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(共47张PPT)
7.1　实际问题中导数的意义　
7.2　实际问题中的最值问题
第二章
2026
内容索引
01
02
03
自主预习 新知导学
合作探究 释疑解惑
随堂练习
课标定位素养阐释
1.了解实际问题中导数的意义.
2.了解导数在实际问题中的应用.
3.学会建模,并能正确利用导数求最值.
4.提升逻辑推理和数学运算素养.
自主预习 新知导学
导数的实际应用
【问题思考】
1.已知某传染性病毒感染人数f(x)(单位:人)与流行时间x(单位:天), x∈[1,50] ,x∈N+之间的关系为f(x)=100-x- ,你知道哪一天感染人数最多吗
令f'(x)=0,解得x=12;令f'(x)>0,解得1≤x<12;令f'(x)<0,解得12所以函数f(x)在区间[1,12)上单调递增,在区间(12,50]上单调递减,故当x=12时,f(x)max=f(12)=100-12- =76.即第12天感染人数最多.
2.(1)在实际问题中,经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间最少等问题,这些问题通称为最优化问题.导数是解决最优化问题的一个重要工具.
(2)用导数解决最优化问题的基本思路
最优化问题
→
最优化问题的答案
用函数表示数学问题
↑　　　　　　　　　　　↓
用导数解决数学问题
←
3.已知某企业的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系为y=- x3+81x-234,为使该企业获得最大年利润,则年产量应为(　　).
A.13万件 B.11万件
C.9万件 D.7万件
解析:y'=-x2+81,令y'=0,得x=9(x=-9舍去).
当x>9时,y'<0;当00,
所以函数y在区间(0,9)上单调递增,在区间(9,+∞)上单调递减,
故当x=9时,函数取得极大值,也是最大值,即年产量为9万件时,企业获得最大年利润.
答案:C
4.用导数求解生活中的最优化问题时,应注意哪些问题
提示:(1)在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑问题的实际意义,不符合实际意义的值应舍去.
(2)在解决实际优化问题时,要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示,还要确定出函数关系式中自变量的定义区间.
(3)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0的情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)经营利润最大、生产效率最大等问题属于最优化问题.( √ )
(2)最优化问题只能利用导数求解.( × )
(3)若某几何体的容积V与其高x之间的函数关系式为V =V(x)=4x3-276x2+4 320x(x∈(0,24)),则当x=10时V取得最大值.( √ )
(4)在利用导数解决生活中的最优化问题时,既要考虑变量的数学意义,又要关注其实际意义.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
面(体)积最值问题
【例1】 用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2∶1,该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大 最大体积是多少
分析　设长方体的宽为x m,用x表示体积V,利用导数求V的最值.
从而V'(x)=18x-18x2=18x(1-x).
令V'(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1.
当00,V(x)单调递增;
当1故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值.
从而最大体积V=V(1)=9×12-6×13=3(m3),此时长方体的长为2 m,高为1.5 m.
综上所述,当长方体的长为2 m,宽为1 m,高为1.5 m时,体积最大,最大体积为3 m3.
(1)当x从 m变到1 m时,长方体体积的平均变化率是多少 它代表什么实际意义
(2)求V'(1)的值并说明它的实际意义.
(3)求长方体表面积的最大值.
(2)V'(1)=0.V'(1)表示长方体的宽为1 m时,体积的瞬时增加速度为0 m3/m.
1.解决面积、体积最值问题的思路
要正确引入变量,将面积或体积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值.
2.解决最优化问题时应注意的问题
(1)列函数关系式时,注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域;
(2)一般地,通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数f(x)在给定区间上只有一个极值点,那么根据函数的单调性即可判断该值是最大值还是最小值,不必再与端点处的函数值进行比较.
【变式训练1】 某地为科技兴市,欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区(图2-7-1中阴影部分),
形状为直角梯形QPRE(线段EQ和RP为两条底边).已知
AB=2 km,BC=6 km,AE=BF=4 km,其中AF是以A为顶点、
AD为对称轴的抛物线段.求该高科技工业园区的最大
面积.
图2-7-1
解:以A为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图2-7-2,则A(0,0),F(2,4).
由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为y=ax2(a>0),由4=a×22,得a=1,则抛物线段AF所在抛物线的方程为y=x2(x>0),
∵E(0,4),C(2,6),∴EC所在直线的方程为y=x+4.
图2-7-2
设P(x,x2)(0探究二
利润最大问题
【例2】 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售
完,每千件的销售收入为R(x)万元,且
(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大,并求出最大值.
分析　利润=总收入-成本,得到利润关系式,再利用导数求解.
令W'(x)=0,解得x=9.
当x∈(0,9)时,W'(x)>0,函数W(x)在区间(0,9)上单调递增;当x∈(9,10]时,W'(x)<0,函数W(x)在区间(9,10]上单调递减.
综合①②知,当x=9时,W(x)取得最大值38.6.
故当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大,最大年利润为38.6万元.
与利润有关的应用题常用下列关系式:
(1)利润=总收入-成本;
(2)利润=每件产品的利润×销售量.
解:设每年生产x t的利润为f(x)元,
【变式训练2】 某工厂生产某种产品,已知该产品的年生产量x(单位:t)与每吨产品的价格P(单位:元)的函数关系为P(x)=24 200-x2,且生产x t的成本为R=50 000+200x(元),该厂每年生产多少吨产品才能使利润达到最大 最大利润是多少
令f'(x)=0,解得x=200或x=-200(舍去).
当x∈(0,200)时,f'(x)>0;
当x∈(200,+∞)时,f'(x)<0.
所以函数f(x)在区间(0,200)上单调递增,在区间(200,+∞)上单调递减.
所以当x=200时f(x)取得极大值,该极大值为f(x)在区间(0,+∞)内的最大值,最大值为f(200)=- ×2003+24 000×200-50 000=3 150 000.
故该厂每年生产200 t产品才能使利润达到最大,最大利润为3 150 000元.
探究三
用料最省或成本最低问题
【例3】 有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40 km的B处,乙厂到河岸的垂足D与A处相距50 km.两厂在岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省
解:根据题意,可知只有点C在线段AD上某一适当位置时,才能使水管费用最省.
设点C距点D x km,则AC=(50-x)km.
∵BD=40 km,
画出示意图2-7-3:
图2-7-3
解决实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题,需要求相应函数的最小值,此时根据f'(x)=0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后,判定函数在该点附近满足左减右增,则此时的极小值就是所求函数的最小值.
当0≤x<30时,f'(x)<0;当300.
∴函数f(x)在区间[0,30)上单调递减,在区间(30,50]上单调递增.
因此函数在x=30处取得极小值,也是最小值,此时AC=50-30=20(km).∴供水站C建在A,D之间距甲厂20 km处,可使水管费用最省.
【变式训练3】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造费用为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足函数关系:C=C (x)= (0≤x≤10),若不建隔热层(即x=0),每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层的建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求实数k的值及f(x)的解析式.
(2)当隔热层建造多厚时,总费用f(x)达到最小 并求最小值.
当0≤x<5时,f'(x)<0;
当50.
所以函数f(x)在区间[0,5)上单调递减,在区间(5,10]上单调递增.
故函数f(x)在x=5处取得极小值也是最小值,最小值为f(5)= +6×5=70.
综上,当隔热层建造5 cm厚时,总费用达到最小值70万元.
【思想方法】
分类讨论思想在实际问题中的应用
【典例】 把一个边长为60 cm的正方形铁皮的四角分别切去边长为x cm的正方形,然后折成一个高度为x cm的无盖长方体盒子(铁皮厚度忽略不计),要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数r(r>0),当x取何值时,盒子的容积最大,最大容积是多少
分析　借助长方体的体积公式得到体积(容积)与高度x的关系式,再应用导数求最值.求解时应注意x的取值范围.
解:设盒子的容积为V cm3,由题意知盒子的容积V=V(x)=(60-2x)2·x,由x>0,60-2x>0得0因为长方体的高度与底面边长的比值不超过常数r(r>0),
令V'(x)=0,即12x2-480x+3 600=0,
解得x=30(舍去)或x=10.
参数r的作用是限定函数的定义域,为确定最值点的位置需分类讨论.本题参数r的出现,使问题复杂化;用分类讨论可使复杂问题条理化、简单化.
【变式训练】 甲、乙两地相距s km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c km/h,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(单位:km/h)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元.
(1)把全程运输成本y(单位:元)表示为速度v(单位:km/h)的函数,并指出这个函数的定义域;
(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶
随堂练习
1.已知一物体走过的路程s(单位:m)与时间t(单位:s) 的函数关系为s(t)=2t2-t+ ,则s'(2)的实际意义为(　　).
A.2 s时的路程
B.t=2 s时的瞬时速度
C.前2 s的总路程
D.t=2 s时s取最大值
答案:B
2.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20,要使其体积最大,则高为(　　).
答案:D
3.某一做直线运动的物体,其位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的函数关系是s(t)=3t-t2,则s'(0)=　　　　　　,它的实际意义是　　　　　　　　　　　.
解析:∵s'(t)=3-2t,∴s'(0)=3,它表示物体开始运动时的速度,即初速度是3 m/s.
答案:3　初速度是3 m/s
4.某工厂生产某种产品x件的总成本(单位:万元)为C(x)=1 200+ x3,已知每件产品价格的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品时每件产品的价格为50万元,欲使总利润最大,则产量应定为多少件
解:设每件产品价格为p万元,因为p的平方和产品件数x成反比,所以设
令y'=0,解得x=25.
根据函数y的单调性可得,当x=25时,函数y取得极大值,也是最大值.即产量为25件时,总利润最大.
5.某公司为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查发现:每年投入广告费t(单位:百万元),可增加销售额约为-t2+5t(0≤t≤3).
(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大
(2)现该公司准备共投入3百万元,分别用于广告促销和技术改造.经预测,每投入技术改造费x(单位:百万元),可增加的销售额约为-x3+x2+3x.请设计一个资金分配方案,使该公司由此获得的收益最大.(注:收益=销售额-投入资金)
解:(1)设投入广告费t(百万元)后,增加的收益为f(t)(百万元),则f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t=-(t-2)2+4(0≤t≤3).
所以当t=2时,f(t)取得最大值4,即当投入2百万元的广告费时,该公司由此获得的收益最大.
(2)设用于技术改造的资金为x(百万元),则用于广告促销的资金为(3-x)(百万元),又设由此获得的收益是g(x) )(百万元),
所以g'(x)=-x2+4.
令g'(x)=0,解得x=2或x=-2(舍去).
当0≤x<2时,g'(x)>0;
当2故当x=2时,g(x)取得极大值也是最大值,即将2百万元用于技术改造,1百万元用于广告促销,该公司由此获得的收益最大.

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