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平面与平面的位置关系
一、选择题
1．“一个平面内两条线分别平行于另一个平面”是“两个平面平行”的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．下列命题其中正确命题的个数为 (　　)
(1)若两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面互相垂直　
(2)和同一平面所成的角相等的两条直线平行
(3)若一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
(4)平行于同一平面的两条直线平行
A．0 B．1
C．2 D．3
3．已知a，b是异面直线，a⊥平面α，b⊥平面β，则α，β的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行
C．重合 D．不能确定
4．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O，P到三个面的距离分别是3,4,5，则OP的长为(　　)
A．5 B．5
C．3 D．2
5．如图所示，在三棱锥P－ABC中，已知PC⊥BC, PC⊥AC，点E，F，G分别是棱AB，AP，AC的中点，则下列结论中错误的是(　　)
A．平面EFG∥平面PBC
B．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
C．平面EFG⊥平面ABC
D．三棱锥A－EFG与三棱锥A－PCB的体积之比为1∶4
6．已知二面角α－AB－β的平面角是锐角θ，平面α上有一点C到β的距离为3，点C到棱AB距离为4，那么tanθ＝(　　)
A． B．
C． D．
7．在三棱锥S－ABC中，△SAC和△ABC都是边长为1的正三角形，若SB＝.则二面角S－AC－B的平面角等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
8．已知下列4个命题：
①垂直于同一直线的两条直线平行；
②垂直于同一直线的两个平面平行；
③垂直于同一平面的两条直线平行；
④一条直线垂直于平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面；
其中，正确命题的序号是(　　)
A．①③④ B．①②③
C．②③ D．②④
二、解答题
9．如图所示，△ABC是边长为2的等边三角形，PA⊥平面ABC，PA＝3，D是BC中点．
求证：BC⊥平面PDA；
10．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为，底面Rt△ABC中，AC⊥AB，AB＝AC＝，D为BC的中点．(1)证明：AD⊥平面BCC1B1；(2)二面角C1－AD－C的大小．
11．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求证：BC⊥AB.
答案
1．B　解析　判定定理中，一个平面内的两条相交直线平行另一个平面，则这两个平面平行．
2．A　解析　(1)两平面可能平行或相交也可能垂直
(2)两直线也可能相交或异面
(3)三个点在平面的同一侧时，两平面平行，如果三个点在平面的两侧，两平面相交
(4)两直线也可能相交或异面．
3．A　解析　平面α、β有可能垂直，也有可能斜交，则α、β的位置关系为相交，故答案为A.
4．B　解析　构造一个长方体，OP为对角线，OP＝＝5.
5．D　解析　因为E，F，G分别是棱AB，AP, AC的中点，所以FG∥PC，GE∥CB又因为FG∩GE＝G, PC∩CB＝C，所以平面EFG∥平面PBC，故A正确．因为E, F分别是棱AB, AP的中点，所以FE∥PB，所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角，故B正确．因为PC⊥BC, PC⊥AC，且BC∩AC＝C，所以PC⊥平面ABC FG⊥平面ABC，又因为FG 平面EFG，所以平面EFG⊥平面ABC，故C正确．因为三棱锥A?EFG与三棱锥A?PCB的棱长的相似比为1∶2，所以其体积比为1∶8，故D错误．
6．B　解析　作CE⊥AB, CD⊥β，连接ED，
则∠CED＝θ，CD＝3，CE＝4，所以ED＝，则tan θ＝＝.
7．C　解析　取AC中点E，连结SE, BE，可证∠SEB是二面角的平面角，求得SE＝BE＝，∠SEB＝60°.
8．C　解析　在①中，垂直于同一直线的两条直线可能平行也可能异面；②③是课本的结论；④平面内的无数条直线不一定有两条是相交的．
9．【证明】　因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，因为△ABC为等边三角形，D是BC中点，所以AD⊥BC，又因为PA∩AD＝A，所以BC⊥平面PDA.
10．解　(1)证明：∵AC⊥AB，AB＝AC＝，D为BC的中点，
∴△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC.
又三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，
∵AD 平面ABC，∴CC1⊥AD，
∵CC1∩BC＝C，BC，CC1 平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1.
(2)由(1)AD⊥平面BCC1B1，C1D 平面BCC1B1，得AD⊥DC1，
∵AD⊥DC，∴∠CDC1为二面角C1－AD－C的平面角，
在Rt△CDC1中，CD＝1，CC1＝，∴∠CDC1＝60°.
∴平面角C1－AD－C的大小为60°
11．【证明】　如图：
在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD 平面PAB，∴AD⊥平面PBC.
又BC 平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB 平面PAB，∴BC⊥AB.

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