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历下区七年级数学期末考试学情调研（2026.1）
考试时间 120 分钟 满分 150 分
第 Ⅰ 卷（选择题 共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.早在我国秦汉时期的《九章算术》中就引入了负数。若在粮谷计算中，益实一斗（增加 1 斗）记为 + 1，那么损实七斗（减少 7 斗）记为（ ）
A. -7 B. +7 C. -1 D. +1
2.柳编是山东省临沂市临沭县的传统工艺，也是国家级非物质文化遗产之一。下列选项为一组传统柳编工艺品，其中能近似看作由如图旋转一周得到的是（ ）
3.人一根头发的直径大约为 0.00 007 2 米，将 0.00 007 2 用科学记数法表示为（ ）
A. 7.2×10 B. 7.2×10 C. 72×10 D. 72×10
4.若关于 x 的方程 4x - 1 = 3x + 1 和关于 x 的方程 2k + x = 4 的解相同，则 k 的值为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
5.下列各项调查适合普查的是（ ）
A. 了解某校 7（1）班每位同学的视力情况
B. 了解小清河中现有鱼的种类
C. 了解某品牌节能灯的使用寿命
D. 了解济南市观众对贺岁电影的观影感受
6.下列计算正确的是（ ）
A. a + a = a B. (-a ) = a C. a b = (ab) D. a a = a
7.若多项式 ax + 2x - y - 7 与 x - bx - 3y + 1 的差与 x 的取值无关，则 a - b 的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8.如图是国家统计局 2025 年 2 月 28 日发布的 2020～2024 年国内生产总值及其增长速度的统计图。根据统计图提供的信息，下列结论不正确的是（ ）
A. 2024 年我国国内生产总值突破了 130 万亿元
B. 2020 年至 2024 年期间国内生产总值持续上升
C. 2020 年至 2024 年期间 2021 年国内生产总值的年实际增长速度最快
D. 与 2023 年相比，2024 年国内生产总值增长速度下降，说明 2024 年国内生产总值低于 2023 年国内生产总值
9.某地天然气收费方案如下：
甲户家庭人口为 3 人，乙户家庭人口为 4 人。某年甲、乙两户年用气量之和为 1000m ，甲户年用气量大于乙户年用气量。已知甲、乙两户一共缴纳燃气费用 1800 元。设甲用户的用气量为 x m ，则所列方程为（ ）
A. 1.5x + 3 (1000 - x) = 1800
B. 1.5 (x - 400) + 3 (1000 - x) = 1800
C. 1.5×400 + 3 (x - 400) + 1.5 (1000 - x) = 1800
D. 1.5 (x - 400) + 3 (x - 400) + 5 (x - 800) + 3 (1000 - x) = 1800
10.如图，下列图形都是由黑色和白色的小圆点按一定的规律排列组成的，其中图形①中有 2 个黑色小圆点，图形②中有 8 个黑色小圆点，图形③中有 17 个黑色小圆点…… 按此规律，则图形⑩中黑色小圆点的个数是（ ）
A. 161 B. 162 C. 163 D. 164
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.48°30′ = ______°
12.计算：xy (x - 2y) = ______。
13.若 -3a b 与 9ba 是同类项，则 m = ______。
14.如图所示，边长为 a 的正方形边长增加 b 得到新正方形，新正方形的面积为 S ；边长为 a 的正方形一边增加 2b，另一边减小 b 得到的长方形，此长方形的面积为 S ；则 S ______ S 。（填 “>”、“<” 或 “=”）
15.数形结合是解决数学问题的重要思想方法，我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。” 将两个正方形纸片按照如图的方式摆放在一起，使 B，C，E 三点在同一条直线上，连接 BD，DE，DF。若阴影部分的面积之和是 17，△DCE 的面积为 11，则线段 BE 的长度为______。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16.（本小题满分 7 分）
计算：(1) (π 3)0+() 1+∣ 15∣ (2) x2·x4+x8÷x2
17.（本小题满分 7 分）先化简，再求值：(2m+n)(2m n)+(m+n)2，其中m=1，n= 。
18.（本小题满分 7 分）计算：(1) 4x 4=2x+10 (2) =

19.（本小题满分 8 分）元旦假期，小明和同学去大明湖公园游玩，他们登上超然楼俯瞰公园。如图，点 P 为小明所在的超然楼，曾堤 A 在超然楼 P 的北偏西 20° 的方向上，知春桥 B 在超然楼 P 的南偏东 80° 的方向上。
(1) 求从超然楼 P 看曾堤和知春桥的视角∠APB 的度数；
(2) 东湖上有一条小船 C 在∠APB 的平分线上，则小船 C 在超然楼 P 的什么方向上？
20.（本小题满分 8 分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一。书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。问人数、鸡价各几何？” 译文：假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱。问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？请你列一元一次方程解决这个问题。
21.（本小题满分 9 分）如图，有一块长为 3a 米，宽为 2a 米的长方形苗圃，现计划扩建，以如图方式向外扩建 x 米的距离。
(1) 请用含有 x 和 a 的式子表示扩建后的苗圃的面积；
(2) 若 x=4，扩建后的面积比原面积的大了 400 平方米，求 a 的值。
22.（本小题满分 10 分）七年级 1 班和七年级 2 班两个班的同学到公园开展社会大课堂活动，公园门票每人 40 元，超过 30 人可以购买团体票。公园售票处张贴着团体优惠购票的方案表格如下：
(1) 若 1 班有 35 名学生，他们该选择哪个方案更省钱，说明理由；
(2) 若 2 班（30 人以上）无论选择哪种方案付的钱是一样多，求 2 班有多少人。
23.（本小题满分 10 分）为帮助学生拓展阅读视野，教育部推荐初中七年级必读名著书目 4 部，分别是《西游记》《朝花夕拾》《骆驼祥子》《钢铁是怎样炼成的》。某初中为了解七年级学生对四部推荐名著的阅读情况，就 “七年级必读名著你读完了几部” 的问题随机选取了部分七年级学生进行调查，得到的数据如下：
①：数据收集，读完必读名著数量（单位：部）：
②：数据整理，根据调查结果绘制成如图所示尚不完整的统计图：
请根据以上信息，解决下列问题：
(1) 在收集的数据中，m = ______；
(2) 在扇形统计图中，n = ______，并请补全条形统计图；
(3) 扇形统计图中 “3 部” 所在扇形的圆心角为______度；
(4) 已知七年级学生共有 800 人，请你估算七年级学生大约有多少人读完 4 部必读名著。
24.（本小题满分 12 分）综合探究：直角三角形旋转变换下的角度问题
【背景材料】
在几何学习中，我们经常使用两种常见的直角三角板：
等腰直角三角板：内角度数为 45°，45°，90°。
含 30° 的直角三角板：内角度数为 30°，60°，90°。
这两种三角板不仅是静态的作图工具，还可以在动态几何问题中作为研究对象。本次活动将探究一块三角板绕其某个顶点旋转时，所产生的角度相关问题。
【探究准备】
小明先用三角板画出了直线 MN，然后将一副三角板按如图 1 的方式拼接在一起，其中直角三角板 AOB 的 90° 角（∠AOB）的顶点与直角三角板 COD 的 30° 角（∠COD）的顶点互相重合，边 OA，OC 与直线 MN 重合，两个三角板在直线 MN 的上方。
【探究问题】
(1) 如图 1，∠BOD 的度数为______度；
(2) 如图 2，直角三角板 COD 固定不动，将直角三角板 AOB 绕点 O 按顺时针方向旋转一周。
①当射线 OA 平分∠MOD 时，求∠BOC 的度数；
②如图 3，当线段 OB 在∠MOD 内部时，请探究∠AOD 和∠BOC 的数量关系，并说明理由。
25.（本小题满分 12 分）新定义：点 P 是线段 AB 上一点，此时三条线段 AB，AP，BP 中，若有一条线段是另一条线段的两倍，则称点 P 是线段 AB 的 “二倍点”。
(1) 若点 P 是线段 AB 的中点，则点 P______线段 AB 的 “二倍点”；（填 “是” 或 “不是”）；
(2) 若 AB=18，点 P 从 A 点出发，以每秒 2 个单位的速度向 B 点运动，设点 P 的运动时间为 t 秒，求当 t 为何值时，点 P 是线段 AB 的 “二倍点”；
(3) 如图，点 P 是线段 AB 的 “二倍点”，且 PB答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.早在我国秦汉时期的《九章算术》中就引入了负数。若在粮谷计算中，益实一斗（增加 1 斗）记为 + 1，那么损实七斗（减少 7 斗）记为（ A ）
A. -7 B. +7 C. -1 D. +1
2.柳编是山东省临沂市临沭县的传统工艺，也是国家级非物质文化遗产之一。下列选项为一组传统柳编工艺品，其中能近似看作由如图旋转一周得到的是（ B ）
3.人一根头发的直径大约为 0.00 007 2 米，将 0.00 007 2 用科学记数法表示为（ B ）
A. 7.2×10 B. 7.2×10 C. 72×10 D. 72×10
4.若关于 x 的方程 4x - 1 = 3x + 1 和关于 x 的方程 2k + x = 4 的解相同，则 k 的值为（ C ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
5.下列各项调查适合普查的是（ A ）
A. 了解某校 7（1）班每位同学的视力情况
B. 了解小清河中现有鱼的种类
C. 了解某品牌节能灯的使用寿命
D. 了解济南市观众对贺岁电影的观影感受
6.下列计算正确的是（ C ）
A. a + a = a B. (-a ) = a C. a b = (ab) D. a a = a
7.若多项式 ax + 2x - y - 7 与 x - bx - 3y + 1 的差与 x 的取值无关，则 a - b 的值为（ D ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8.如图是国家统计局 2025 年 2 月 28 日发布的 2020～2024 年国内生产总值及其增长速度的统计图。根据统计图提供的信息，下列结论不正确的是（ D ）
A. 2024 年我国国内生产总值突破了 130 万亿元
B. 2020 年至 2024 年期间国内生产总值持续上升
C. 2020 年至 2024 年期间 2021 年国内生产总值的年实际增长速度最快
D. 与 2023 年相比，2024 年国内生产总值增长速度下降，说明 2024 年国内生产总值低于 2023 年国内生产总值
9.某地天然气收费方案如下：
甲户家庭人口为 3 人，乙户家庭人口为 4 人。某年甲、乙两户年用气量之和为 1000m ，甲户年用气量大于乙户年用气量。已知甲、乙两户一共缴纳燃气费用 1800 元。设甲用户的用气量为 x m ，则所列方程为（ C ）
A. 1.5x + 3 (1000 - x) = 1800
B. 1.5 (x - 400) + 3 (1000 - x) = 1800
C. 1.5×400 + 3 (x - 400) + 1.5 (1000 - x) = 1800
D. 1.5 (x - 400) + 3 (x - 400) + 5 (x - 800) + 3 (1000 - x) = 1800
10.如图，下列图形都是由黑色和白色的小圆点按一定的规律排列组成的，其中图形①中有 2 个黑色小圆点，图形②中有 8 个黑色小圆点，图形③中有 17 个黑色小圆点…… 按此规律，则图形⑩中黑色小圆点的个数是（ D ）
A. 161 B. 162 C. 163 D. 164
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.48°30′ = ___48.5___°
12.计算：xy (x - 2y) = ___x2y－2xy2___。
13.若 -3a b 与 9ba 是同类项，则 m = ______。
14.如图所示，边长为 a 的正方形边长增加 b 得到新正方形，新正方形的面积为 S ；边长为 a 的正方形一边增加 2b，另一边减小 b 得到的长方形，此长方形的面积为 S ；则 S __＞____ S 。（填 “>”、“<” 或 “=”）
15.数形结合是解决数学问题的重要思想方法，我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。” 将两个正方形纸片按照如图的方式摆放在一起，使 B，C，E 三点在同一条直线上，连接 BD，DE，DF。若阴影部分的面积之和是 17，△DCE 的面积为 11，则线段 BE 的长度为___10___。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
16.（本小题满分 7 分）
计算：(1) (π 3)0+() 1+∣ 15∣ (2) x2·x4+x8÷x2
=1+4+15 =x6+x6
=20 =2x6
17.（本小题满分 7 分）先化简，再求值：(2m+n)(2m n)+(m+n)2，其中m=1，n= 。
解原式=4m2－n2+m2+2mn+n2
=5m2+2mn
将m=1，n= 代入原式=5－1=4
18.（本小题满分 7 分）计算：(1) 4x 4=2x+10 (2) =
解 2x=14 解5x+5=9－3x
x= 8x=4
x=
19.（本小题满分 8 分）元旦假期，小明和同学去大明湖公园游玩，他们登上超然楼俯瞰公园。如图，点 P 为小明所在的超然楼，曾堤 A 在超然楼 P 的北偏西 20° 的方向上，知春桥 B 在超然楼 P 的南偏东 80° 的方向上。
(1) 求从超然楼 P 看曾堤和知春桥的视角∠APB 的度数；
(2) 东湖上有一条小船 C 在∠APB 的平分线上，则小船 C 在超然楼 P 的什么方向上？
（1）由题知：∠AFN=20°，∠NPE=∠EPS=90°，∠SPB=80°
∴∠BPE=90°－80°=10°
∴∠APB=20°+90°+10°=120°
（2）小船 C 在超然楼 P 的北偏东40°方向上
20.（本小题满分 8 分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一。书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。问人数、鸡价各几何？” 译文：假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱。问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？请你列一元一次方程解决这个问题。
解设有x人共同出钱买鸡。
根据题意得9x－11=6x+16
解得x=9
鸡的价钱为9×9－11=70元
21.（本小题满分 9 分）如图，有一块长为 3a 米，宽为 2a 米的长方形苗圃，现计划扩建，以如图方式向外扩建 x 米的距离。
(1) 请用含有 x 和 a 的式子表示扩建后的苗圃的面积；
(2) 若 x=4，扩建后的面积比原面积的大了 400 平方米，求 a 的值。
（1）苗圃的面积=（3a+2x）（2a+2x）=6a2+10ax+4x2
（2）x=4时，扩建后
6a2+40a+64－3a·2a=400
解得a=8.4
22.（本小题满分 10 分）七年级 1 班和七年级 2 班两个班的同学到公园开展社会大课堂活动，公园门票每人 40 元，超过 30 人可以购买团体票。公园售票处张贴着团体优惠购票的方案表格如下：
(1) 若 1 班有 35 名学生，他们该选择哪个方案更省钱，说明理由；
(2) 若 2 班（30 人以上）无论选择哪种方案付的钱是一样多，求 2 班有多少人。
（1）方案一：40×35×0.8=1120元
方案二：40×（35－4）×0.9=1116元
1120＞1116
∴选择方案二更省钱
（2）设二班由x人。
40×0.8x=40×0.9（x－4）
解得x=36
答：有36人。
23.（本小题满分 10 分）为帮助学生拓展阅读视野，教育部推荐初中七年级必读名著书目 4 部，分别是《西游记》《朝花夕拾》《骆驼祥子》《钢铁是怎样炼成的》。某初中为了解七年级学生对四部推荐名著的阅读情况，就 “七年级必读名著你读完了几部” 的问题随机选取了部分七年级学生进行调查，得到的数据如下：
①：数据收集，读完必读名著数量（单位：部）：
②：数据整理，根据调查结果绘制成如图所示尚不完整的统计图：
请根据以上信息，解决下列问题：
(1) 在收集的数据中，m = ______；
(2) 在扇形统计图中，n = ______，并请补全条形统计图；
(3) 扇形统计图中 “3 部” 所在扇形的圆心角为______度；
(4) 已知七年级学生共有 800 人，请你估算七年级学生大约有多少人读完 4 部必读名著。
（1）4
（2）35
（3）90
（4）800×=160人
答：有160人。
24.（本小题满分 12 分）综合探究：直角三角形旋转变换下的角度问题
【背景材料】
在几何学习中，我们经常使用两种常见的直角三角板：
等腰直角三角板：内角度数为 45°，45°，90°。
含 30° 的直角三角板：内角度数为 30°，60°，90°。
这两种三角板不仅是静态的作图工具，还可以在动态几何问题中作为研究对象。本次活动将探究一块三角板绕其某个顶点旋转时，所产生的角度相关问题。
【探究准备】
小明先用三角板画出了直线 MN，然后将一副三角板按如图 1 的方式拼接在一起，其中直角三角板 AOB 的 90° 角（∠AOB）的顶点与直角三角板 COD 的 30° 角（∠COD）的顶点互相重合，边 OA，OC 与直线 MN 重合，两个三角板在直线 MN 的上方。
【探究问题】
(1) 如图 1，∠BOD 的度数为______度；
(2) 如图 2，直角三角板 COD 固定不动，将直角三角板 AOB 绕点 O 按顺时针方向旋转一周。
①当射线 OA 平分∠MOD 时，求∠BOC 的度数；
②如图 3，当线段 OB 在∠MOD 内部时，请探究∠AOD 和∠BOC 的数量关系，并说明理由。
（1）60
（2）①∵∠DOC=30°
∴∠MOD=150°
∵OA 平分∠MOD
∴∠AOM=75°
∵∠AOB=90°
∴∠BOC=180°－75°－90°=15°
②∠AOD－∠BOC=60°或 ∠AOD+∠BOC=300°
25.（本小题满分 12 分）新定义：点 P 是线段 AB 上一点，此时三条线段 AB，AP，BP 中，若有一条线段是另一条线段的两倍，则称点 P 是线段 AB 的 “二倍点”。
(1) 若点 P 是线段 AB 的中点，则点 P______线段 AB 的 “二倍点”；（填 “是” 或 “不是”）；
(2) 若 AB=18，点 P 从 A 点出发，以每秒 2 个单位的速度向 B 点运动，设点 P 的运动时间为 t 秒，求当 t 为何值时，点 P 是线段 AB 的 “二倍点”；
(3) 如图，点 P 是线段 AB 的 “二倍点”，且 PB（1）是
（2）t=3或6或
（3）是

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