)的单调性和极值点如下:
3.若可导函数f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则f'(1)=　　　　　,1是函数f(x)的　　　　　值点(填“极大”或“极小”).
答案:0　极大
解析:由题意可知,f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则1是f(x)的极大值点,故f'(1)=0.
4.设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x2=1,则实数a的值为　　　　　.
答案:9
解析:f'(x)=18x2+6(a+2)x+2a.
由已知得f'(x1)=f'(x2)=0,则x1,x2是方程f'(x)=0的两个不等实根,从而Δ>0,x1x2= =1,所以a=9.经检验,a=9符合题意.
5.求函数f(x)= -2的极值.
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
解方程f'(x)=0,得x1=-1,x2=1.
根据x1,x2,列表分析f'(x)的符号、f(x)的单调性和极值点:

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