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2025年8月第十四届海峡两岸青少年文化交流活动（全国总决赛）九年级数学一试试题
1．（2025九上·竞赛）已知 m≥2，a2-2ma+2=0，b2-2mb+2=0()则(a-1)2+(b-1)2的最小值是　 　.
2．（2025九上·竞赛）已知二次函数y=-2ax2+4ax+a-6(a为常数，且а>0）的图象只经过两个象限，那么a的取值范围是　 　.
3．（2025九上·竞赛）已知抛物线y=-x2+5mx-3(m>0)经过A(2m，y1)和B(m+1，y2)两点，若-34．（2025九上·竞赛）顶角为36°的等腰三角形为黄金三角形且满足底与腰的比等于黄金比，如图正五边形ABCDE的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知BE=2，则DE的长为　 　.
5．（2025九上·竞赛）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，5，乙的卡片分别标有数字2，4，6，两人进行3轮比赛。每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）。则三轮比赛后，甲能得2分的概率是　 　.
6．（2025九上·竞赛）如图，等边的三个顶点P、Q、R分别在正方形ABCD的三边AD、AB、DC上，已知正方形ABCD的边长为，AQ，DR的长度之和为　 　.
7．（2025九上·竞赛）如图，内接于，BC为的直径，点为上的点，且，则的值为　 　.
8．（2025九上·竞赛）如图，在平面直角坐标系xOy中，平面内有一动点，定点A(4，0)，B(0，2)，连接AB。若点P只在第一象限内运动，过点P作于Q，当PQ取得最大值时，点P的坐标是　 　.
9．（2025九上·竞赛）小杰在编程课上设计了如下游戏：如图，在矩形游戏框中，，洞口M 位于的中点处，圆柱形通道，一个小球从洞口M出发，经过通道后，到达洞口C．若通道可以在线段上水平移动，则小球经过的路径的最小值为　 　．
10．（2025九上·竞赛）已知，则的值为　 　.
11．（2025九上·竞赛）如图，EF为半圆O上的一条弦，将 沿着 EF对折，折叠后的弧恰好与半圆O的直径 AB相切于D点，若 ，则 的值是　 　.
12．（2025九上·竞赛）抛物线y=x2+bx+c与×轴两个公共点的横坐标分别为s，t，且s2+t2<4。若b，c为整数，则b-c的可能取值为　 　.
13．（2025九上·竞赛）锐角△ABC的面积为S，且满足BC=2，∠B=60°，则S的取值范围是　 　.
14．（2025九上·竞赛）对于有理数x，y，a，m， 若，则称x和y关于a的“和谐关联数”为m，例如，， 则5和3关于2的“和谐关联数”为4。若和关于2的“和谐关联数”为1，和关于3的“和谐关联数”为1，...，和关于10的“和谐关联数”为1，...则的最小值为　 　.
15．（2025九上·竞赛）如图，点A、B在反比例函数图象上，连接AB并延长与反比例函数图象相交于点C，连接OA与反比例函数图象交于点D，若，则面积为　 　.
16．（2025九上·竞赛）我们把a，b，c三个数的中间值记作Z{a，b，c}，例如Z{-5，4，1}=1，Z{m+1，m+3，m-5}=m+1；若直线与函数的图像有且只有2个交点，则k的取值范围是　 　。
17．（2025九上·竞赛）用红蓝两色给1×6的棋盘染色（可以只用一种颜色），要求任意的连续三个方格不能全部染成红色，则符合要求的染色方法有　 　种。
18．（2025九上·竞赛）如图，直线m//n，A是直线m上一点，AB⊥直线n于点B，C是直线m上点A左侧一动点，D是直线n上点B右侧一动点，且，CD与AB交于点E，BF⊥CD于点F，连接AF，则当∠BAF最大时，cos∠BAF的值为　 　。
19．（2025九上·竞赛）若一个四位正整数，它的千位数字和百位数字之和为7的倍数，十位数字和个位数字之和为8的倍数，则称这个四位数为“七上八下数”。比如：数字1653，因为1+6=7， 5+3=8，所以1653是“七上八下数”。若数字是“七上八下数”，其中， ， ， 。记， ，若为完全平方数，且是3的倍数，满足条件的　 　。
20．（2025九上·竞赛）如图，在x轴正半轴上依次截取，过点、、、分别作x轴的垂线，与反比例函数的图像交于、、、，连接、、、，在上取一点，使得，依次类推，在上取一点，使得，连接，则构成的一系列三角形（见图中阴影部分）的面积和是　 　。
答案解析部分
1．【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由条件可知a，b是一元二次方程； =0的两个不相等的实数根，
∴抛物线开口向上，
有最小值，且对称轴的右侧y随x的增大而增大，
时， 有最小值，且为4
【分析】根据题意可得a，b是一元二次方程； =0的两个不相等的实数根，根据根的判别式得到m的取值范围，然后根据根与系数的关系得到 (a-1)2+(b-1)2 关于m的函数，再利用函数的增减性求出最大值解答即可.
2．【答案】0＜a≤2
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 二次函数y=-2ax2+4ax+a-6(a为常数，且а>0）的图象只经过两个象限，
∴，
即a(a-2)<0，
∵a>0，
∴a-2≤0，
∴a的取值范围为0＜a≤2
故答案为：0＜a≤2.
【分析】根据抛物线过两个象限，即可得到，据此求出a的取值范围即可.
3．【答案】或
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：
∴抛物线的对称轴为直线
当x=0时，此时y=-3，
根据抛物线的对称性可得
5m时，此时y=-3，
即当x=0或x=5m时，抛物线的函数值均为-3；
∴点A在抛物线上关于对称轴对称的点.A'的横坐标为
∴点B一定在点A下方，
分情况讨论：
如图①，若点B在点A左侧，
此时 解得m>1；
如图②，若点B在点A'右侧，
此时 解得
综上所述，m的取值范围是 或m>1.
故答案为： 或m>1.
【分析】根据抛物线的性质得出抛物线的对称轴为直线x= 当x=0时，此时y=-3，根据抛物线的对称性得出：当：x=0或x=5m时，抛物线的函数值均为-3；点 A在抛物线上关于对称轴对称的点A'的横坐标为3m；根据题意，可得点B一定在点A下方，结合题意分情况讨论：点B在点A左侧或点B在点A'右侧，结合图象，列出不等式组，即可求出m的取值范围.
4．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；黄金分割；正多边形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵如图正五边形ABCDE的对角线恰好围成一个“五角星”(即阴影部分)，
∴设
∵黄金三角形的底与腰之比为 由题意得 同理， ∠CAB=∠FBA=∠GAE=∠GEA=36°，
∵AB=AE，
∴△ABF与△AEG全等，
∴AF =AG，
∴△AFG是黄金三角形，
即
解得
即
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=AE， 正五边形内角和(5-2)×180°=540°，
∴∠BAE =∠AED =540°÷5 = 108°，
∴∠DEG =∠AED-∠AEB =72°，则∠EGD=∠AGF=180°-∠FAG=180°-36°=72°，
∴ED=DG，
则∠GDE = 180°-72°-72°= 36°，
∴△EDG为黄金三角形，
∵黄金三角形的底与腰之比为
即
故答案为：
【分析】先根据多边形内角和定理与正多边形的性质得出△EDG为黄金三角形，再根据黄金三角形的底与腰之比求出DE，即可得出结果.
5．【答案】
【知识点】枚举法
【解析】【解答】解：三轮比赛结果
甲 乙
1 2 4 6
3 4 6 2 6 2 4
5 6 4 6 2 4 2
甲得分 0 1 1 1 2 1
由表可知，三轮比赛后，甲能得2分的概率是
故答案为：.
【分析】根据题意——列举即可求解.
6．【答案】9
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：过点Q作 与PA延长线交于点G，过点R作 与延长线PD交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
设GA=x，DH=y，
∵△PQR是等边三角形，
∴∠QPR=60°， QP=PR，
∴∠GPQ =180°-∠QPR-∠RPH =120°-∠RPH，
又∵∠HRP =180°-∠RHP-∠RPH =120°-∠RPH，
∴∠GPQ =∠HRP，
∴△GPQ≌△HRP(AAS)，
∴GP=HR=2y， HP=GQ =2x，
∴AD=GP+HP-GA-DH=2y+2x-x-y=x+y，
∵正方形的边长为
即
故答案为：9.
【分析】首先，过点Q作 与PA延长线交于点G，过点R作 与延长线PD交于点H，然后设GA=x，DH=y，则可将 的三边用x表示出来，将. 的三边用y表示出来；进而利用AAS证明 于是可得GP=HR=2y，HP=GQ=2x，最后，利用各线段之间的和差关系可推出.AD=x+y，在此基础上即可求出AQ，DR的长度之和.
7．【答案】
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接CD、BD，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
∵ BC为⊙O的直径，
将 绕点D逆时针旋转 得到 此时 =DE，AC=EB，
，
∴ B点是在AE上， 是等腰直角三角形，
故答案为：
【分析】连接CD、BD， 证明 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形，得到BD=CD，由直径所对的圆周角是 得 结合圆内接四边形性质得 将 绕点D逆时针旋转 得到△EBD， 证得 是等腰直角三角形，则AB+ 根据.AC=EB即可得解.
8．【答案】（2，2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；勾股定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点P作 轴， PG交AB于E，
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∵A(4，0)， B(0，2)，
，解得：
∴直线AB的解析式为：
在 中，
∴在中，
∴当PE最长时， PQ最长，
则 +2)，
∴当m=2时， PE最大为1， 此时P(2，2)，
故答案为： (2，2).
【分析】过点P作 轴，PG交AB于E，先求出一次函数AB的解析式，再根据勾股定理求出AB的长，根据三角形内角和可得出， 根据解直角三角形的计算求出 可知当PE最长时，PQ最长，根据 则表示出PE 可求出当m=2时， PE最大为1，即可得出最后结果.
9．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；矩形的性质；轴对称的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：作出点关于的对称点，连接，将向右平移1个单位至，连接，分别延长相交于点，
由轴对称性质可得，由平移的性质可得，
当三点共线时，的值最小，
此时，的值最小，
矩形中，，洞口M 位于的中点处，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】作出点关于的对称点，连接，将向右平移1个单位至，连接，分别延长相交于点，由轴对称性质可得，由平移的性质可得，当三点共线时，的值最小，此时，的值最小，根据矩形性质可得，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，根据边之间的关系可得QG，再根据勾股定理可得QC，再根据边之间的关系即可求出答案.
10．【答案】3
【知识点】分式的化简求值；分式条件求值
【解析】【解答】解：
故答案为：3.
【分析】先把分式约分，然后把代数式展开整体代入计算即可.
11．【答案】
【知识点】切线的性质；相交两圆的性质；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设对折后弧EDF所在圆的圆心为P，连接PD， PE， OP， OE， 设OP交EF于点H， 如图所示：
设⊙O的半径为R，OH=x，OD=a，则OA=OB=OE=a，AD=OA+OD=R+a，
a，
由折叠的性质得：⊙P与⊙O是等圆，
∵AB是⊙P的切线，
根据相交两圆的连心线垂直平分公共弦得：
则OP=2x，
在 中，由勾股定理得：
整理得： 在 中，由勾股定理得：
整理得：
解这个关于R的一元二次方程得：
(负值，不合题意舍去)，
故答案为：.
【分析】设对折后弧EDF所在圆的圆心为P，连接PD，PE， OP， OE， 设OP交EF于点H， 设⊙O的半径为R， OH=x， OD=a， 则OA=OB=OE=a， AD=EF=R+a， BD=R-a， 由折叠的性质得⊙P与⊙O是等圆， 则PE= PD = R，根据切线性质及相交圆的性质得PD⊥AB，OP⊥EF， 再根据OE= PE= R， EH⊥OP得PH=OH =x， 则OP =2x， 在Rt△PEH和Rt△OPD中， 由勾股定理得. 0，解得 则BD=R-a= 由此即可得出 的值.
12．【答案】-1，0，1，2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由题可得s，t是方程x2+bx+c=0的两根，
∴s+t=-b，st=c，且b2-4c>0，
∴c<，
∵ s2+t2=(s+t)2-2st=b2-2c<4，
解得c，
∴，
解得b2<8，
当b2=4时，b=±2，c无整数解；
当b2=1时，b=±1，c=0或c=-1，∴b-c=±1或b-c=2或b-c=0，
当b2=0时，b=0，c=-1，∴b-c=1；
综上所述： b-c的可能取值为 -1，0，1，2，
故答案为：-1，0，1，2.
【分析】根据题意得到s，t是方程x2+bx+c=0的两根，根据根与系数的关系得到s+t=-b，st=c，利用根的判别式得到c<，根据 s2+t2<4 可得c，即可求出b2<8，然后根据整数b分类讨论求出b-c的值即可解答.
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
则∠BDC=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BCD=30°，
∵BC=2，
，
当∠ACB=90°时，
∠A=90°-∠B=30°，
∴AB=2BC=4，
由条件可知：30°<∠A<90°，
故答案为：
【分析】过点C作CD⊥AB于点D， 得∠BCD=30°， 得B 得 当∠ACB=90°时，∠A=30°，得AB=4， 得 ，得锐角△ABC面积范围即可
14．【答案】55
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；化简含绝对值有理数；两个绝对值的和的最值；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：对于第k对(k从1到9)，对应的a=k+1，条件为
最小和推导：当 时，满足条件且和为(k)+(k+1)=2k+1.
所有变量依次取 形成连续序列1， 2， 3， ……10.
总和为： .
故答案为：55.
【分析】将“和谐关联数”条件转化为绝对值方程，即 对于每对相邻变量，分析其取值范围，使得它们的和最小.通过相邻变量的关联性，构建连续的取值链条，确保每对条件均满足，最终求和.
15．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：设点A的坐标是点B的坐标是(n， 作 轴，且作 于点E，则.
又∵
-m)，
即C(
又∵点C在反比例函数 图象上，
整理可得：
又∵
设直线AB的解析式是
∴直线AB的解析式是
令y=0，则x=m+n，
∴直线AB与x轴点的交点N(m+n，0)，
作 轴于点P， 轴于Q，
连接CD，
又·
故答案为：.
【分析】设点A的坐标是点B的坐标是016．【答案】或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；数形结合
【解析】【解答】解：
解：由题意，函数
画出函数图象如图所示，
∵直线 与分段函数的图象有且只有2个交点，
当直线 经过点(2，3)时，则
解得：
当直线 经过点((-1，0)时，
解得：
此时直线 与分段函数的图象恰好有3个交点，
当k=1时， 平行于y=x+1，
与函数的图象也有且仅有两个交点；
∴直线 与分段函数的图象有且只有2个交点，k的取值为： 或
故答案为： 或
【分析】根据题意画出函数 的图象，找到临近点，进行求解即可.
17．【答案】44
【知识点】染色问题
【解析】【解答】解：不考虑限制条件，共有 种填色方式，由于任意的连续三个方格不能全部染成红色，所以：
①有6个方格全为红色不符合条件 (全部红色)1种，
②有5个方格为红色不符合条件 (选择一个方格染为蓝色，其余染为红色)6种，
③有4个方格为红色时，其中3个方格相邻时不符合条件，
(红色方格占据第1、2、3、4个位置，红色方格占据第1、2、3、5个位置， 红色方格占据第1、2、3、6个位置，红色方格占据第1、3、4、5个位置，红色方格占据第1、4、5、6个位置，红色方格占据第2、3、4、5个位置， 红色方格占据第2、3、4、6个位置，红色方格占据第2、4、5、6个位置，红色方格占据第3、4、5、6个位置， )9种，
④有3个方格为红色时，3个方格全部相邻时不符合条件 (红色方格在1，2，3位置，红色方格在2，3，4位置，红色方格在3，4，5位置，红色方格在4，5， 6位置) 共4种，
∴64-1-6-9-4=44种，
故答案为：44.
【分析】通过逻辑推理，判断哪些组合会导致3个红色方格相邻，从而不符合条件，采用合适的方法(如列举法)来计数所有不符合条件的组合.
18．【答案】
【知识点】相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图， 过A作AG⊥CD交于G， 过F作FH⊥AB交于H， 延长AF交BD于M，
∵m∥n， AB⊥m，
∴AB⊥n，
∴∠ABM =90°，
∴当MB最大时， ∠BAF最大，设AB=4h， BD=3a，
∵m∥n，
∴△ACE∽△BDE，
∴AE =h， BE =3h，
AC=a，
解得：
同理可证：
解得：
同理可证：
当c=d时取等号，
当c=d时取等号，
∴当 时， 取得最小值，
∴当a=2h时，MB取得最大值，
=3h，
=5h，
故答案为：.
【分析】过A作AG⊥CD交于G， 过F作FH⊥AB交于H， 延长AF交BD于M，当MB最大时， ∠BAF最大，设AB=4h， BD=3a，根据勾股定理和等积变形表示AG长，然后根据相似三角形的判定和性质求出FH，HE和MB，再根据均值不等式得到a=2h时，MB取得最大值，然后根据勾股定理求出AM长，再根据余弦的定义解答即可.
19．【答案】4317
【知识点】整式的混合运算；数的整除性；含乘方的分式混合运算
【解析】【解答】解：解： A =2000a+2025+100b+30c+d=1000(2a+2)+100b+10(3c+2)+d+5，
①若3c+2≤9， 即0≤c≤2，
则.A= (2a+2)b(3c+2)(d+5)，
由题意得， 此时3c+2+d+5=3c+d+7是8的倍数，
又∵0≤d≤4，
∴7≤3c+d+7≤17，
∴3c+d+7=8或3c+d+7=16，
∴3c+d=1或3c+d=9，
当3c+d=1， P(A)=3c+d-2=-1， P(A)不是平方数，舍去；
当3c+d=9， P(A)=3c+d-2=7， P(A)不是平方数，舍去；
②若3c+2≥10， 即3≤c≤5，
则.A= (2a+2)(b+1)(3c﹣8)(d+5)，由题意得， 此时3c-8+d+5=3c+d-3是8的倍数，
又∵0≤d≤4，∴6≤3c+d-3≤16，
∴3c+d-3=8或3c+d-3=16，
∴3c+d=11或3c+d=19，
当3c+d=19， P(A)=3c+d-2=17， P
(A)不是平方数，舍去；
当3c+d=11， P(A)=3c+d-2=9， P(A)是平方数， 此时c = 3， d =2；
由题意得， 2a+2+b+1=2a+b+3是是7的倍数，
∵0≤a≤3， 0≤b≤8，
∴3≤2a+b+3≤17，
∴2a+b+3=7或2a+b+3=14，
∴2a+b=4或2a+b=11，
是3的倍数，即 是3的倍数，
或±3，
∴(a-b)(a+b)=-1或-3或-5或-7，
当((a-b)(a+b)=-1，则 解得 此时2a+b=1，不符合题意，舍去；
当(a-b)(a+b)=-3，则 解得 此时2a+b=4，符合题意，此时A=4317；
当(a-b)(a+b)=-5，则 解得 此时2a+b=7，不符合题意，舍去；
当(a-b)(a+b)=-7，则 解得 此时2a+b=10，不符合题意，舍去；
∴综上所述，A=4317.
故答案为： 4317.
【分析】根据“七上八下数”的定义以及P(A)为完全平方数，分析得出数字A的四位数形式为(2a+2)(b+1)(3c-8)(d+5)，则有3c-8+d+5=3c+d-3是8的倍数，结合P(A)为完全平方数得出P(A)=9，此时c=3，d=2；根据题意可得2a+2+b+1=2a+b+3是7的倍数，得出2a+b=4或2a+b=11，由 是3的倍数，得到 或±3，再利用平方差公式和二元一次方程组的知识，分类讨论求出a，b的值，即可得出数字A的值.
20．【答案】
【知识点】三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；探索规律-函数图象与几何图形的规律
【解析】【解答】解：如图，过点 作 于点. 过点 作 于点
设，
过点分别作x轴的垂线，与反比例函数 的图象交于
则
由题意可得：
同理可得，
观察发现，
则
∴阴影部分的面积=
故答案为：.
【分析】过点 作 于点过点 作 于点 ，根据反比例函数解析式得到 …证明四边形 是矩形，从而得出 再根据等腰三角形三线合一的性质，得到 同理可得 从而发现规律得出. 再根据三角形面积公式列式计算即可.
1 / 12025年8月第十四届海峡两岸青少年文化交流活动（全国总决赛）九年级数学一试试题
1．（2025九上·竞赛）已知 m≥2，a2-2ma+2=0，b2-2mb+2=0()则(a-1)2+(b-1)2的最小值是　 　.
【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由条件可知a，b是一元二次方程； =0的两个不相等的实数根，
∴抛物线开口向上，
有最小值，且对称轴的右侧y随x的增大而增大，
时， 有最小值，且为4
【分析】根据题意可得a，b是一元二次方程； =0的两个不相等的实数根，根据根的判别式得到m的取值范围，然后根据根与系数的关系得到 (a-1)2+(b-1)2 关于m的函数，再利用函数的增减性求出最大值解答即可.
2．（2025九上·竞赛）已知二次函数y=-2ax2+4ax+a-6(a为常数，且а>0）的图象只经过两个象限，那么a的取值范围是　 　.
【答案】0＜a≤2
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 二次函数y=-2ax2+4ax+a-6(a为常数，且а>0）的图象只经过两个象限，
∴，
即a(a-2)<0，
∵a>0，
∴a-2≤0，
∴a的取值范围为0＜a≤2
故答案为：0＜a≤2.
【分析】根据抛物线过两个象限，即可得到，据此求出a的取值范围即可.
3．（2025九上·竞赛）已知抛物线y=-x2+5mx-3(m>0)经过A(2m，y1)和B(m+1，y2)两点，若-3【答案】或
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：
∴抛物线的对称轴为直线
当x=0时，此时y=-3，
根据抛物线的对称性可得
5m时，此时y=-3，
即当x=0或x=5m时，抛物线的函数值均为-3；
∴点A在抛物线上关于对称轴对称的点.A'的横坐标为
∴点B一定在点A下方，
分情况讨论：
如图①，若点B在点A左侧，
此时 解得m>1；
如图②，若点B在点A'右侧，
此时 解得
综上所述，m的取值范围是 或m>1.
故答案为： 或m>1.
【分析】根据抛物线的性质得出抛物线的对称轴为直线x= 当x=0时，此时y=-3，根据抛物线的对称性得出：当：x=0或x=5m时，抛物线的函数值均为-3；点 A在抛物线上关于对称轴对称的点A'的横坐标为3m；根据题意，可得点B一定在点A下方，结合题意分情况讨论：点B在点A左侧或点B在点A'右侧，结合图象，列出不等式组，即可求出m的取值范围.
4．（2025九上·竞赛）顶角为36°的等腰三角形为黄金三角形且满足底与腰的比等于黄金比，如图正五边形ABCDE的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知BE=2，则DE的长为　 　.
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；黄金分割；正多边形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵如图正五边形ABCDE的对角线恰好围成一个“五角星”(即阴影部分)，
∴设
∵黄金三角形的底与腰之比为 由题意得 同理， ∠CAB=∠FBA=∠GAE=∠GEA=36°，
∵AB=AE，
∴△ABF与△AEG全等，
∴AF =AG，
∴△AFG是黄金三角形，
即
解得
即
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=AE， 正五边形内角和(5-2)×180°=540°，
∴∠BAE =∠AED =540°÷5 = 108°，
∴∠DEG =∠AED-∠AEB =72°，则∠EGD=∠AGF=180°-∠FAG=180°-36°=72°，
∴ED=DG，
则∠GDE = 180°-72°-72°= 36°，
∴△EDG为黄金三角形，
∵黄金三角形的底与腰之比为
即
故答案为：
【分析】先根据多边形内角和定理与正多边形的性质得出△EDG为黄金三角形，再根据黄金三角形的底与腰之比求出DE，即可得出结果.
5．（2025九上·竞赛）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，5，乙的卡片分别标有数字2，4，6，两人进行3轮比赛。每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）。则三轮比赛后，甲能得2分的概率是　 　.
【答案】
【知识点】枚举法
【解析】【解答】解：三轮比赛结果
甲 乙
1 2 4 6
3 4 6 2 6 2 4
5 6 4 6 2 4 2
甲得分 0 1 1 1 2 1
由表可知，三轮比赛后，甲能得2分的概率是
故答案为：.
【分析】根据题意——列举即可求解.
6．（2025九上·竞赛）如图，等边的三个顶点P、Q、R分别在正方形ABCD的三边AD、AB、DC上，已知正方形ABCD的边长为，AQ，DR的长度之和为　 　.
【答案】9
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：过点Q作 与PA延长线交于点G，过点R作 与延长线PD交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
设GA=x，DH=y，
∵△PQR是等边三角形，
∴∠QPR=60°， QP=PR，
∴∠GPQ =180°-∠QPR-∠RPH =120°-∠RPH，
又∵∠HRP =180°-∠RHP-∠RPH =120°-∠RPH，
∴∠GPQ =∠HRP，
∴△GPQ≌△HRP(AAS)，
∴GP=HR=2y， HP=GQ =2x，
∴AD=GP+HP-GA-DH=2y+2x-x-y=x+y，
∵正方形的边长为
即
故答案为：9.
【分析】首先，过点Q作 与PA延长线交于点G，过点R作 与延长线PD交于点H，然后设GA=x，DH=y，则可将 的三边用x表示出来，将. 的三边用y表示出来；进而利用AAS证明 于是可得GP=HR=2y，HP=GQ=2x，最后，利用各线段之间的和差关系可推出.AD=x+y，在此基础上即可求出AQ，DR的长度之和.
7．（2025九上·竞赛）如图，内接于，BC为的直径，点为上的点，且，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接CD、BD，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
∵ BC为⊙O的直径，
将 绕点D逆时针旋转 得到 此时 =DE，AC=EB，
，
∴ B点是在AE上， 是等腰直角三角形，
故答案为：
【分析】连接CD、BD， 证明 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形，得到BD=CD，由直径所对的圆周角是 得 结合圆内接四边形性质得 将 绕点D逆时针旋转 得到△EBD， 证得 是等腰直角三角形，则AB+ 根据.AC=EB即可得解.
8．（2025九上·竞赛）如图，在平面直角坐标系xOy中，平面内有一动点，定点A(4，0)，B(0，2)，连接AB。若点P只在第一象限内运动，过点P作于Q，当PQ取得最大值时，点P的坐标是　 　.
【答案】（2，2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；勾股定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，过点P作 轴， PG交AB于E，
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∵A(4，0)， B(0，2)，
，解得：
∴直线AB的解析式为：
在 中，
∴在中，
∴当PE最长时， PQ最长，
则 +2)，
∴当m=2时， PE最大为1， 此时P(2，2)，
故答案为： (2，2).
【分析】过点P作 轴，PG交AB于E，先求出一次函数AB的解析式，再根据勾股定理求出AB的长，根据三角形内角和可得出， 根据解直角三角形的计算求出 可知当PE最长时，PQ最长，根据 则表示出PE 可求出当m=2时， PE最大为1，即可得出最后结果.
9．（2025九上·竞赛）小杰在编程课上设计了如下游戏：如图，在矩形游戏框中，，洞口M 位于的中点处，圆柱形通道，一个小球从洞口M出发，经过通道后，到达洞口C．若通道可以在线段上水平移动，则小球经过的路径的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；矩形的性质；轴对称的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：作出点关于的对称点，连接，将向右平移1个单位至，连接，分别延长相交于点，
由轴对称性质可得，由平移的性质可得，
当三点共线时，的值最小，
此时，的值最小，
矩形中，，洞口M 位于的中点处，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】作出点关于的对称点，连接，将向右平移1个单位至，连接，分别延长相交于点，由轴对称性质可得，由平移的性质可得，当三点共线时，的值最小，此时，的值最小，根据矩形性质可得，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，根据边之间的关系可得QG，再根据勾股定理可得QC，再根据边之间的关系即可求出答案.
10．（2025九上·竞赛）已知，则的值为　 　.
【答案】3
【知识点】分式的化简求值；分式条件求值
【解析】【解答】解：
故答案为：3.
【分析】先把分式约分，然后把代数式展开整体代入计算即可.
11．（2025九上·竞赛）如图，EF为半圆O上的一条弦，将 沿着 EF对折，折叠后的弧恰好与半圆O的直径 AB相切于D点，若 ，则 的值是　 　.
【答案】
【知识点】切线的性质；相交两圆的性质；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设对折后弧EDF所在圆的圆心为P，连接PD， PE， OP， OE， 设OP交EF于点H， 如图所示：
设⊙O的半径为R，OH=x，OD=a，则OA=OB=OE=a，AD=OA+OD=R+a，
a，
由折叠的性质得：⊙P与⊙O是等圆，
∵AB是⊙P的切线，
根据相交两圆的连心线垂直平分公共弦得：
则OP=2x，
在 中，由勾股定理得：
整理得： 在 中，由勾股定理得：
整理得：
解这个关于R的一元二次方程得：
(负值，不合题意舍去)，
故答案为：.
【分析】设对折后弧EDF所在圆的圆心为P，连接PD，PE， OP， OE， 设OP交EF于点H， 设⊙O的半径为R， OH=x， OD=a， 则OA=OB=OE=a， AD=EF=R+a， BD=R-a， 由折叠的性质得⊙P与⊙O是等圆， 则PE= PD = R，根据切线性质及相交圆的性质得PD⊥AB，OP⊥EF， 再根据OE= PE= R， EH⊥OP得PH=OH =x， 则OP =2x， 在Rt△PEH和Rt△OPD中， 由勾股定理得. 0，解得 则BD=R-a= 由此即可得出 的值.
12．（2025九上·竞赛）抛物线y=x2+bx+c与×轴两个公共点的横坐标分别为s，t，且s2+t2<4。若b，c为整数，则b-c的可能取值为　 　.
【答案】-1，0，1，2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由题可得s，t是方程x2+bx+c=0的两根，
∴s+t=-b，st=c，且b2-4c>0，
∴c<，
∵ s2+t2=(s+t)2-2st=b2-2c<4，
解得c，
∴，
解得b2<8，
当b2=4时，b=±2，c无整数解；
当b2=1时，b=±1，c=0或c=-1，∴b-c=±1或b-c=2或b-c=0，
当b2=0时，b=0，c=-1，∴b-c=1；
综上所述： b-c的可能取值为 -1，0，1，2，
故答案为：-1，0，1，2.
【分析】根据题意得到s，t是方程x2+bx+c=0的两根，根据根与系数的关系得到s+t=-b，st=c，利用根的判别式得到c<，根据 s2+t2<4 可得c，即可求出b2<8，然后根据整数b分类讨论求出b-c的值即可解答.
13．（2025九上·竞赛）锐角△ABC的面积为S，且满足BC=2，∠B=60°，则S的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
则∠BDC=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BCD=30°，
∵BC=2，
，
当∠ACB=90°时，
∠A=90°-∠B=30°，
∴AB=2BC=4，
由条件可知：30°<∠A<90°，
故答案为：
【分析】过点C作CD⊥AB于点D， 得∠BCD=30°， 得B 得 当∠ACB=90°时，∠A=30°，得AB=4， 得 ，得锐角△ABC面积范围即可
14．（2025九上·竞赛）对于有理数x，y，a，m， 若，则称x和y关于a的“和谐关联数”为m，例如，， 则5和3关于2的“和谐关联数”为4。若和关于2的“和谐关联数”为1，和关于3的“和谐关联数”为1，...，和关于10的“和谐关联数”为1，...则的最小值为　 　.
【答案】55
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；化简含绝对值有理数；两个绝对值的和的最值；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：对于第k对(k从1到9)，对应的a=k+1，条件为
最小和推导：当 时，满足条件且和为(k)+(k+1)=2k+1.
所有变量依次取 形成连续序列1， 2， 3， ……10.
总和为： .
故答案为：55.
【分析】将“和谐关联数”条件转化为绝对值方程，即 对于每对相邻变量，分析其取值范围，使得它们的和最小.通过相邻变量的关联性，构建连续的取值链条，确保每对条件均满足，最终求和.
15．（2025九上·竞赛）如图，点A、B在反比例函数图象上，连接AB并延长与反比例函数图象相交于点C，连接OA与反比例函数图象交于点D，若，则面积为　 　.
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：设点A的坐标是点B的坐标是(n， 作 轴，且作 于点E，则.
又∵
-m)，
即C(
又∵点C在反比例函数 图象上，
整理可得：
又∵
设直线AB的解析式是
∴直线AB的解析式是
令y=0，则x=m+n，
∴直线AB与x轴点的交点N(m+n，0)，
作 轴于点P， 轴于Q，
连接CD，
又·
故答案为：.
【分析】设点A的坐标是点B的坐标是016．（2025九上·竞赛）我们把a，b，c三个数的中间值记作Z{a，b，c}，例如Z{-5，4，1}=1，Z{m+1，m+3，m-5}=m+1；若直线与函数的图像有且只有2个交点，则k的取值范围是　 　。
【答案】或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；数形结合
【解析】【解答】解：
解：由题意，函数
画出函数图象如图所示，
∵直线 与分段函数的图象有且只有2个交点，
当直线 经过点(2，3)时，则
解得：
当直线 经过点((-1，0)时，
解得：
此时直线 与分段函数的图象恰好有3个交点，
当k=1时， 平行于y=x+1，
与函数的图象也有且仅有两个交点；
∴直线 与分段函数的图象有且只有2个交点，k的取值为： 或
故答案为： 或
【分析】根据题意画出函数 的图象，找到临近点，进行求解即可.
17．（2025九上·竞赛）用红蓝两色给1×6的棋盘染色（可以只用一种颜色），要求任意的连续三个方格不能全部染成红色，则符合要求的染色方法有　 　种。
【答案】44
【知识点】染色问题
【解析】【解答】解：不考虑限制条件，共有 种填色方式，由于任意的连续三个方格不能全部染成红色，所以：
①有6个方格全为红色不符合条件 (全部红色)1种，
②有5个方格为红色不符合条件 (选择一个方格染为蓝色，其余染为红色)6种，
③有4个方格为红色时，其中3个方格相邻时不符合条件，
(红色方格占据第1、2、3、4个位置，红色方格占据第1、2、3、5个位置， 红色方格占据第1、2、3、6个位置，红色方格占据第1、3、4、5个位置，红色方格占据第1、4、5、6个位置，红色方格占据第2、3、4、5个位置， 红色方格占据第2、3、4、6个位置，红色方格占据第2、4、5、6个位置，红色方格占据第3、4、5、6个位置， )9种，
④有3个方格为红色时，3个方格全部相邻时不符合条件 (红色方格在1，2，3位置，红色方格在2，3，4位置，红色方格在3，4，5位置，红色方格在4，5， 6位置) 共4种，
∴64-1-6-9-4=44种，
故答案为：44.
【分析】通过逻辑推理，判断哪些组合会导致3个红色方格相邻，从而不符合条件，采用合适的方法(如列举法)来计数所有不符合条件的组合.
18．（2025九上·竞赛）如图，直线m//n，A是直线m上一点，AB⊥直线n于点B，C是直线m上点A左侧一动点，D是直线n上点B右侧一动点，且，CD与AB交于点E，BF⊥CD于点F，连接AF，则当∠BAF最大时，cos∠BAF的值为　 　。
【答案】
【知识点】相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图， 过A作AG⊥CD交于G， 过F作FH⊥AB交于H， 延长AF交BD于M，
∵m∥n， AB⊥m，
∴AB⊥n，
∴∠ABM =90°，
∴当MB最大时， ∠BAF最大，设AB=4h， BD=3a，
∵m∥n，
∴△ACE∽△BDE，
∴AE =h， BE =3h，
AC=a，
解得：
同理可证：
解得：
同理可证：
当c=d时取等号，
当c=d时取等号，
∴当 时， 取得最小值，
∴当a=2h时，MB取得最大值，
=3h，
=5h，
故答案为：.
【分析】过A作AG⊥CD交于G， 过F作FH⊥AB交于H， 延长AF交BD于M，当MB最大时， ∠BAF最大，设AB=4h， BD=3a，根据勾股定理和等积变形表示AG长，然后根据相似三角形的判定和性质求出FH，HE和MB，再根据均值不等式得到a=2h时，MB取得最大值，然后根据勾股定理求出AM长，再根据余弦的定义解答即可.
19．（2025九上·竞赛）若一个四位正整数，它的千位数字和百位数字之和为7的倍数，十位数字和个位数字之和为8的倍数，则称这个四位数为“七上八下数”。比如：数字1653，因为1+6=7， 5+3=8，所以1653是“七上八下数”。若数字是“七上八下数”，其中， ， ， 。记， ，若为完全平方数，且是3的倍数，满足条件的　 　。
【答案】4317
【知识点】整式的混合运算；数的整除性；含乘方的分式混合运算
【解析】【解答】解：解： A =2000a+2025+100b+30c+d=1000(2a+2)+100b+10(3c+2)+d+5，
①若3c+2≤9， 即0≤c≤2，
则.A= (2a+2)b(3c+2)(d+5)，
由题意得， 此时3c+2+d+5=3c+d+7是8的倍数，
又∵0≤d≤4，
∴7≤3c+d+7≤17，
∴3c+d+7=8或3c+d+7=16，
∴3c+d=1或3c+d=9，
当3c+d=1， P(A)=3c+d-2=-1， P(A)不是平方数，舍去；
当3c+d=9， P(A)=3c+d-2=7， P(A)不是平方数，舍去；
②若3c+2≥10， 即3≤c≤5，
则.A= (2a+2)(b+1)(3c﹣8)(d+5)，由题意得， 此时3c-8+d+5=3c+d-3是8的倍数，
又∵0≤d≤4，∴6≤3c+d-3≤16，
∴3c+d-3=8或3c+d-3=16，
∴3c+d=11或3c+d=19，
当3c+d=19， P(A)=3c+d-2=17， P
(A)不是平方数，舍去；
当3c+d=11， P(A)=3c+d-2=9， P(A)是平方数， 此时c = 3， d =2；
由题意得， 2a+2+b+1=2a+b+3是是7的倍数，
∵0≤a≤3， 0≤b≤8，
∴3≤2a+b+3≤17，
∴2a+b+3=7或2a+b+3=14，
∴2a+b=4或2a+b=11，
是3的倍数，即 是3的倍数，
或±3，
∴(a-b)(a+b)=-1或-3或-5或-7，
当((a-b)(a+b)=-1，则 解得 此时2a+b=1，不符合题意，舍去；
当(a-b)(a+b)=-3，则 解得 此时2a+b=4，符合题意，此时A=4317；
当(a-b)(a+b)=-5，则 解得 此时2a+b=7，不符合题意，舍去；
当(a-b)(a+b)=-7，则 解得 此时2a+b=10，不符合题意，舍去；
∴综上所述，A=4317.
故答案为： 4317.
【分析】根据“七上八下数”的定义以及P(A)为完全平方数，分析得出数字A的四位数形式为(2a+2)(b+1)(3c-8)(d+5)，则有3c-8+d+5=3c+d-3是8的倍数，结合P(A)为完全平方数得出P(A)=9，此时c=3，d=2；根据题意可得2a+2+b+1=2a+b+3是7的倍数，得出2a+b=4或2a+b=11，由 是3的倍数，得到 或±3，再利用平方差公式和二元一次方程组的知识，分类讨论求出a，b的值，即可得出数字A的值.
20．（2025九上·竞赛）如图，在x轴正半轴上依次截取，过点、、、分别作x轴的垂线，与反比例函数的图像交于、、、，连接、、、，在上取一点，使得，依次类推，在上取一点，使得，连接，则构成的一系列三角形（见图中阴影部分）的面积和是　 　。
【答案】
【知识点】三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；探索规律-函数图象与几何图形的规律
【解析】【解答】解：如图，过点 作 于点. 过点 作 于点
设，
过点分别作x轴的垂线，与反比例函数 的图象交于
则
由题意可得：
同理可得，
观察发现，
则
∴阴影部分的面积=
故答案为：.
【分析】过点 作 于点过点 作 于点 ，根据反比例函数解析式得到 …证明四边形 是矩形，从而得出 再根据等腰三角形三线合一的性质，得到 同理可得 从而发现规律得出. 再根据三角形面积公式列式计算即可.
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