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抛物线
一、选择题
1．抛物线y＝mx2的准线方程是y＝2，则m为(　　)
A． B．－
C． D．－
2．已知点P(2，m)在抛物线C：y2＝8x上，则点P到C的焦点的距离为(　　)
A．4 B．6
C．8 D．2
3．已知抛物线过点(1，－4)，则抛物线的标准方程为(　　)
A．y2＝16x
B．x2＝－y
C．y2＝16x或x2＝－y
D．y2＝2x
4．已知抛物线y2＝8x上一点P到准线的距离为5，则点P的横坐标为(　　)
A．92 B．3
C．5 D．7
5．抛物线上一点到焦点与到y轴的距离之差为2，且焦点在x轴上，则抛物线为(　　)
A．y2＝4x
B．y2＝－4x
C．y2＝8x或 y2＝－8x
D．y2＝8 x
6．已知F是抛物线y2＝8x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝16求AB中点到y轴的距离(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
7．已知抛物线 x2＝ay 的焦点恰好是双曲线y2－x2＝4上的焦点，则a＝(　　)
A．4 B．±8
C．4 D．8
8．抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与抛物线交与A、B两点，若AB中点的横坐标为3，则|AB|为(　　)
A．6 B．8
C．3 D．4
9．抛物线y＝ax2上的点M(4，－2)到抛物线焦点的距离是(　　)
A．2 B．4
C． D．5
10．若点A的坐标为(3,2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，点P是抛物线上一动点，则|PF|＋|PA|取最小值时点P的坐标为(　　)
A．(2,3) B．(3,2)
C．(2,2) D．(－2，－2)
二、填空题
11．已知抛物线焦点到准线的距离为2，则此抛物线的标准方程为________．
12．抛物线 y2＝4 x 上有两点A，B到焦点的距离之和为7，则A，B到y轴的距离之和为________．
13．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F与双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点重合，若两曲线相交于M，N两点，且线段MN的中点是点F，则该双曲线的离心率等于________．
三、解答题
14．已知抛物线C1与椭圆C2：＋＝1的右焦点重合，抛物线C1的顶点在坐标原点，斜率为1的直线l与抛物线C1交于A，B两点，且|AB|＝4.
(1)求抛物线C1的方程；
(2)求直线l的方程．
15．给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，O是坐标原点，过点F的直线l与C交于A，B两点，k＝－1
求：(1)直线l的方程；(2)求·
16．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2.抛物线y2＝2px(p>0)的焦点与点F2重合，点M(2, 2)是抛物线与双曲线的一个交点，如图所示．
(1)求双曲线及抛物线的标准方程；
(2)设直线l与双曲线的过一、三象限的渐近线平行，且交抛物线于A，B两点，交双曲线于点C，若点C是线段AB的中点，求直线l的方程．
答案
1．B　解析　抛物线y＝mx2的可化为x2＝y，因为准线方程是y＝2，－＝2，所以m＝－，焦点在x轴负半轴，故选B.
2．A　解析　根据抛物线的定义可得：点P到C的焦点的距离为xP＋＝2＋2＝4.
3．C　解析　因为抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，所以有两种情况：若对称轴为x轴，抛物线方程可设为y2＝2px，代入(1，－4)可求得p＝8，y2＝16x；若对称轴为y轴，抛物线方程可设为x＝－2py，代入(1，－4)可求得p＝，即x2＝－y，故选C.
4．B　解析　由y2＝8x知p＝4，＝2，所以xp＝5－＝5－2＝3，故选B.
5．C　解析　到焦点与到y轴的距离之差为2，所以＝2，p＝4，又焦点在x轴，所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x故选C.
6．B　解析　易知p＝4，xA＋xB＝AF－＋BF－＝16－p＝12
中点横坐标为＝6，故选B.
7．B　解析　由双曲线方程知c＝2，焦点为(0，±2)，所以＝2，p＝4，所以a＝±2p＝±8，故选B.
8．B　解析　由题意可知＝3，∴x1＋x2＝6，p＝2，│AB│＝x1＋x2＋p＝8，故选B.
9．B　解析　因为点M(4，－2)在抛物线上，所以a＝－，所以抛物线方程为：x2＝－8y，焦点F(0，－2)，所以＝4，故选B
10．C　解析　过点A作准线的垂线交准线于N点，交抛物线于点P，此时A，P，N三点共线时和最小，所以yp＝yA＝2，所以22＝2xp，所以xp＝2，所以p(2,2)故选C.
11．y2＝±4x或x2＝±4y　解析　由题意可知p＝2，当焦点在x轴时，抛物线标准方程为y2＝±4x，当焦点在y轴时抛物线标准方程为x2＝±4y.
12．5　解析　由y2＝4x知p＝2，有题意知xA＋xB＝AF－＋BF－＝7－p＝7－2＝5
13．＋1　解析　由题意知－＝－c，所以p＝2c，所以抛物线方程为y2＝－2px＝－4cx，∵M在抛物线上，所以M (－c,2c), 因为M在双曲线上，所以－＝1，因为b2＝c2－a2，所以c4－6a2c2＋a4＝0，所以e2＝3±2，又e∈(1，＋∞)，所以e＝＋1.
14．解　(1)由椭圆C2：＋＝1的右焦点(1,0)，所以抛物线焦点为(1,0)，所以＝1，p＝2，所以抛物线方程为：y2＝4x
(2)因为斜率为1，设直线方程为y＝x＋m，
则由，消去x得：y2－4y＋4m＝0，
所以y1＋y2＝4，y1y2＝4m，所以＝＝4，解得：m＝，
所以直线方程为：x－y＋＝0
15．解　(1)因为抛物线方程y2＝4x的焦点为(1,0)，
又直线斜率为：k＝－1，
所以直线方程为：y＝－x＋1，(2)由，消去y得：x2－6x＋1＝0，
解得：x＝3＋2或x＝3－2，则A(3＋2，－2－2)，B(3－2，2－2)
所以：·＝(3＋2)×(3－2)＋(－2－2)×(2－2)＝9－8＋4－8＝－3
16．解　(1)把点M(2,2)代入抛物线方程，得(2)2＝2p×2，解得p＝6, 所以抛物线的标准方程是y2＝12x；抛物线的焦点和双曲线的右焦点F2坐标是(3,0)，即c＝3，把点M(2,2)代入双曲线方程，得－＝1，解得a2＝1或a2＝36(舍去)，所以双曲线的标准方程是：x2－＝1.
(2)设A(x1，y1), B(x2, y2)，因为双曲线的过一、三象限的渐近线方程为y＝2x，所以设直线l的方程为y＝2x＋m，由题意得：，化为8x2＋(4m－12)x＋m2＝0，得x1＋x2＝，x1x2＝，y1＋y2＝(2x1＋m)＋(2x2＋m)＝2×＋2m＝3，所以线段AB中点C的坐标为，因为点C在双曲线上，代入双曲线为m2－3m－8＝0，解得：m＝－或m＝4，因为m＝4时，方程8x2＋(4m－12)x＋m2＝0化为8x2＋20x＋32＝0，△<0，不合题意．故舍去； m＝－，符合题意，所以所求直线l的方程为2x－y－＝0.

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