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双曲线
一、选择题
1．已知两定点F1(－7,0)，F2(7,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是(　　)
A．＝10
B．＝14
C．＝16
D．＝0
2．已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)
A．6　　 B．3　　
C．　 D．
3．对于双曲线C1：－＝1和C2：－＝1，给出下列四个结论：①离心率相等；②渐近线相同；③没有公共点；④焦距相等，其中正确的结论序号是(　　)
A．①②④ B．①③④
C．②③④ D．②④
4．与双曲线－＝1有共同渐近线，且经过点(－3, 4)的双曲线方程是(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
5．设点F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，过点F1的直线交双曲线的同一支与A，B两点，已知AB＝8，则△ABF2的周长是(　　)
A．32 B．36
C．42 D．52
6．已知双曲线－＝1和圆x2＋y2－8x＋15＝0，则圆心C到双曲线渐近线的距离为(　　)
A． B．
C． D．
7．双曲线x2＋py2＝1的焦点在x轴上，虚轴长是实轴长的两倍，则p＝(　　)
A．－4 B．4
C． D．－
8．已知F1是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点P在双曲线上，直线PF1与x轴垂直，且|PF1|＝a，则双曲线的离心率为(　　)
A． B．
C．2 D．3
二、填空题
9．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是_____________．
10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个顶点把双曲线的焦距三等分，则该双曲线的离心率等于_________．
三、解答题
11．已知椭圆－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别是F1，F2，短轴的两个端点为B1，B2，四边形F1B1F2B2是边长为2的菱形，且椭圆过点(2，)．
(1)求椭圆的标准方程；(2)双曲线与椭圆有相同的焦点，P为两曲线在第一象限内的一个交点，A(2,0)是双曲线与x轴的一个交点，求|PF1|与|PF2|.
12．已知双曲线C的焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，且经过点P(7,12)，
(1)求双曲线C的标准方程；(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A、B两点，且OA⊥OB，求直线l的方程．
13．已知焦点在x轴上的双曲线上一点P，到双曲线的两个焦点的距离分别是4和8，直线l：y＝x－2交双曲线于A，B两点，且|AB|＝20，求双曲线的标准方程．
答案
1．A　解析　＝14,2a<14，故选A.
2．C　解析　由双曲线－＝1(a>0)可知，该双曲线的离心率为e＝＝2，解得a＝，故选C.
3．C　解析　由题意知，双曲线C1：－＝1，C2：－＝1，①离心率分别为，；②渐近线相同均为y＝±x；③没有公共点；④焦距相等均为10.
4．A　解析　与双曲线－＝1有共同渐近线，所以可以设为：－＝λ(λ≠1)，又因为过点(－3,4)，代入得： λ＝－1，所以满足题意的双曲线方程为：－＝1.
5．B　解析　易知a＝5，由双曲线定义知－＝2a＝10，－＝2a＝10，所以－＋－＝20，即＋－＝20，所以＋＝28，所以C△ABF2＝＋＋＝28＋8＝36，故选B.
6．A　解析　∵双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，圆方程(x－4)2＋y2＝1，∴圆心坐标为(4,0)，∴圆心到渐进线的距离为d＝＝，故选A.
7．D　解析　因为焦点在x轴上，则a2＝1，又虚轴长是实轴长的两倍，所以得：b＝2a，则有：2＝，解得：p＝－，故选D.
8．A　解析　因为直线PF1与x轴垂直，且|PF1|＝a，则＝＋2a＝3a，在直角△PF1F2中由勾股定理得：a2＋(2c)2＝(3a)2，解得：c＝a，e＝＝，故选A.
9．x2－＝1　解析　设双曲线方程为：－＝1，因为焦点F1(－，0)知c＝，又线段PF1的中点坐标为(0,2)，所以P(，4)，代入方程得：－＝1，又a2＋b2＝5，解得：a2＝1，b2＝4，所以双曲线方程为：x2－＝1.
10．解　由题意知：c－a＝2a，所以c＝3a，所以e＝＝3.
11．解　(1)由题意知：＝c，＝b，2＝b2＋c2，又a2＝b2＋c2，所以＝a，又四边形是菱形且边长为　2，所以a＝2，
又椭圆过点(2，)，　所以＋＝1，解得：b2＝4，
所以椭圆方程为：＋＝1，
(2)由题意知A(2,0)时双曲线的一个顶点，所以双曲线中a＝2，由椭圆的定义知：＋＝4①
由双曲线定义知：－＝4②，
由①②解得：＝2＋2，＝2－2.
12．解　(1)双曲线C的焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，
且经过点P(7,12)，所以c＝2,2a＝，
又＝＝15，＝＝13，
所以2a＝15－13＝2，则a＝1，所以b2＝c2－a2＝3
所以双曲线方程为：x2－＝1
(2)设直线方程为y＝x＋m，交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y得：2x2－2mx－m2－3＝0
所以：x1＋x2＝m，x1x2＝，
所以：y1y2＝(x1＋m)·(x2＋m)＝
又因为⊥，所以·＝0即：x1x2＋y1y2＝＋＝0
解得：m＝±经检验，此时直线与双曲线有两个交点，　所以直线方程为：y＝x＋或y＝x－.
13．解　设双曲线方程为：－＝1(a>0，b>0)因为双曲线的两个焦点的距离分别是4和8，所以2a＝8－4＝4，a＝2，所以双曲线方程为：－＝1，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y得：(b2－4)x2＋16x－4b2－16＝0
所以：x1＋x2＝，x1x2＝，
因为|AB|＝20　＝
则：20＝
，
解得：b2＝5或，所以双曲线方程为：－＝1或－＝1

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