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复数的应用
一、选择题
1．关于实系数方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列说法错误的是(　　)
A．b2－4ac>0时，方程有两个不相等实根
B．b2－4ac<0时，方程有两个不相等虚根
C．b2－4ac＝0时，方程有两个相等实根
D．b2－4ac＝0时，方程有两个互为共轭复数的虚根
2．关于x的实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)在复数集中的一个根为－1＋5i，则它的另一个根为(　　)
A．－1＋5i B．－1－5i
C．1＋5i D．1－5i
3．已知实系数一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根为＋i，则它的另一个根为
(　　)
A．－＋i B．－i
C．－－i D．＋i
4．方程x2－3x＋4＝0根的情况是(　　)
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个虚数根
D．不能确定
5．已知实系数一元二次方程2x2＋bx＋c＝0的一个根是1－2i，则c的值为(　　)
A．－10 B．10
C．－3 D．3
6．已知x1＋x2＝2，x1x2＝4，则x1，x2满足的方程是(　　)
A．x2－2x＋4＝0 B．x2＋2x－4＝0
C．x2－2x－4＝0 D．x2＋2x＋4＝0
7．若1＋i是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的一个根，则(　　)
A．p＝2，q＝2 B．p＝2，q＝－2
C．p＝－2，q＝2 D．p＝－2，q＝－2
8．已知关于x的实系数一元二次方程的一个根在复平面上对应点为(2，－1)，则这个方程可以为(　　)
A．x2－4x＋5＝0 B．x2＋4x＋5＝0
C．x2－4x＋3＝0 D．x2＋4x－3＝0
9．若α，β是方程2x2＋x＋3＝0的两个根，则α＋β等于(　　)
A． B．
C．－ D．－
二、填空题
10．若关于x的实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)的一个根是i，则它的另一个根为________．
11．若一个实系数一元二次方程的一个根是z1＝1＋2i，则此方程的另一个根z2＝________.
三、解答题
12．在复数集中解方程．
(1)x2＋x＋1＝0；(2)2x2－4x＋5＝0.
(3)x2－2x＋3＝0.
13．已知复数z1＝a＋i，z2＝1－ai，(a∈R，i是虚数单位)．
(1)若z1－z2在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；
(2)若z1是实系数一元二次方程x2－2x＋2＝0的根，求实数a的值．
答案
1．D　解析　A．b2－4ac>0时，方程有两个不相等实根，故A正确；B.b2－4ac<0时，方程有两个不相等虚根，故B正确；C.b2－4ac＝0时，方程有两个相等实根－，故C正确，D错误．故选D.
2．B　解析　由题意，另一个根为－1＋5i的共轭复数，故选B.
3．B　解析　由题意，另一个根为＋i的共轭复数，故选B.
4．C　解析　因为Δ＝b2－4ac＝9－16＝－7＜0，所以方程x2－3x＋4＝0有两个虚数根，故选C.
5．B　解析　一元二次方程2x2＋bx＋c＝0的一个根是1－2i，另一个根是1＋2i，由韦达定理得＝(1－2i)(1＋2i)＝5，解得c＝10，故选B.
6．A　解析　x1＋x2＝2，x1x2＝4，由韦达定理得b＝－2，c＝4，故选A.
7．C　解析　因为1＋i是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的一个根，所以(1＋i)2＋p(1＋i)＋q＝0，则有2i＋p＋pi＋q＝0，即(2＋p)i＋p＋q＝0.所以，解得：，故选C.
8．A　解析　由题意，该方程的一个根为x1＝2－i，则该方程的另一个根x2＝2＋i，由x1＋x2＝4，x1x2＝5可得方程可以为x2－4x＋5＝0.故选A.
9．C　解析　由韦达定理得α＋β＝－，故选C.
10．－i　解析　根据实系数一元二次方程的两个虚根互为共轭复数，可知该方程的另一个根为－i.
11．1－2i　解析　由题意，一个实系数一元二次方程的一个根是z1＝1＋2i，根据实系数的一元二次方程的虚根成对，且互为共轭关系，所以方程的另一个根为z2＝1－2i.
12．解　(1)因为Δ＝b2－4ac＝1－4＝－3＜0，所以x1＝－＋i＝－＋i，x2＝－－i＝－－i.
(2)因为Δ＝b2－4ac＝16－40＝－24＜0，所以x1＝－＋i＝1＋i，x2＝－－i＝1－i.
(3)因为Δ＝b2－4ac＝－8＜0，
所以x1＝－＋i＝1＋i，x2＝－－i＝1－i.
13．解　(1)∵z1－z2＝a－1＋(1＋a)i
则z1－z2在复平面对应的点坐标为(a－1,1＋a)，z1－z2在复平面对应的点落在第一象限，
∴，解得a>1.
(2)∵z1＝a＋i是方程x2－2x＋2＝0的根．
则(a＋i)2－2(a＋i)＋2＝0，即(a2－2a＋1)＋(2a－2)i＝0，
所以，解得a＝1.

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