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大连市第二十四中学 2026 年高三第一次模拟考试 数学科试卷
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 若复数 满足 ，则 ( )
A. B. 1+i C. 2-i D. 2+i
3. 已知向量 ，则 “ ” 是 “ ” 的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 在 中， 边上的高等于 ， ，则 ( )
A. B. c. D.
5. 已知数列 满足 ,记 为数列 的前 项和,则
A. 63 B. 127 C. 255 D. 256
6. 已知数列 ,设 , 若 或 2,则满足条件的不同数列的个数为( )
A. 7 B. 21 C. 35 D. 70
7. 过抛物线 焦点 的直线与抛物线交于 两点,过点 作 的切线 ,交 轴于点 ，过点 作 的平行线交 轴于点 ，则 的最小值是( )
A. 8 B. 6 C. 5 D. 4
8. 已知函数 . 若函数 (e 为自然对数的底数) 恰有 4 个零点,则 的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分。共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知直线 ，圆 ，则下列说法正确的是( )
A. 直线/过定点
A. 存在实数 ，使圆 关于直线 对称
C. 对任意实数 ，直线 与圆 有两个不同的公共点
D. 直线 被圆 所截弦长最小值为 2
10. 已知函数 在 处有极大值,则( )
A.
B.
C. 曲线 在点 处的切线与曲线 有一个不网的公共点
D. 若 时， 的值域为 ，则 的取值范围为
11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过点 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于点 ，下列说法正确的有( )
A. 当点 为线段 的中点时,直线 的斜率为
B. 若 ，则
C. (O为坐标原点)
D. 若直线 的斜率为 ，且 ，则
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 以下为甲、乙两组按从小到大的顺序排列的数据.
甲组: 14, 30, 37, a J 41, 52, 53, 55, 58, 80; 乙组: 17, 22, 32, 43, 45, 49, b, 56.
若甲组数据的第 40 百分位数和乙组数据的平均数相等，则 _____.
13. 已知三棱锥 中， ， ， 为 的中点， 过点 作三棱锥 外接球的截面，则截面面积的最小值为_____.
14. 已知等差数列 首项为 2,公差为 2,前 项和为 ,数列 前 项和为 ,且满足 . 若对于任意 ， 成立，则 的最小值为_____.
四、解答题:共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 已知函数 ,当 时, 的最小值为-1 .
(1)求函数 在区间 内的零点个数；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到函数 的图象,求 的值域和单调区间.
16. ( 15 分) 如图，四棱锥 的底面 是直角梯形. PALLAR
底面 且 分别
是线段 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，
① 求 的长；② 求 与平面 所成角的正弦值。
17. (15分)2025年，我国某航天公司研发的“低轨卫星通信终端(星链终端)”核心信号处理系统 内置 个量子芯片元件,每个元件在太空环境下正常工作的概率为 ,各元件工作状态相互独立.
(1)当 时，记系统 中正常工作的元件个数为随机变量 ，回答以下问题:
①若 ，求 的分布列及数学期望 ；
②若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性. 为改善 时系统 的可靠性，能否通过增加一个量子芯片元件即 提高系统 的可靠性 请给出你的结论并证明.
(2)该公司从某批次量子芯片中随机抽取了 100 个元件，在 “模拟太空环境” 和 “地面实验室环境” 下测试其工作状态, 得到如下 2x2 列联表:
正常工作 故障 合计
模拟太空 45 10. 55
地面实验室 30 1 45
合计 75 25 100
请根据表中的数据，判断是否有99%的把握认为元件工作状态与测试环境有关联？
附: .
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
18.(17分)已知椭圆 的离心率和 ，且椭圆 过点 ， 左，右焦点分别为 ， ，直线 . 与椭圆 交 ， 两点，(点 在点 的上方),与 轴交于点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)①当 为何值时， 恒为定值；
②在①的条件下，求 面积的最大值.
19.(17分)已知函数 .
(1)若函数 在区间 内有一个零点，求实数 的取值范围；
(2)若 ，使得 对 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若函数 有两个不同的零点 ，求证:
大连市第二十四中学 2026 年高三第一次模拟考试 数学科答案及解析
一、单选题:1. A 2. B 3. B 4.C 5. A 6.C 7.D 8.D
二、多选题:9.ACD 10.BC 11.BCD
三、填空题:12.100；13. π 14.2ln3
四、解答题
15. 【解】(1) 函数 ,当 时, ,
则当 ,即 时, ,即 ,
解得 ,故 , .3 分
当 时, ,由 ,得 ,
则 ,所以 ,
因此函数 在区间 内的零点个数为 4 . .6 分
(2)依题意， ，
因此函数 的值域为 ; .9 分
由 ,解得 ,
由 ,解得 ,
所以函数 的递增区间为 , .11 分
递减区间为 . .13 分
16. 【解】(1) 证明: 如图,取 的中点 ,连接 .
因为 ，
所以 ，所以 是平行四边形，
所以对角线 与 相交于点 ,即 是 的中点,
所以 是 的中位线,所以 , 3 分
又 平面 平面 ,
所以 EF //平面 ; .5 分
(2)①以 为坐标原点， 的方向分别为 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系,设 ,则点 , 则 , 6 分
.8 分
设平面 的一个法向量为 ,
则由 ,
令 ,得平面 的一个法向量为 .
设平面 的一个法向量为 ,
由 ,
令 ,得平面 的一个法向量为 . 10 分
因为平面 与平面 夹角的余弦值为 ,
所以 ,解得 (负值舍),故 分
②由① ，所以 ，
即 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
17. 【解】( 1 )①由题意可知 ，
所以 ,
则 的分布列如下:
0 1 2 3 4
8 1 32 16
故 ; .5 分
② 当 时记系统 中正常工作的元件数为随机变量 ，则 ，
当 时记系统 中正常工作的元件数为随机变量 ,则 ,
记 时系统 的可靠性为 ,记 时系统 的可靠性为 ,
故 ,
,
故 ,
故 时增加一个量子芯片元件即 ,能提高系统 的可靠性; .10 分
(2)由已知有 ,
故没有99%的把握认为元件工作状态与测试环境有关联. .15 分
18.【解】(1) 椭圆 的离心率 ，且椭圆 过点 ， .4 分
(2)① 联立 与椭圆 ，
即 ,消去 ,整理得到 ,
,
在 上,
,
, .9 分
当 为定值时,即 与 无关,
故 ,解得 , 12 分
②此时
又点 到直线 的距离 ,
则 ,
当且仅当 时,即 时,等号成立,
此时,
满足直线与椭圆有两个交点, 则三角形 MON 面积的最大值为 1 . .17 分
19. 【解】(1) 由 ,
得 ,令 ,则 , .1 分
当 时,因为 ,所以 ,
故 恒成立，因此 在 内无零点； .2 分
当 时,因为 ,所以 ,则 单调递增,
故 ,则 单调递增,故 ,
因此, 在区间 内无零点; .3 分
当 时,因为 ,所以 ,则 单调递增,
因为 ,
所以存在唯一的 使得 ,
当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增,
因为 ,所以 ,又 ,
故 在区间 内只有一个零点 ,且 .
综上,当 时, 在区间 内有一个零点. 5 分
(2) 可整理为 ， 则 ,使得 ,转化为 .
因为 ,所以 ,则 在 上单调递增, 故 ,转化为 对 恒成立,
即 ,即 对 恒成立,
因为当 时, ,所以 .
构造函数 ,则 ,故 在 上单调递增.
又 ,等价于 ,则
所以 恒成立,转化为 .
,令 ,得 .
当 时, 单调递增;
当 时， ， 单调递减.
故 ，故 的取值范围是 . .11 分
(3)令 ，
则 有两个不相等的实根 ,
不妨设 ,则有 ,
构造函数 ,则 ,
所以 在 上单调递减,故 ,得 .
,即 .
下证 ,
令 ,则只要证 ,
设 ,则 ,
故当 时, 单调递增,故 ,则 .
故 . .17 分

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