资源简介

(共42张PPT)
6.3　函数的最值
第二章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.了解函数最值的定义.
2.会求闭区间上函数的最大值、最小值.
3.提升直观想象和数学运算素养.
自主预习 新知导学
函数的最值
【问题思考】
1.图2-6-9是函数y=f(x),x∈[a,b]的图象,试回答下面问题.
(1)f(x)的极大值和极小值有哪些
(2)f(x)的最大值、最小值各是什么
(3)f(x)的最大(小)值一定是它的极大(小)值吗
提示:(1)极大值有f(x1),f(x3);极小值有f(x2),f(x4).
(2)最大值是f(b),最小值是f(x2).
(3)不一定.
图2-6-9
2.(1)最大(小)值
函数y=f(x)在区间[a,b]内的最大(小)值点x0指的是:函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都不超过(不小于) f(x0);最大(小)值或者在极大(小)值点取得,或者在区间的端点取得.
(2)最值
函数的最大值和最小值统称最值.
(3)求函数f(x)的最值
一般首先求出函数导数的零点,然后将所有导数零点与区间端点的函数值进行比较,其中最大(小)的值即为函数的最大(小)值.
3.函数的极值与最值有何区别
提示:极值是函数在极值点的一个小领域的性质,最值是函数在定义域上的性质.
4.函数f(x)=x3-3x2-9x-1在区间[-2,4]上的最大值为　　　　　;最小值为　　　　　.
解析:f'(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3)=3(x-3)(x+1),令f'(x)=0,
解方程,得x1=-1,x2=3.
计算函数f(x)在导数零点x1=-1,x2=3,区间端点x3=-2和x4=4处的值:
f(-1)=4,f(3)=-28,f(-2)=-3,f(4)=-21.
比较这4个数的大小,可知:函数f(x)在区间[-2,4]上的最大值为4,最小值为
-28.
答案:4　-28
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)函数的最小值一定是它的极小值.( × )
(2)连续函数y=f(x),x∈[a,b]一定有最大值.( √ )
(3)函数的最大值不小于它的极大值.( √ )
(4)存在函数y=f(x),x∈[a,b],ymax=f(a),ymin=f(b).( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
求函数的最值
【例1】 求下列函数的最值:
(1)f(x)=2x3-12x,x∈[-1,3];
(2)f(x)= x+sin x,x∈[0,2π].
根据x1,x2,列表2-6-7分析f'(x)的符号、f(x)的单调性和极值点:
表2-6-7
所以当x=0时,f(x)有最小值f(0)=0;
当x=2π时,f(x)有最大值f(2π)=π.
求函数最值的步骤
(1)求函数的定义域;
(2)求出定义域上使f'(x)=0的所有根;
(3)计算使f'(x)=0的所有根及端点的函数值;
(4)通过比较,确定函数的最值.
解:
令f'(x)=0,得x=1.
当x变化时,分析f'(x)的符号、f(x)的单调性和极值点,见表2-6-8:
表2-6-8
探究二
含参数的最值
【例2】 已知函数f(x)=(ax-2)ex(a∈R)在x=1处取得极值.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)在区间[m,m+1]上的最小值.
解:(1)f'(x)=aex+(ax-2)ex=(ax+a-2)ex.
由已知得f'(1)=0,即(2a-2)e=0,解得a=1.
经检验,知当a=1时,f(x)在x=1处取得极小值,所以a=1.
(2)由(1)知f(x)=(x-2)ex,f'(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)ex.
令f'(x)=0,解方程,得x=1;
令f'(x)>0,得x>1;令f'(x)<0,得x<1.
所以函数f(x)在区间(-∞,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增.
①当m≥1时,f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,故f(x)min=f(m)=(m-2)em;
②当0③当m≤0时,m+1≤1,f(x)在区间[m,m+1]上单调递减,
f(x)min=f(m+1)=(m-1)em+1.
综上,f(x)在区间[m,m+1]上的最小值
若参数变化影响函数的单调性,则需对参数进行分类讨论.
解:依题意,显然a≠0.
f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),x∈[-1,2],
令f'(x)=0,解方程,得x1=0,x2=4(舍去).
x [-1,0) 0 (0,2]
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
【变式训练2】 已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,问:是否存在实数a,b,使f(x)在区间[-1,2]上的最大值为3,最小值为-29 若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
①若a>0,列表2-6-9分析f'(x)的符号、f(x)的单调性和极值点:
表2-6-9
所以当x=0时,函数f(x)取得唯一的极大值,也是最大值,所以b=3.
又f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,f(-1)>f(2),所以当x=2时,f(x)取得最小值,
即-16a+3=-29,解得a=2.
x [-1,0) 0 (0,2]
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
②若a<0,列表2-6-10分析f'(x)的符号、f(x)的单调性和极值点:
表2-6-10
所以当x=0时,f(x)取得唯一的极小值,也是最小值,所以b=-29.
又f(2)=-16a-29,f(-1)=-7a-29,f(2)>f(-1),所以当x=2时,f(x)取得最大值,
即-16a-29=3,解得a=-2.
综上所述,a=2,b=3或a=-2,b=-29.
探究三
“恒成立”问题
【例3】 设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2处取得极值.
(1)求实数a,b的值;
(2)对于任意的x∈[0,3],都有f(x)分析　(1)由f'(1)=f'(2)=0求a,b的值;(2)根据f(x)最大值解:(1)f'(x)=6x2+6ax+3b.
∵函数f(x)在x=1及x=2处取得极值,
∴f'(1)=0,f'(2)=0,
x 0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,3) 3
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 8c ↗ 极大值 5+8c ↘ 极小值 4+8c ↗ 9+8c
(2)由(1)知f(x)=2x3-9x2+12x+8c,
则f'(x)=6x2-18x+12.
若对于任意的x∈[0,3],都有f(x)令f'(x)=0,得x1=1,x2=2.
根据x1,x2,列表2-6-11分析f'(x)的符号、f(x)的单调性和极值点:
表2-6-11
由上表可知函数y=f(x)在区间[0,3]上的最大值为f(3)=9+8c,
∴9+8c9.
∴c的取值范围是(-∞,-1)∪(9,+∞).
在例3条件下,若 x0∈[0,3],使f(x0)解:由例3解答知,函数y=f(x)在区间[0,3]上的最小值为f(0)=8c,
∴只需8c8.
∴c的取值范围为(-∞,0)∪(8,+∞).
当函数的最值存在时,可将“恒成立”问题转化为函数的最值问题.如f(x)>0恒成立,只要f(x)的最小值大于0;
如f(x)<0恒成立,只要f(x)的最大值小于0.
以上两种情况特别要注意临界值的取舍,对含参不等式的恒成立问题,求参数范围时,可先分离参数.
【变式训练3】 已知函数f(x)=ex+ax2-e2x.
(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间;
(2)当x>0时,总有f(x)>-e2x,求实数a的取值范围.
解:(1)∵f'(x)=ex+2ax-e2,且曲线在点(2,f(2))处的切线平行于x轴,
∴曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率k=f'(2)=4a=0,
∴a=0.∴f(x)=ex-e2x,f'(x)=ex-e2.
令f'(x)=0,解方程,得x=2.
当x>2时,f'(x)>0;当x<2时,f'(x)<0.
∴函数f(x)的单调递增区间为(2,+∞),单调递减区间为(-∞,2).
【思想方法】
分类讨论思想在求函数最值中的应用
【典例】 已知函数f(x)=ax-ln x,x∈(0,e],其中e是自然对数的底数,a∈R.
(1)当a=1时,求函数f(x)的极值.
(2)是否存在正实数a,使得f(x)的最小值是3 若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)当a=1时,f(x)=x-ln x,x∈(0,e].
令f'(x)=0,解方程,得x=1.
当0当10,所以f(x)在x=1处取得极小值,且f(x)极小值=f(1)=1.
故f(x)在区间(0,e]上有极小值,极小值为1,无极大值.
(2)假设存在正实数a,使得f(x)的最小值是3.
所以a=e2符合题意.
综上可知,存在正实数a=e2,使得f(x)的最小值是3.
当参数的取值影响函数的单调性或函数最值的大小时,需要分类讨论.
【变式训练】 已知函数f(x)=ln x-ax,a∈R.
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当a>0时,求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值.
解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
∴函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,
∴f(x)min=f(2)=ln 2-2a.
∴f(x)min=f(1)=-a.
当ln 2≤a<1时,f(x)min=f(2)=ln 2-2a.
综上所述,当0当a≥ln 2时,f(x)min=ln 2-2a.
随堂练习
1.函数f(x)=xe-x,x∈[0,4]的最小值是(　　).
解析:f'(x)=(1-x)e-x,令f'(x)=0,解得x=1.
当x<1时,f'(x)>0;当x>1时,f'(x)<0,所以当0≤x<1时,f(x)单调递增;当1答案:A
2.已知函数f(x)=x3-x2-x+a在区间[0,2]上的最大值是3,则实数a的值为(　　).
A.2 B.1 C.-2 D.-1
解析:f'(x)=3x2-2x-1.
令f'(x)=0,解得x=- (舍去)或x=1.
因为f(0)=a,f(1)=a-1,f(2)=a+2,
所以f(2)最大,即a+2=3,所以a=1.
答案:B
3.对于在R上可导的任意函数f(x),若满足(x-a)f'(x)≥0,必有(　　).
A.f(x)≥f(a) B.f(x)≤f(a)
C.f(x)>f(a) D.f(x)解析:由(x-a)f'(x)≥0知,当x>a时,f'(x)≥0;当x所以当x=a时,函数f(x)取得最小值,则f(x)≥f(a),故选A.
答案:A
4.设函数f(x)=x3- -2x+5,若对任意x∈[-1,2],都有f(x)>m,则实数m的取值范围是　　　　　　　　.
解:f'(x)=3x2+3x.
令f'(x)=0,解方程,得x=0或x=-1.
∴函数f(x)的最小值为f(-2)=-2+m=0.

展开更多......

收起↑